helm/matita/library/nat/factorization.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/factorization".
  16
  17 include "nat/log.ma".
  18 include "nat/gcd.ma".
  19 include "nat/nth_prime.ma".
  20
  21 (* the following factorization algorithm looks for the largest prime
  22    factor. *)
  23 definition max_prime_factor \def \lambda n:nat.
  24 (max n (\lambda p:nat.eqb (mod n (nth_prime p)) O)).
  25
  26 (* max_prime_factor is indeed a factor *)
  27 theorem divides_max_prime_factor_n: \forall n:nat. (S O) < n \to
  28 divides (nth_prime (max_prime_factor n)) n.
  29 intros.apply divides_b_true_to_divides.
  30 apply lt_O_nth_prime_n.
  31 apply f_max_true  (\lambda p:nat.eqb (mod n (nth_prime p)) O) n.
  32 cut ex nat (\lambda i. nth_prime i = smallest_factor n).
  33 elim Hcut.
  34 apply ex_intro nat ? a.
  35 split.
  36 apply trans_le a (nth_prime a).
  37 apply le_n_fn.
  38 exact lt_nth_prime_n_nth_prime_Sn.
  39 rewrite > H1. apply le_smallest_factor_n.
  40 rewrite > H1.
  41 change with divides_b (smallest_factor n) n = true.
  42 apply divides_to_divides_b_true.
  43 apply trans_lt ? (S O).simplify. apply le_n.
  44 apply lt_SO_smallest_factor.assumption.
  45 apply divides_smallest_factor_n.
  46 apply trans_lt ? (S O). simplify. apply le_n. assumption.
  47 apply prime_to_nth_prime.
  48 apply prime_smallest_factor_n.assumption.
  49 qed.
  50
  51 theorem divides_to_max_prime_factor : \forall n,m. (S O) < n \to O < m \to divides n m \to
  52 max_prime_factor n \le max_prime_factor m.
  53 intros.change with
  54 (max n (\lambda p:nat.eqb (mod n (nth_prime p)) O)) \le
  55 (max m (\lambda p:nat.eqb (mod m (nth_prime p)) O)).
  56 apply f_m_to_le_max.
  57 apply trans_le ? n.
  58 apply le_max_n.apply divides_to_le.assumption.assumption.
  59 change with divides_b (nth_prime (max_prime_factor n)) m = true.
  60 apply divides_to_divides_b_true.
  61 cut prime (nth_prime (max_prime_factor n)).
  62 apply lt_O_nth_prime_n.apply prime_nth_prime.
  63 cut divides (nth_prime (max_prime_factor n)) n.
  64 apply transitive_divides ? n.
  65 apply divides_max_prime_factor_n.
  66 assumption.assumption.
  67 apply divides_b_true_to_divides.
  68 apply lt_O_nth_prime_n.
  69 apply divides_to_divides_b_true.
  70 apply lt_O_nth_prime_n.
  71 apply divides_max_prime_factor_n.
  72 assumption.
  73 qed.
  74
  75 theorem plog_to_lt_max_prime_factor: \forall n,p,q,r. O < n \to
  76 p = max_prime_factor n \to
  77 (pair nat nat q r) = plog n (nth_prime p) \to
  78 (S O) < r \to max_prime_factor r < p.
  79 intros.
  80 rewrite > H1.
  81 cut max_prime_factor r \lt max_prime_factor n \lor
  82     max_prime_factor r = max_prime_factor n.
  83 elim Hcut.assumption.
  84 absurd (divides (nth_prime (max_prime_factor n)) r).
  85 rewrite < H4.
  86 apply divides_max_prime_factor_n.
  87 assumption.
  88 change with (divides (nth_prime (max_prime_factor n)) r) \to False.
  89 intro.
  90 cut \not (mod r (nth_prime (max_prime_factor n))) = O.
  91 apply Hcut1.apply divides_to_mod_O.
  92 apply lt_O_nth_prime_n.assumption.
  93 apply plog_aux_to_not_mod_O n n ? q r.
  94 apply lt_SO_nth_prime_n.assumption.
  95 apply le_n.
  96 rewrite < H1.assumption.
  97 apply le_to_or_lt_eq (max_prime_factor r)  (max_prime_factor n).
  98 apply divides_to_max_prime_factor.
  99 assumption.assumption.
 100 apply witness r n (exp (nth_prime p) q).
 101 rewrite < sym_times.
 102 apply plog_aux_to_exp n n ? q r.
 103 apply lt_O_nth_prime_n.assumption.
 104 qed.
 105
 106 theorem plog_to_lt_max_prime_factor1: \forall n,p,q,r. O < n \to
 107 max_prime_factor n \le p \to
 108 (pair nat nat q r) = plog n (nth_prime p) \to
 109 (S O) < r \to max_prime_factor r < p.
 110 intros.
 111 cut max_prime_factor n < p \lor max_prime_factor n = p.
 112 elim Hcut.apply le_to_lt_to_lt ? (max_prime_factor n).
 113 apply divides_to_max_prime_factor.assumption.assumption.
 114 apply witness r n (exp (nth_prime p) q).
 115 rewrite > sym_times.
 116 apply plog_aux_to_exp n n.
 117 apply lt_O_nth_prime_n.
 118 assumption.assumption.
 119 apply plog_to_lt_max_prime_factor n ? q.
 120 assumption.apply sym_eq.assumption.assumption.assumption.
 121 apply le_to_or_lt_eq ? p H1.
 122 qed.
 123
 124 (* datatypes and functions *)
 125
 126 inductive nat_fact : Set \def
 127     nf_last : nat \to nat_fact
 128   | nf_cons : nat \to nat_fact \to nat_fact.
 129
 130 inductive nat_fact_all : Set \def
 131     nfa_zero : nat_fact_all
 132   | nfa_one : nat_fact_all
 133   | nfa_proper : nat_fact \to nat_fact_all.
 134
 135 let rec factorize_aux p n acc \def
 136   match p with
 137   [ O \Rightarrow acc
 138   | (S p1) \Rightarrow
 139     match plog n (nth_prime p1) with
 140     [ (pair q r) \Rightarrow
 141       factorize_aux p1 r (nf_cons q acc)]].
 142
 143 definition factorize : nat \to nat_fact_all \def \lambda n:nat.
 144   match n with
 145     [ O \Rightarrow nfa_zero
 146     | (S n1) \Rightarrow
 147       match n1 with
 148       [ O \Rightarrow nfa_one
 149     | (S n2) \Rightarrow
 150       let p \def (max (S(S n2)) (\lambda p:nat.eqb (mod (S(S n2)) (nth_prime p)) O)) in
 151       match plog (S(S n2)) (nth_prime p) with
 152       [ (pair q r) \Rightarrow
 153            nfa_proper (factorize_aux p r (nf_last (pred q)))]]].
 154
 155 let rec defactorize_aux f i \def
 156   match f with
 157   [ (nf_last n) \Rightarrow exp (nth_prime i) (S n)
 158   | (nf_cons n g) \Rightarrow
 159       (exp (nth_prime i) n)*(defactorize_aux g (S i))].
 160
 161 definition defactorize : nat_fact_all \to nat \def
 162 \lambda f : nat_fact_all.
 163 match f with
 164 [ nfa_zero \Rightarrow O
 165 | nfa_one \Rightarrow (S O)
 166 | (nfa_proper g) \Rightarrow defactorize_aux g O].
 167
 168 theorem defactorize_aux_factorize_aux :
 169 \forall p,n:nat.\forall acc:nat_fact.O < n \to
 170 ((n=(S O) \land p=O) \lor max_prime_factor n < p) \to
 171 defactorize_aux (factorize_aux p n acc) O = n*(defactorize_aux acc p).
 172 intro.elim p.simplify.
 173 elim H1.elim H2.rewrite > H3.
 174 rewrite > sym_times. apply times_n_SO.
 175 apply False_ind.apply not_le_Sn_O (max_prime_factor n) H2.
 176 simplify.
 177 (* generalizing the goal: I guess there exists a better way *)
 178 cut \forall q,r.(pair nat nat q r) = (plog_aux n1 n1 (nth_prime n)) \to
 179 defactorize_aux match (plog_aux n1 n1 (nth_prime n)) with
 180 [(pair q r)  \Rightarrow (factorize_aux n r (nf_cons q acc))] O =
 181 n1*defactorize_aux acc (S n).
 182 apply Hcut (fst ? ? (plog_aux n1 n1 (nth_prime n)))
 183 (snd ? ? (plog_aux n1 n1 (nth_prime n))).
 184 apply sym_eq.apply eq_pair_fst_snd.
 185 intros.
 186 rewrite < H3.
 187 simplify.
 188 cut n1 = r*(exp (nth_prime n) q).
 189 rewrite > H.
 190 simplify.rewrite < assoc_times.
 191 rewrite < Hcut.reflexivity.
 192 rewrite > sym_times.
 193 apply plog_aux_to_exp n1 n1.
 194 apply lt_O_nth_prime_n.assumption.
 195 cut O < r \lor O = r.
 196 elim Hcut1.assumption.absurd n1 = O.
 197 rewrite > Hcut.rewrite < H4.reflexivity.
 198 simplify. intro.apply not_le_Sn_O O.
 199 rewrite < H5 in \vdash (? ? %).assumption.
 200 apply le_to_or_lt_eq.apply le_O_n.
 201 cut (S O) < r \lor \lnot (S O) < r.
 202 elim Hcut1.
 203 right.
 204 apply plog_to_lt_max_prime_factor1 n1 ? q r.
 205 assumption.elim H2.
 206 elim H5.
 207 apply False_ind.
 208 apply not_eq_O_S n.apply sym_eq.assumption.
 209 apply le_S_S_to_le.
 210 exact H5.
 211 assumption.assumption.
 212 cut r=(S O).
 213 apply nat_case n.
 214 left.split.assumption.reflexivity.
 215 intro.right.rewrite > Hcut2.
 216 simplify.apply le_S_S.apply le_O_n.
 217 cut r \lt (S O) \or r=(S O).
 218 elim Hcut2.absurd O=r.
 219 apply le_n_O_to_eq.apply le_S_S_to_le.exact H5.
 220 simplify.intro.
 221 cut O=n1.
 222 apply not_le_Sn_O O ?.
 223 rewrite > Hcut3 in \vdash (? ? %).
 224 assumption.rewrite > Hcut.
 225 rewrite < H6.reflexivity.
 226 assumption.
 227 apply le_to_or_lt_eq r (S O).
 228 apply not_lt_to_le.assumption.
 229 apply decidable_lt (S O) r.
 230 qed.
 231
 232 theorem defactorize_factorize: \forall n:nat.defactorize (factorize n) = n.
 233 intro.
 234 apply nat_case n.reflexivity.
 235 intro.apply nat_case m.reflexivity.
 236 intro.change with
 237 let p \def (max (S(S m1)) (\lambda p:nat.eqb (mod (S(S m1)) (nth_prime p)) O)) in
 238 defactorize (match plog (S(S m1)) (nth_prime p) with
 239 [ (pair q r) \Rightarrow
 240    nfa_proper (factorize_aux p r (nf_last (pred q)))])=(S(S m1)).
 241 intro.
 242 (* generalizing the goal; find a better way *)
 243 cut \forall q,r.(pair nat nat q r) = (plog (S(S m1)) (nth_prime p)) \to
 244 defactorize (match plog (S(S m1)) (nth_prime p) with
 245 [ (pair q r) \Rightarrow
 246    nfa_proper (factorize_aux p r (nf_last (pred q)))])=(S(S m1)).
 247 apply Hcut (fst ? ? (plog (S(S m1)) (nth_prime p)))
 248 (snd ? ? (plog (S(S m1)) (nth_prime p))).
 249 apply sym_eq.apply eq_pair_fst_snd.
 250 intros.
 251 rewrite < H.
 252 change with
 253 defactorize_aux (factorize_aux p r (nf_last (pred q))) O = (S(S m1)).
 254 cut (S(S m1)) = (exp (nth_prime p) q)*r.
 255 cut O <r.
 256 rewrite > defactorize_aux_factorize_aux.
 257 change with r*(exp (nth_prime p) (S (pred q))) = (S(S m1)).
 258 cut (S (pred q)) = q.
 259 rewrite > Hcut2.
 260 rewrite > sym_times.
 261 apply sym_eq.
 262 apply plog_aux_to_exp (S(S m1)).
 263 apply lt_O_nth_prime_n.
 264 assumption.
 265 (* O < q *)
 266 apply sym_eq. apply S_pred.
 267 cut O < q \lor O = q.
 268 elim Hcut2.assumption.
 269 absurd divides (nth_prime p) (S (S m1)).
 270 apply divides_max_prime_factor_n (S (S m1)).
 271 simplify.apply le_S_S.apply le_S_S. apply le_O_n.
 272 cut (S(S m1)) = r.
 273 rewrite > Hcut3 in \vdash (? (? ? %)).
 274 change with divides (nth_prime p) r \to False.
 275 intro.
 276 apply plog_aux_to_not_mod_O (S(S m1)) (S(S m1)) (nth_prime p) q r ? ? ? ?.
 277 apply divides_to_mod_O.
 278 apply lt_O_nth_prime_n.
 279 assumption.
 280 apply lt_SO_nth_prime_n.
 281 simplify.apply le_S_S.apply le_O_n.
 282 apply le_n.
 283 assumption.rewrite > times_n_SO in \vdash (? ? ? %).
 284 rewrite < sym_times.
 285 rewrite > exp_n_O (nth_prime p).
 286 rewrite > H1 in \vdash (? ? ? (? (? ? %) ?)).
 287 assumption.
 288 apply le_to_or_lt_eq.apply le_O_n.
 289 (* O < r *)
 290 cut O < r \lor O = r.
 291 elim Hcut1.assumption.
 292 apply False_ind.
 293 apply not_eq_O_S (S m1).
 294 rewrite > Hcut.rewrite < H1.rewrite < times_n_O.reflexivity.
 295 apply le_to_or_lt_eq.apply le_O_n.
 296 (* prova del cut *)
 297 apply plog_aux_to_exp (S(S m1)).
 298 apply lt_O_nth_prime_n.
 299 assumption.
 300 (* fine prova cut *)
 301 assumption.
 302 (* e adesso l'ultimo goal *)
 303 cut (S O) < r \lor \lnot (S O) < r.
 304 elim Hcut2.
 305 right.
 306 apply plog_to_lt_max_prime_factor1 (S(S m1)) ? q r.
 307 simplify.apply le_S_S. apply le_O_n.
 308 apply le_n.
 309 assumption.assumption.
 310 cut r=(S O).
 311 apply nat_case p.
 312 left.split.assumption.reflexivity.
 313 intro.right.rewrite > Hcut3.
 314 simplify.apply le_S_S.apply le_O_n.
 315 cut r \lt (S O) \or r=(S O).
 316 elim Hcut3.absurd O=r.
 317 apply le_n_O_to_eq.apply le_S_S_to_le.exact H2.
 318 simplify.intro.
 319 apply not_le_Sn_O O ?.
 320 rewrite > H3 in \vdash (? ? %).assumption.assumption.
 321 apply le_to_or_lt_eq r (S O).
 322 apply not_lt_to_le.assumption.
 323 apply decidable_lt (S O) r.
 324 qed.
 325
 326 let rec max_p f \def
 327 match f with
 328 [ (nf_last n) \Rightarrow O
 329 | (nf_cons n g) \Rightarrow S (max_p g)].
 330
 331 let rec max_p_exponent f \def
 332 match f with
 333 [ (nf_last n) \Rightarrow n
 334 | (nf_cons n g) \Rightarrow max_p_exponent g].
 335
 336 theorem divides_max_p_defactorize: \forall f:nat_fact.\forall i:nat.
 337 divides (nth_prime ((max_p f)+i)) (defactorize_aux f i).
 338 intro.
 339 elim f.simplify.apply witness ? ? (exp (nth_prime i) n).
 340 reflexivity.
 341 change with
 342 divides (nth_prime (S(max_p n1)+i))
 343 ((exp (nth_prime i) n)*(defactorize_aux n1 (S i))).
 344 elim H (S i).
 345 rewrite > H1.
 346 rewrite < sym_times.
 347 rewrite > assoc_times.
 348 rewrite < plus_n_Sm.
 349 apply witness ? ? (n2*(exp (nth_prime i) n)).
 350 reflexivity.
 351 qed.
 352
 353 theorem divides_exp_to_divides:
 354 \forall p,n,m:nat. prime p \to
 355 divides p (exp n m) \to divides p n.
 356 intros 3.elim m.simplify in H1.
 357 apply transitive_divides p (S O).assumption.
 358 apply divides_SO_n.
 359 cut divides p n \lor divides p (exp n n1).
 360 elim Hcut.assumption.
 361 apply H.assumption.assumption.
 362 apply divides_times_to_divides.assumption.
 363 exact H2.
 364 qed.
 365
 366 theorem divides_exp_to_eq:
 367 \forall p,q,m:nat. prime p \to prime q \to
 368 divides p (exp q m) \to p = q.
 369 intros.
 370 simplify in H1.
 371 elim H1.apply H4.
 372 apply divides_exp_to_divides p q m.
 373 assumption.assumption.
 374 simplify in H.elim H.assumption.
 375 qed.
 376
 377 theorem  not_divides_defactorize_aux: \forall f:nat_fact. \forall i,j:nat.
 378 i < j \to \not divides (nth_prime i) (defactorize_aux f j).
 379 intro.elim f.
 380 change with
 381 divides (nth_prime i) (exp (nth_prime j) (S n)) \to False.
 382 intro.absurd (nth_prime i) = (nth_prime j).
 383 apply divides_exp_to_eq ? ? (S n).
 384 apply prime_nth_prime.apply prime_nth_prime.
 385 assumption.
 386 change with (nth_prime i) = (nth_prime j) \to False.
 387 intro.cut i = j.
 388 apply not_le_Sn_n i.rewrite > Hcut in \vdash (? ? %).assumption.
 389 apply injective_nth_prime ? ? H2.
 390 change with
 391 divides (nth_prime i) ((exp (nth_prime j) n)*(defactorize_aux n1 (S j))) \to False.
 392 intro.
 393 cut divides (nth_prime i) (exp (nth_prime j) n)
 394 \lor divides (nth_prime i) (defactorize_aux n1 (S j)).
 395 elim Hcut.
 396 absurd (nth_prime i) = (nth_prime j).
 397 apply divides_exp_to_eq ? ? n.
 398 apply prime_nth_prime.apply prime_nth_prime.
 399 assumption.
 400 change with (nth_prime i) = (nth_prime j) \to False.
 401 intro.
 402 cut i = j.
 403 apply not_le_Sn_n i.rewrite > Hcut1 in \vdash (? ? %).assumption.
 404 apply injective_nth_prime ? ? H4.
 405 apply H i (S j) ?.
 406 assumption.apply trans_lt ? j.assumption.simplify.apply le_n.
 407 apply divides_times_to_divides.
 408 apply prime_nth_prime.assumption.
 409 qed.
 410
 411 theorem eq_defactorize_aux_to_eq: \forall f,g:nat_fact.\forall i:nat.
 412 defactorize_aux f i = defactorize_aux g i \to f = g.
 413 intro.
 414 elim f.
 415 generalize in match H.
 416 elim g.
 417 apply eq_f.
 418 apply inj_S. apply inj_exp_r (nth_prime i).
 419 apply lt_SO_nth_prime_n.
 420 assumption.
 421 absurd defactorize_aux (nf_last n) i =
 422 defactorize_aux (nf_cons n1 n2) i.
 423 rewrite > H2.reflexivity.
 424 absurd divides (nth_prime (S(max_p n2)+i)) (defactorize_aux (nf_cons n1 n2) i).
 425 apply divides_max_p_defactorize.
 426 rewrite < H2.
 427 change with
 428 (divides (nth_prime (S(max_p n2)+i)) (exp (nth_prime i) (S n))) \to False.
 429 intro.
 430 absurd nth_prime (S (max_p n2) + i) = nth_prime i.
 431 apply divides_exp_to_eq ? ? (S n).
 432 apply prime_nth_prime.apply prime_nth_prime.assumption.
 433 change with nth_prime (S (max_p n2) + i) = nth_prime i \to False.
 434 intro.apply not_le_Sn_n i.
 435 cut S(max_p n2)+i= i.
 436 rewrite < Hcut in \vdash (? ? %).
 437 simplify.apply le_S_S.
 438 apply le_plus_n.
 439 apply injective_nth_prime ? ? H4.
 440 generalize in match H1.
 441 elim g.
 442 absurd defactorize_aux (nf_last n2) i =
 443 defactorize_aux (nf_cons n n1) i.
 444 apply sym_eq. assumption.
 445 absurd divides (nth_prime (S(max_p n1)+i)) (defactorize_aux (nf_cons n n1) i).
 446 apply divides_max_p_defactorize.
 447 rewrite > H2.
 448 change with
 449 (divides (nth_prime (S(max_p n1)+i)) (exp (nth_prime i) (S n2))) \to False.
 450 intro.
 451 absurd nth_prime (S (max_p n1) + i) = nth_prime i.
 452 apply divides_exp_to_eq ? ? (S n2).
 453 apply prime_nth_prime.apply prime_nth_prime.assumption.
 454 change with nth_prime (S (max_p n1) + i) = nth_prime i \to False.
 455 intro.apply not_le_Sn_n i.
 456 cut S(max_p n1)+i= i.
 457 rewrite < Hcut in \vdash (? ? %).
 458 simplify.apply le_S_S.
 459 apply le_plus_n.
 460 apply injective_nth_prime ? ? H4.
 461 simplify in H3.
 462 generalize in match H3.
 463 apply nat_elim2 (\lambda n,n2.
 464 (exp (nth_prime i) n)*(defactorize_aux n1 (S i)) =
 465 (exp (nth_prime i) n2)*(defactorize_aux n3 (S i)) \to
 466 nf_cons n n1 = nf_cons n2 n3).
 467 intro.
 468 elim n4. apply eq_f.
 469 apply H n3 (S i).
 470 simplify in H4.
 471 rewrite > plus_n_O.
 472 rewrite > plus_n_O (defactorize_aux n3 (S i)).assumption.
 473 apply False_ind.
 474 apply not_divides_defactorize_aux n1 i (S i) ?.
 475 simplify in H5.
 476 rewrite > plus_n_O (defactorize_aux n1 (S i)).
 477 rewrite > H5.
 478 rewrite > assoc_times.
 479 apply witness ? ? ((exp (nth_prime i) n5)*(defactorize_aux n3 (S i))).
 480 reflexivity.
 481 simplify. apply le_n.
 482 intros.
 483 apply False_ind.
 484 apply not_divides_defactorize_aux n3 i (S i) ?.
 485 simplify in H4.
 486 rewrite > plus_n_O (defactorize_aux n3 (S i)).
 487 rewrite < H4.
 488 rewrite > assoc_times.
 489 apply witness ? ? ((exp (nth_prime i) n4)*(defactorize_aux n1 (S i))).
 490 reflexivity.
 491 simplify. apply le_n.
 492 intros.
 493 cut nf_cons n4 n1 = nf_cons m n3.
 494 cut n4=m.
 495 cut n1=n3.
 496 rewrite > Hcut1.rewrite > Hcut2.reflexivity.
 497 change with
 498 match nf_cons n4 n1 with
 499 [ (nf_last m) \Rightarrow n1
 500 | (nf_cons m g) \Rightarrow g ] = n3.
 501 rewrite > Hcut.simplify.reflexivity.
 502 change with
 503 match nf_cons n4 n1 with
 504 [ (nf_last m) \Rightarrow m
 505 | (nf_cons m g) \Rightarrow m ] = m.
 506 rewrite > Hcut.simplify.reflexivity.
 507 apply H4.simplify in H5.
 508 apply inj_times_r1 (nth_prime i).
 509 apply lt_O_nth_prime_n.
 510 rewrite < assoc_times.rewrite < assoc_times.assumption.
 511 qed.
 512
 513 theorem injective_defactorize_aux: \forall i:nat.
 514 injective nat_fact nat (\lambda f.defactorize_aux f i).
 515 change with \forall i:nat.\forall f,g:nat_fact.
 516 defactorize_aux f i = defactorize_aux g i \to f = g.
 517 intros.
 518 apply eq_defactorize_aux_to_eq f g i H.
 519 qed.
 520
 521 (*
 522 theorem injective_defactorize:
 523 injective nat_fact_all nat defactorize.
 524 change with \forall f,g:nat_fact_all.
 525 defactorize f = defactorize g \to f = g.
 526 intro.elim f.
 527 generalize in match H.elim g.
 528 reflexivity.simplify in H1.
 529 *)
 530