helm/matita/library/nat/factorization.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/factorization".
  16
  17 include "nat/ord.ma".
  18 include "nat/gcd.ma".
  19 include "nat/nth_prime.ma".
  20
  21 (* the following factorization algorithm looks for the largest prime
  22    factor. *)
  23 definition max_prime_factor \def \lambda n:nat.
  24 (max n (\lambda p:nat.eqb (n \mod (nth_prime p)) O)).
  25
  26 (* max_prime_factor is indeed a factor *)
  27 theorem divides_max_prime_factor_n: \forall n:nat. (S O) < n \to
  28 nth_prime (max_prime_factor n) \divides n.
  29 intros.apply divides_b_true_to_divides.
  30 apply lt_O_nth_prime_n.
  31 apply (f_max_true  (\lambda p:nat.eqb (n \mod (nth_prime p)) O) n).
  32 cut (\exists i. nth_prime i = smallest_factor n).
  33 elim Hcut.
  34 apply (ex_intro nat ? a).
  35 split.
  36 apply (trans_le a (nth_prime a)).
  37 apply le_n_fn.
  38 exact lt_nth_prime_n_nth_prime_Sn.
  39 rewrite > H1. apply le_smallest_factor_n.
  40 rewrite > H1.
  41 change with (divides_b (smallest_factor n) n = true).
  42 apply divides_to_divides_b_true.
  43 apply (trans_lt ? (S O)).unfold lt. apply le_n.
  44 apply lt_SO_smallest_factor.assumption.
  45 apply divides_smallest_factor_n.
  46 apply (trans_lt ? (S O)). unfold lt. apply le_n. assumption.
  47 apply prime_to_nth_prime.
  48 apply prime_smallest_factor_n.assumption.
  49 qed.
  50
  51 theorem divides_to_max_prime_factor : \forall n,m. (S O) < n \to O < m \to n \divides m \to
  52 max_prime_factor n \le max_prime_factor m.
  53 intros.change with
  54 ((max n (\lambda p:nat.eqb (n \mod (nth_prime p)) O)) \le
  55 (max m (\lambda p:nat.eqb (m \mod (nth_prime p)) O))).
  56 apply f_m_to_le_max.
  57 apply (trans_le ? n).
  58 apply le_max_n.apply divides_to_le.assumption.assumption.
  59 change with (divides_b (nth_prime (max_prime_factor n)) m = true).
  60 apply divides_to_divides_b_true.
  61 cut (prime (nth_prime (max_prime_factor n))).
  62 apply lt_O_nth_prime_n.apply prime_nth_prime.
  63 cut (nth_prime (max_prime_factor n) \divides n).
  64 apply (transitive_divides ? n).
  65 apply divides_max_prime_factor_n.
  66 assumption.assumption.
  67 apply divides_b_true_to_divides.
  68 apply lt_O_nth_prime_n.
  69 apply divides_to_divides_b_true.
  70 apply lt_O_nth_prime_n.
  71 apply divides_max_prime_factor_n.
  72 assumption.
  73 qed.
  74
  75 theorem p_ord_to_lt_max_prime_factor: \forall n,p,q,r. O < n \to
  76 p = max_prime_factor n \to
  77 (pair nat nat q r) = p_ord n (nth_prime p) \to
  78 (S O) < r \to max_prime_factor r < p.
  79 intros.
  80 rewrite > H1.
  81 cut (max_prime_factor r \lt max_prime_factor n \lor
  82     max_prime_factor r = max_prime_factor n).
  83 elim Hcut.assumption.
  84 absurd (nth_prime (max_prime_factor n) \divides r).
  85 rewrite < H4.
  86 apply divides_max_prime_factor_n.
  87 assumption.
  88 change with (nth_prime (max_prime_factor n) \divides r \to False).
  89 intro.
  90 cut (r \mod (nth_prime (max_prime_factor n)) \neq O).
  91 apply Hcut1.apply divides_to_mod_O.
  92 apply lt_O_nth_prime_n.assumption.
  93 apply (p_ord_aux_to_not_mod_O n n ? q r).
  94 apply lt_SO_nth_prime_n.assumption.
  95 apply le_n.
  96 rewrite < H1.assumption.
  97 apply (le_to_or_lt_eq (max_prime_factor r)  (max_prime_factor n)).
  98 apply divides_to_max_prime_factor.
  99 assumption.assumption.
 100 apply (witness r n ((nth_prime p) \sup q)).
 101 rewrite < sym_times.
 102 apply (p_ord_aux_to_exp n n ? q r).
 103 apply lt_O_nth_prime_n.assumption.
 104 qed.
 105
 106 theorem p_ord_to_lt_max_prime_factor1: \forall n,p,q,r. O < n \to
 107 max_prime_factor n \le p \to
 108 (pair nat nat q r) = p_ord n (nth_prime p) \to
 109 (S O) < r \to max_prime_factor r < p.
 110 intros.
 111 cut (max_prime_factor n < p \lor max_prime_factor n = p).
 112 elim Hcut.apply (le_to_lt_to_lt ? (max_prime_factor n)).
 113 apply divides_to_max_prime_factor.assumption.assumption.
 114 apply (witness r n ((nth_prime p) \sup q)).
 115 rewrite > sym_times.
 116 apply (p_ord_aux_to_exp n n).
 117 apply lt_O_nth_prime_n.
 118 assumption.assumption.
 119 apply (p_ord_to_lt_max_prime_factor n ? q).
 120 assumption.apply sym_eq.assumption.assumption.assumption.
 121 apply (le_to_or_lt_eq ? p H1).
 122 qed.
 123
 124 (* datatypes and functions *)
 125
 126 inductive nat_fact : Set \def
 127     nf_last : nat \to nat_fact
 128   | nf_cons : nat \to nat_fact \to nat_fact.
 129
 130 inductive nat_fact_all : Set \def
 131     nfa_zero : nat_fact_all
 132   | nfa_one : nat_fact_all
 133   | nfa_proper : nat_fact \to nat_fact_all.
 134
 135 let rec factorize_aux p n acc \def
 136   match p with
 137   [ O \Rightarrow acc
 138   | (S p1) \Rightarrow
 139     match p_ord n (nth_prime p1) with
 140     [ (pair q r) \Rightarrow
 141       factorize_aux p1 r (nf_cons q acc)]].
 142
 143 definition factorize : nat \to nat_fact_all \def \lambda n:nat.
 144   match n with
 145     [ O \Rightarrow nfa_zero
 146     | (S n1) \Rightarrow
 147       match n1 with
 148       [ O \Rightarrow nfa_one
 149     | (S n2) \Rightarrow
 150       let p \def (max (S(S n2)) (\lambda p:nat.eqb ((S(S n2)) \mod (nth_prime p)) O)) in
 151       match p_ord (S(S n2)) (nth_prime p) with
 152       [ (pair q r) \Rightarrow
 153            nfa_proper (factorize_aux p r (nf_last (pred q)))]]].
 154
 155 let rec defactorize_aux f i \def
 156   match f with
 157   [ (nf_last n) \Rightarrow (nth_prime i) \sup (S n)
 158   | (nf_cons n g) \Rightarrow
 159       (nth_prime i) \sup n *(defactorize_aux g (S i))].
 160
 161 definition defactorize : nat_fact_all \to nat \def
 162 \lambda f : nat_fact_all.
 163 match f with
 164 [ nfa_zero \Rightarrow O
 165 | nfa_one \Rightarrow (S O)
 166 | (nfa_proper g) \Rightarrow defactorize_aux g O].
 167
 168 theorem lt_O_defactorize_aux: \forall f:nat_fact.\forall i:nat.
 169 O < defactorize_aux f i.
 170 intro.elim f.simplify.unfold lt.
 171 rewrite > times_n_SO.
 172 apply le_times.
 173 change with (O < nth_prime i).
 174 apply lt_O_nth_prime_n.
 175 change with (O < exp (nth_prime i) n).
 176 apply lt_O_exp.
 177 apply lt_O_nth_prime_n.
 178 simplify.unfold lt.
 179 rewrite > times_n_SO.
 180 apply le_times.
 181 change with (O < exp (nth_prime i) n).
 182 apply lt_O_exp.
 183 apply lt_O_nth_prime_n.
 184 change with (O < defactorize_aux n1 (S i)).
 185 apply H.
 186 qed.
 187
 188 theorem lt_SO_defactorize_aux: \forall f:nat_fact.\forall i:nat.
 189 S O < defactorize_aux f i.
 190 intro.elim f.simplify.unfold lt.
 191 rewrite > times_n_SO.
 192 apply le_times.
 193 change with (S O < nth_prime i).
 194 apply lt_SO_nth_prime_n.
 195 change with (O < exp (nth_prime i) n).
 196 apply lt_O_exp.
 197 apply lt_O_nth_prime_n.
 198 simplify.unfold lt.
 199 rewrite > times_n_SO.
 200 rewrite > sym_times.
 201 apply le_times.
 202 change with (O < exp (nth_prime i) n).
 203 apply lt_O_exp.
 204 apply lt_O_nth_prime_n.
 205 change with (S O < defactorize_aux n1 (S i)).
 206 apply H.
 207 qed.
 208
 209 theorem defactorize_aux_factorize_aux :
 210 \forall p,n:nat.\forall acc:nat_fact.O < n \to
 211 ((n=(S O) \land p=O) \lor max_prime_factor n < p) \to
 212 defactorize_aux (factorize_aux p n acc) O = n*(defactorize_aux acc p).
 213 intro.elim p.simplify.
 214 elim H1.elim H2.rewrite > H3.
 215 rewrite > sym_times. apply times_n_SO.
 216 apply False_ind.apply (not_le_Sn_O (max_prime_factor n) H2).
 217 simplify.
 218 (* generalizing the goal: I guess there exists a better way *)
 219 cut (\forall q,r.(pair nat nat q r) = (p_ord_aux n1 n1 (nth_prime n)) \to
 220 defactorize_aux match (p_ord_aux n1 n1 (nth_prime n)) with
 221 [(pair q r)  \Rightarrow (factorize_aux n r (nf_cons q acc))] O =
 222 n1*defactorize_aux acc (S n)).
 223 apply (Hcut (fst ? ? (p_ord_aux n1 n1 (nth_prime n)))
 224 (snd ? ? (p_ord_aux n1 n1 (nth_prime n)))).
 225 apply sym_eq.apply eq_pair_fst_snd.
 226 intros.
 227 rewrite < H3.
 228 simplify.
 229 cut (n1 = r * (nth_prime n) \sup q).
 230 rewrite > H.
 231 simplify.rewrite < assoc_times.
 232 rewrite < Hcut.reflexivity.
 233 cut (O < r \lor O = r).
 234 elim Hcut1.assumption.absurd (n1 = O).
 235 rewrite > Hcut.rewrite < H4.reflexivity.
 236 unfold Not. intro.apply (not_le_Sn_O O).
 237 rewrite < H5 in \vdash (? ? %).assumption.
 238 apply le_to_or_lt_eq.apply le_O_n.
 239 cut ((S O) < r \lor (S O) \nlt r).
 240 elim Hcut1.
 241 right.
 242 apply (p_ord_to_lt_max_prime_factor1 n1 ? q r).
 243 assumption.elim H2.
 244 elim H5.
 245 apply False_ind.
 246 apply (not_eq_O_S n).apply sym_eq.assumption.
 247 apply le_S_S_to_le.
 248 exact H5.
 249 assumption.assumption.
 250 cut (r=(S O)).
 251 apply (nat_case n).
 252 left.split.assumption.reflexivity.
 253 intro.right.rewrite > Hcut2.
 254 simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 255 cut (r \lt (S O) \or r=(S O)).
 256 elim Hcut2.absurd (O=r).
 257 apply le_n_O_to_eq.apply le_S_S_to_le.exact H5.
 258 unfold Not.intro.
 259 cut (O=n1).
 260 apply (not_le_Sn_O O).
 261 rewrite > Hcut3 in \vdash (? ? %).
 262 assumption.rewrite > Hcut.
 263 rewrite < H6.reflexivity.
 264 assumption.
 265 apply (le_to_or_lt_eq r (S O)).
 266 apply not_lt_to_le.assumption.
 267 apply (decidable_lt (S O) r).
 268 rewrite > sym_times.
 269 apply (p_ord_aux_to_exp n1 n1).
 270 apply lt_O_nth_prime_n.assumption.
 271 qed.
 272
 273 theorem defactorize_factorize: \forall n:nat.defactorize (factorize n) = n.
 274 intro.
 275 apply (nat_case n).reflexivity.
 276 intro.apply (nat_case m).reflexivity.
 277 intro.change with
 278 (let p \def (max (S(S m1)) (\lambda p:nat.eqb ((S(S m1)) \mod (nth_prime p)) O)) in
 279 defactorize (match p_ord (S(S m1)) (nth_prime p) with
 280 [ (pair q r) \Rightarrow
 281    nfa_proper (factorize_aux p r (nf_last (pred q)))])=(S(S m1))).
 282 intro.
 283 (* generalizing the goal; find a better way *)
 284 cut (\forall q,r.(pair nat nat q r) = (p_ord (S(S m1)) (nth_prime p)) \to
 285 defactorize (match p_ord (S(S m1)) (nth_prime p) with
 286 [ (pair q r) \Rightarrow
 287    nfa_proper (factorize_aux p r (nf_last (pred q)))])=(S(S m1))).
 288 apply (Hcut (fst ? ? (p_ord (S(S m1)) (nth_prime p)))
 289 (snd ? ? (p_ord (S(S m1)) (nth_prime p)))).
 290 apply sym_eq.apply eq_pair_fst_snd.
 291 intros.
 292 rewrite < H.
 293 change with
 294 (defactorize_aux (factorize_aux p r (nf_last (pred q))) O = (S(S m1))).
 295 cut ((S(S m1)) = (nth_prime p) \sup q *r).
 296 cut (O<r).
 297 rewrite > defactorize_aux_factorize_aux.
 298 change with (r*(nth_prime p) \sup (S (pred q)) = (S(S m1))).
 299 cut ((S (pred q)) = q).
 300 rewrite > Hcut2.
 301 rewrite > sym_times.
 302 apply sym_eq.
 303 apply (p_ord_aux_to_exp (S(S m1))).
 304 apply lt_O_nth_prime_n.
 305 assumption.
 306 (* O < q *)
 307 apply sym_eq. apply S_pred.
 308 cut (O < q \lor O = q).
 309 elim Hcut2.assumption.
 310 absurd (nth_prime p \divides S (S m1)).
 311 apply (divides_max_prime_factor_n (S (S m1))).
 312 unfold lt.apply le_S_S.apply le_S_S. apply le_O_n.
 313 cut ((S(S m1)) = r).
 314 rewrite > Hcut3 in \vdash (? (? ? %)).
 315 change with (nth_prime p \divides r \to False).
 316 intro.
 317 apply (p_ord_aux_to_not_mod_O (S(S m1)) (S(S m1)) (nth_prime p) q r).
 318 apply lt_SO_nth_prime_n.
 319 unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.apply le_n.
 320 assumption.
 321 apply divides_to_mod_O.apply lt_O_nth_prime_n.assumption.
 322 rewrite > times_n_SO in \vdash (? ? ? %).
 323 rewrite < sym_times.
 324 rewrite > (exp_n_O (nth_prime p)).
 325 rewrite > H1 in \vdash (? ? ? (? (? ? %) ?)).
 326 assumption.
 327 apply le_to_or_lt_eq.apply le_O_n.assumption.
 328 (* e adesso l'ultimo goal. TASSI: che ora non e' piu' l'ultimo :P *)
 329 cut ((S O) < r \lor S O \nlt r).
 330 elim Hcut2.
 331 right.
 332 apply (p_ord_to_lt_max_prime_factor1 (S(S m1)) ? q r).
 333 unfold lt.apply le_S_S. apply le_O_n.
 334 apply le_n.
 335 assumption.assumption.
 336 cut (r=(S O)).
 337 apply (nat_case p).
 338 left.split.assumption.reflexivity.
 339 intro.right.rewrite > Hcut3.
 340 simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 341 cut (r \lt (S O) \or r=(S O)).
 342 elim Hcut3.absurd (O=r).
 343 apply le_n_O_to_eq.apply le_S_S_to_le.exact H2.
 344 unfold Not.intro.
 345 apply (not_le_Sn_O O).
 346 rewrite > H3 in \vdash (? ? %).assumption.assumption.
 347 apply (le_to_or_lt_eq r (S O)).
 348 apply not_lt_to_le.assumption.
 349 apply (decidable_lt (S O) r).
 350 (* O < r *)
 351 cut (O < r \lor O = r).
 352 elim Hcut1.assumption.
 353 apply False_ind.
 354 apply (not_eq_O_S (S m1)).
 355 rewrite > Hcut.rewrite < H1.rewrite < times_n_O.reflexivity.
 356 apply le_to_or_lt_eq.apply le_O_n.
 357 (* prova del cut *)
 358 goal 20.
 359 apply (p_ord_aux_to_exp (S(S m1))).
 360 apply lt_O_nth_prime_n.
 361 assumption.
 362 (* fine prova cut *)
 363 qed.
 364
 365 let rec max_p f \def
 366 match f with
 367 [ (nf_last n) \Rightarrow O
 368 | (nf_cons n g) \Rightarrow S (max_p g)].
 369
 370 let rec max_p_exponent f \def
 371 match f with
 372 [ (nf_last n) \Rightarrow n
 373 | (nf_cons n g) \Rightarrow max_p_exponent g].
 374
 375 theorem divides_max_p_defactorize: \forall f:nat_fact.\forall i:nat.
 376 nth_prime ((max_p f)+i) \divides defactorize_aux f i.
 377 intro.
 378 elim f.simplify.apply (witness ? ? ((nth_prime i) \sup n)).
 379 reflexivity.
 380 change with
 381 (nth_prime (S(max_p n1)+i) \divides
 382 (nth_prime i) \sup n *(defactorize_aux n1 (S i))).
 383 elim (H (S i)).
 384 rewrite > H1.
 385 rewrite < sym_times.
 386 rewrite > assoc_times.
 387 rewrite < plus_n_Sm.
 388 apply (witness ? ? (n2* (nth_prime i) \sup n)).
 389 reflexivity.
 390 qed.
 391
 392 theorem divides_exp_to_divides:
 393 \forall p,n,m:nat. prime p \to
 394 p \divides n \sup m \to p \divides n.
 395 intros 3.elim m.simplify in H1.
 396 apply (transitive_divides p (S O)).assumption.
 397 apply divides_SO_n.
 398 cut (p \divides n \lor p \divides n \sup n1).
 399 elim Hcut.assumption.
 400 apply H.assumption.assumption.
 401 apply divides_times_to_divides.assumption.
 402 exact H2.
 403 qed.
 404
 405 theorem divides_exp_to_eq:
 406 \forall p,q,m:nat. prime p \to prime q \to
 407 p \divides q \sup m \to p = q.
 408 intros.
 409 unfold prime in H1.
 410 elim H1.apply H4.
 411 apply (divides_exp_to_divides p q m).
 412 assumption.assumption.
 413 unfold prime in H.elim H.assumption.
 414 qed.
 415
 416 theorem  not_divides_defactorize_aux: \forall f:nat_fact. \forall i,j:nat.
 417 i < j \to nth_prime i \ndivides defactorize_aux f j.
 418 intro.elim f.
 419 change with
 420 (nth_prime i \divides (nth_prime j) \sup (S n) \to False).
 421 intro.absurd ((nth_prime i) = (nth_prime j)).
 422 apply (divides_exp_to_eq ? ? (S n)).
 423 apply prime_nth_prime.apply prime_nth_prime.
 424 assumption.
 425 change with ((nth_prime i) = (nth_prime j) \to False).
 426 intro.cut (i = j).
 427 apply (not_le_Sn_n i).rewrite > Hcut in \vdash (? ? %).assumption.
 428 apply (injective_nth_prime ? ? H2).
 429 change with
 430 (nth_prime i \divides (nth_prime j) \sup n *(defactorize_aux n1 (S j)) \to False).
 431 intro.
 432 cut (nth_prime i \divides (nth_prime j) \sup n
 433 \lor nth_prime i \divides defactorize_aux n1 (S j)).
 434 elim Hcut.
 435 absurd ((nth_prime i) = (nth_prime j)).
 436 apply (divides_exp_to_eq ? ? n).
 437 apply prime_nth_prime.apply prime_nth_prime.
 438 assumption.
 439 change with ((nth_prime i) = (nth_prime j) \to False).
 440 intro.
 441 cut (i = j).
 442 apply (not_le_Sn_n i).rewrite > Hcut1 in \vdash (? ? %).assumption.
 443 apply (injective_nth_prime ? ? H4).
 444 apply (H i (S j)).
 445 apply (trans_lt ? j).assumption.unfold lt.apply le_n.
 446 assumption.
 447 apply divides_times_to_divides.
 448 apply prime_nth_prime.assumption.
 449 qed.
 450
 451 lemma not_eq_nf_last_nf_cons: \forall g:nat_fact.\forall n,m,i:nat.
 452 \lnot (defactorize_aux (nf_last n) i= defactorize_aux (nf_cons m g) i).
 453 intros.
 454 change with
 455 (exp (nth_prime i) (S n) = defactorize_aux (nf_cons m g) i \to False).
 456 intro.
 457 cut (S(max_p g)+i= i).
 458 apply (not_le_Sn_n i).
 459 rewrite < Hcut in \vdash (? ? %).
 460 simplify.apply le_S_S.
 461 apply le_plus_n.
 462 apply injective_nth_prime.
 463 (* uffa, perche' semplifica ? *)
 464 change with (nth_prime (S(max_p g)+i)= nth_prime i).
 465 apply (divides_exp_to_eq ? ? (S n)).
 466 apply prime_nth_prime.apply prime_nth_prime.
 467 rewrite > H.
 468 change with (divides (nth_prime ((max_p (nf_cons m g))+i))
 469 (defactorize_aux (nf_cons m g) i)).
 470 apply divides_max_p_defactorize.
 471 qed.
 472
 473 lemma not_eq_nf_cons_O_nf_cons: \forall f,g:nat_fact.\forall n,i:nat.
 474 \lnot (defactorize_aux (nf_cons O f) i= defactorize_aux (nf_cons (S n) g) i).
 475 intros.
 476 simplify.unfold Not.rewrite < plus_n_O.
 477 intro.
 478 apply (not_divides_defactorize_aux f i (S i) ?).
 479 unfold lt.apply le_n.
 480 rewrite > H.
 481 rewrite > assoc_times.
 482 apply (witness ? ? ((exp (nth_prime i) n)*(defactorize_aux g (S i)))).
 483 reflexivity.
 484 qed.
 485
 486 theorem eq_defactorize_aux_to_eq: \forall f,g:nat_fact.\forall i:nat.
 487 defactorize_aux f i = defactorize_aux g i \to f = g.
 488 intro.
 489 elim f.
 490 generalize in match H.
 491 elim g.
 492 apply eq_f.
 493 apply inj_S. apply (inj_exp_r (nth_prime i)).
 494 apply lt_SO_nth_prime_n.
 495 assumption.
 496 apply False_ind.
 497 apply (not_eq_nf_last_nf_cons n2 n n1 i H2).
 498 generalize in match H1.
 499 elim g.
 500 apply False_ind.
 501 apply (not_eq_nf_last_nf_cons n1 n2 n i).
 502 apply sym_eq. assumption.
 503 simplify in H3.
 504 generalize in match H3.
 505 apply (nat_elim2 (\lambda n,n2.
 506 ((nth_prime i) \sup n)*(defactorize_aux n1 (S i)) =
 507 ((nth_prime i) \sup n2)*(defactorize_aux n3 (S i)) \to
 508 nf_cons n n1 = nf_cons n2 n3)).
 509 intro.
 510 elim n4. apply eq_f.
 511 apply (H n3 (S i)).
 512 simplify in H4.
 513 rewrite > plus_n_O.
 514 rewrite > (plus_n_O (defactorize_aux n3 (S i))).assumption.
 515 apply False_ind.
 516 apply (not_eq_nf_cons_O_nf_cons n1 n3 n5 i).assumption.
 517 intros.
 518 apply False_ind.
 519 apply (not_eq_nf_cons_O_nf_cons n3 n1 n4 i).
 520 apply sym_eq.assumption.
 521 intros.
 522 cut (nf_cons n4 n1 = nf_cons m n3).
 523 cut (n4=m).
 524 cut (n1=n3).
 525 rewrite > Hcut1.rewrite > Hcut2.reflexivity.
 526 change with
 527 (match nf_cons n4 n1 with
 528 [ (nf_last m) \Rightarrow n1
 529 | (nf_cons m g) \Rightarrow g ] = n3).
 530 rewrite > Hcut.simplify.reflexivity.
 531 change with
 532 (match nf_cons n4 n1 with
 533 [ (nf_last m) \Rightarrow m
 534 | (nf_cons m g) \Rightarrow m ] = m).
 535 rewrite > Hcut.simplify.reflexivity.
 536 apply H4.simplify in H5.
 537 apply (inj_times_r1 (nth_prime i)).
 538 apply lt_O_nth_prime_n.
 539 rewrite < assoc_times.rewrite < assoc_times.assumption.
 540 qed.
 541
 542 theorem injective_defactorize_aux: \forall i:nat.
 543 injective nat_fact nat (\lambda f.defactorize_aux f i).
 544 change with (\forall i:nat.\forall f,g:nat_fact.
 545 defactorize_aux f i = defactorize_aux g i \to f = g).
 546 intros.
 547 apply (eq_defactorize_aux_to_eq f g i H).
 548 qed.
 549
 550 theorem injective_defactorize:
 551 injective nat_fact_all nat defactorize.
 552 change with (\forall f,g:nat_fact_all.
 553 defactorize f = defactorize g \to f = g).
 554 intro.elim f.
 555 generalize in match H.elim g.
 556 (* zero - zero *)
 557 reflexivity.
 558 (* zero - one *)
 559 simplify in H1.
 560 apply False_ind.
 561 apply (not_eq_O_S O H1).
 562 (* zero - proper *)
 563 simplify in H1.
 564 apply False_ind.
 565 apply (not_le_Sn_n O).
 566 rewrite > H1 in \vdash (? ? %).
 567 change with (O < defactorize_aux n O).
 568 apply lt_O_defactorize_aux.
 569 generalize in match H.
 570 elim g.
 571 (* one - zero *)
 572 simplify in H1.
 573 apply False_ind.
 574 apply (not_eq_O_S O).apply sym_eq. assumption.
 575 (* one - one *)
 576 reflexivity.
 577 (* one - proper *)
 578 simplify in H1.
 579 apply False_ind.
 580 apply (not_le_Sn_n (S O)).
 581 rewrite > H1 in \vdash (? ? %).
 582 change with ((S O) < defactorize_aux n O).
 583 apply lt_SO_defactorize_aux.
 584 generalize in match H.elim g.
 585 (* proper - zero *)
 586 simplify in H1.
 587 apply False_ind.
 588 apply (not_le_Sn_n O).
 589 rewrite < H1 in \vdash (? ? %).
 590 change with (O < defactorize_aux n O).
 591 apply lt_O_defactorize_aux.
 592 (* proper - one *)
 593 simplify in H1.
 594 apply False_ind.
 595 apply (not_le_Sn_n (S O)).
 596 rewrite < H1 in \vdash (? ? %).
 597 change with ((S O) < defactorize_aux n O).
 598 apply lt_SO_defactorize_aux.
 599 (* proper - proper *)
 600 apply eq_f.
 601 apply (injective_defactorize_aux O).
 602 exact H1.
 603 qed.
 604
 605 theorem factorize_defactorize:
 606 \forall f,g: nat_fact_all. factorize (defactorize f) = f.
 607 intros.
 608 apply injective_defactorize.
 609 (* uffa: perche' semplifica ??? *)
 610 change with (defactorize(factorize (defactorize f)) = (defactorize f)).
 611 apply defactorize_factorize.
 612 qed.
 613