helm/matita/library/nat/div_and_mod.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/div_and_mod".
  16
  17 include "nat/minus.ma".
  18 include "nat/orders_op.ma".
  19 include "nat/compare.ma".
  20
  21 let rec mod_aux p m n: nat \def
  22 match (leb m n) with
  23 [ true \Rightarrow m
  24 | false \Rightarrow
  25   match p with
  26   [O \Rightarrow m
  27   |(S q) \Rightarrow mod_aux q (minus m (S n)) n]].
  28
  29 definition mod : nat \to nat \to nat \def
  30 \lambda n,m.
  31 match m with
  32 [O \Rightarrow m
  33 | (S p) \Rightarrow mod_aux n n p].
  34
  35 let rec div_aux p m n : nat \def
  36 match (leb m n) with
  37 [ true \Rightarrow O
  38 | false \Rightarrow
  39   match p with
  40   [O \Rightarrow O
  41   |(S q) \Rightarrow S (div_aux q (minus m (S n)) n)]].
  42
  43 definition div : nat \to nat \to nat \def
  44 \lambda n,m.
  45 match m with
  46 [O \Rightarrow S n
  47 | (S p) \Rightarrow div_aux n n p].
  48
  49 theorem le_mod_aux_m_m:
  50 \forall p,n,m. (le n p) \to (le (mod_aux p n m) m).
  51 intro.elim p.
  52 apply le_n_O_elim n H (\lambda n.(le (mod_aux O n m) m)).
  53 simplify.apply le_O_n.
  54 simplify.
  55 apply leb_elim n1 m.
  56 simplify.intro.assumption.
  57 simplify.intro.apply H.
  58 cut (le n1 (S n)) \to (le (minus n1 (S m)) n).
  59 apply Hcut.assumption.
  60 elim n1.
  61 simplify.apply le_O_n.
  62 simplify.apply trans_le ? n2 n.
  63 apply le_minus_m.apply le_S_S_to_le.assumption.
  64 qed.
  65
  66 theorem lt_mod_m_m: \forall n,m. (lt O m) \to (lt (mod n m) m).
  67 intros 2.elim m.apply False_ind.
  68 apply not_le_Sn_O O H.
  69 simplify.apply le_S_S.apply le_mod_aux_m_m.
  70 apply le_n.
  71 qed.
  72
  73 theorem div_aux_mod_aux: \forall p,n,m:nat.
  74 (eq nat n (plus (times (div_aux p n m) (S m)) (mod_aux p n m) )).
  75 intro.elim p.
  76 simplify.elim leb n m.
  77 simplify.apply refl_eq.
  78 simplify.apply refl_eq.
  79 simplify.
  80 apply leb_elim n1 m.
  81 simplify.intro.apply refl_eq.
  82 simplify.intro.
  83 rewrite > assoc_plus.
  84 elim (H (minus n1 (S m)) m).
  85 change with (eq nat n1 (plus (S m) (minus n1 (S m)))).
  86 rewrite < sym_plus.
  87 apply plus_minus_m_m.
  88 change with lt m n1.
  89 apply not_le_to_lt.exact H1.
  90 qed.
  91
  92 theorem div_mod: \forall n,m:nat.
  93 (lt O m) \to (eq nat n (plus (times (div n m) m) (mod n m))).
  94 intros 2.elim m.elim (not_le_Sn_O O H).
  95 simplify.
  96 apply div_aux_mod_aux.
  97 qed.
  98
  99 inductive div_mod_spec (n,m,q,r:nat) : Prop \def
 100 div_mod_spec_intro:
 101 (lt r m) \to (eq nat n (plus (times q m) r)) \to (div_mod_spec n m q r).
 102
 103 (*
 104 definition div_mod_spec : nat \to nat \to nat \to nat \to Prop \def
 105 \lambda n,m,q,r:nat.(And (lt r m) (eq nat n (plus (times q m) r))).
 106 *)
 107
 108 theorem div_mod_spec_to_not_eq_O: \forall n,m,q,r.(div_mod_spec n m q r) \to Not (eq nat m O).
 109 intros 4.simplify.intros.elim H.absurd le (S r) O.
 110 rewrite < H1.assumption.
 111 exact not_le_Sn_O r.
 112 qed.
 113
 114 theorem div_mod_spec_div_mod:
 115 \forall n,m. (lt O m) \to (div_mod_spec n m (div n m) (mod n m)).
 116 intros.
 117 apply div_mod_spec_intro.
 118 apply lt_mod_m_m.assumption.
 119 apply div_mod.assumption.
 120 qed.
 121
 122 theorem div_mod_spec_to_eq :\forall a,b,q,r,q1,r1.
 123 (div_mod_spec a b q r) \to (div_mod_spec a b q1 r1) \to
 124 (eq nat q q1).
 125 intros.elim H.elim H1.
 126 apply nat_compare_elim q q1.intro.
 127 apply False_ind.
 128 cut eq nat (plus (times (minus q1 q) b) r1) r.
 129 cut le b (plus (times (minus q1 q) b) r1).
 130 cut le b r.
 131 apply lt_to_not_le r b H2 Hcut2.
 132 elim Hcut.assumption.
 133 apply trans_le ? (times (minus q1 q) b) ?.
 134 apply le_times_n.
 135 apply le_SO_minus.exact H6.
 136 rewrite < sym_plus.
 137 apply le_plus_n.
 138 rewrite < sym_times.
 139 rewrite > distr_times_minus.
 140 (* ATTENZIONE ALL' ORDINAMENTO DEI GOALS *)
 141 rewrite > plus_minus ? ? ? ?.
 142 rewrite > sym_times.
 143 rewrite < H5.
 144 rewrite < sym_times.
 145 apply plus_to_minus.
 146 apply eq_plus_to_le ? ? ? H3.
 147 apply H3.
 148 apply le_times_r.
 149 apply lt_to_le.
 150 apply H6.
 151 (* eq case *)
 152 intros.assumption.
 153 (* the following case is symmetric *)
 154 intro.
 155 apply False_ind.
 156 cut eq nat (plus (times (minus q q1) b) r) r1.
 157 cut le b (plus (times (minus q q1) b) r).
 158 cut le b r1.
 159 apply lt_to_not_le r1 b H4 Hcut2.
 160 elim Hcut.assumption.
 161 apply trans_le ? (times (minus q q1) b) ?.
 162 apply le_times_n.
 163 apply le_SO_minus.exact H6.
 164 rewrite < sym_plus.
 165 apply le_plus_n.
 166 rewrite < sym_times.
 167 rewrite > distr_times_minus.
 168 rewrite > plus_minus ? ? ? ?.
 169 rewrite > sym_times.
 170 rewrite < H3.
 171 rewrite < sym_times.
 172 apply plus_to_minus.
 173 apply eq_plus_to_le ? ? ? H5.
 174 apply H5.
 175 apply le_times_r.
 176 apply lt_to_le.
 177 apply H6.
 178 qed.