helm/matita/library/nat/factorization.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/factorization".
  16
  17 include "nat/log.ma".
  18 include "nat/gcd.ma".
  19 include "nat/nth_prime.ma".
  20
  21 (* the following factorization algorithm looks for the largest prime
  22    factor. *)
  23 definition max_prime_factor \def \lambda n:nat.
  24 (max n (\lambda p:nat.eqb (mod n (nth_prime p)) O)).
  25
  26 (* max_prime_factor is indeed a factor *)
  27 theorem divides_max_prime_factor_n: \forall n:nat. (S O) < n \to
  28 nth_prime (max_prime_factor n) \divides n.
  29 intros.apply divides_b_true_to_divides.
  30 apply lt_O_nth_prime_n.
  31 apply f_max_true  (\lambda p:nat.eqb (mod n (nth_prime p)) O) n.
  32 cut \exists i. nth_prime i = smallest_factor n.
  33 elim Hcut.
  34 apply ex_intro nat ? a.
  35 split.
  36 apply trans_le a (nth_prime a).
  37 apply le_n_fn.
  38 exact lt_nth_prime_n_nth_prime_Sn.
  39 rewrite > H1. apply le_smallest_factor_n.
  40 rewrite > H1.
  41 change with divides_b (smallest_factor n) n = true.
  42 apply divides_to_divides_b_true.
  43 apply trans_lt ? (S O).simplify. apply le_n.
  44 apply lt_SO_smallest_factor.assumption.
  45 apply divides_smallest_factor_n.
  46 apply trans_lt ? (S O). simplify. apply le_n. assumption.
  47 apply prime_to_nth_prime.
  48 apply prime_smallest_factor_n.assumption.
  49 qed.
  50
  51 theorem divides_to_max_prime_factor : \forall n,m. (S O) < n \to O < m \to n \divides m \to
  52 max_prime_factor n \le max_prime_factor m.
  53 intros.change with
  54 (max n (\lambda p:nat.eqb (mod n (nth_prime p)) O)) \le
  55 (max m (\lambda p:nat.eqb (mod m (nth_prime p)) O)).
  56 apply f_m_to_le_max.
  57 apply trans_le ? n.
  58 apply le_max_n.apply divides_to_le.assumption.assumption.
  59 change with divides_b (nth_prime (max_prime_factor n)) m = true.
  60 apply divides_to_divides_b_true.
  61 cut prime (nth_prime (max_prime_factor n)).
  62 apply lt_O_nth_prime_n.apply prime_nth_prime.
  63 cut nth_prime (max_prime_factor n) \divides n.
  64 apply transitive_divides ? n.
  65 apply divides_max_prime_factor_n.
  66 assumption.assumption.
  67 apply divides_b_true_to_divides.
  68 apply lt_O_nth_prime_n.
  69 apply divides_to_divides_b_true.
  70 apply lt_O_nth_prime_n.
  71 apply divides_max_prime_factor_n.
  72 assumption.
  73 qed.
  74
  75 theorem plog_to_lt_max_prime_factor: \forall n,p,q,r. O < n \to
  76 p = max_prime_factor n \to
  77 (pair nat nat q r) = plog n (nth_prime p) \to
  78 (S O) < r \to max_prime_factor r < p.
  79 intros.
  80 rewrite > H1.
  81 cut max_prime_factor r \lt max_prime_factor n \lor
  82     max_prime_factor r = max_prime_factor n.
  83 elim Hcut.assumption.
  84 absurd nth_prime (max_prime_factor n) \divides r.
  85 rewrite < H4.
  86 apply divides_max_prime_factor_n.
  87 assumption.
  88 change with nth_prime (max_prime_factor n) \divides r \to False.
  89 intro.
  90 cut mod r (nth_prime (max_prime_factor n)) \neq O.
  91 apply Hcut1.apply divides_to_mod_O.
  92 apply lt_O_nth_prime_n.assumption.
  93 apply plog_aux_to_not_mod_O n n ? q r.
  94 apply lt_SO_nth_prime_n.assumption.
  95 apply le_n.
  96 rewrite < H1.assumption.
  97 apply le_to_or_lt_eq (max_prime_factor r)  (max_prime_factor n).
  98 apply divides_to_max_prime_factor.
  99 assumption.assumption.
 100 apply witness r n ((nth_prime p) \sup q).
 101 rewrite < sym_times.
 102 apply plog_aux_to_exp n n ? q r.
 103 apply lt_O_nth_prime_n.assumption.
 104 qed.
 105
 106 theorem plog_to_lt_max_prime_factor1: \forall n,p,q,r. O < n \to
 107 max_prime_factor n \le p \to
 108 (pair nat nat q r) = plog n (nth_prime p) \to
 109 (S O) < r \to max_prime_factor r < p.
 110 intros.
 111 cut max_prime_factor n < p \lor max_prime_factor n = p.
 112 elim Hcut.apply le_to_lt_to_lt ? (max_prime_factor n).
 113 apply divides_to_max_prime_factor.assumption.assumption.
 114 apply witness r n ((nth_prime p) \sup q).
 115 rewrite > sym_times.
 116 apply plog_aux_to_exp n n.
 117 apply lt_O_nth_prime_n.
 118 assumption.assumption.
 119 apply plog_to_lt_max_prime_factor n ? q.
 120 assumption.apply sym_eq.assumption.assumption.assumption.
 121 apply le_to_or_lt_eq ? p H1.
 122 qed.
 123
 124 (* datatypes and functions *)
 125
 126 inductive nat_fact : Set \def
 127     nf_last : nat \to nat_fact
 128   | nf_cons : nat \to nat_fact \to nat_fact.
 129
 130 inductive nat_fact_all : Set \def
 131     nfa_zero : nat_fact_all
 132   | nfa_one : nat_fact_all
 133   | nfa_proper : nat_fact \to nat_fact_all.
 134
 135 let rec factorize_aux p n acc \def
 136   match p with
 137   [ O \Rightarrow acc
 138   | (S p1) \Rightarrow
 139     match plog n (nth_prime p1) with
 140     [ (pair q r) \Rightarrow
 141       factorize_aux p1 r (nf_cons q acc)]].
 142
 143 definition factorize : nat \to nat_fact_all \def \lambda n:nat.
 144   match n with
 145     [ O \Rightarrow nfa_zero
 146     | (S n1) \Rightarrow
 147       match n1 with
 148       [ O \Rightarrow nfa_one
 149     | (S n2) \Rightarrow
 150       let p \def (max (S(S n2)) (\lambda p:nat.eqb (mod (S(S n2)) (nth_prime p)) O)) in
 151       match plog (S(S n2)) (nth_prime p) with
 152       [ (pair q r) \Rightarrow
 153            nfa_proper (factorize_aux p r (nf_last (pred q)))]]].
 154
 155 let rec defactorize_aux f i \def
 156   match f with
 157   [ (nf_last n) \Rightarrow (nth_prime i) \sup (S n)
 158   | (nf_cons n g) \Rightarrow
 159       (nth_prime i) \sup n *(defactorize_aux g (S i))].
 160
 161 definition defactorize : nat_fact_all \to nat \def
 162 \lambda f : nat_fact_all.
 163 match f with
 164 [ nfa_zero \Rightarrow O
 165 | nfa_one \Rightarrow (S O)
 166 | (nfa_proper g) \Rightarrow defactorize_aux g O].
 167
 168 theorem defactorize_aux_factorize_aux :
 169 \forall p,n:nat.\forall acc:nat_fact.O < n \to
 170 ((n=(S O) \land p=O) \lor max_prime_factor n < p) \to
 171 defactorize_aux (factorize_aux p n acc) O = n*(defactorize_aux acc p).
 172 intro.elim p.simplify.
 173 elim H1.elim H2.rewrite > H3.
 174 rewrite > sym_times. apply times_n_SO.
 175 apply False_ind.apply not_le_Sn_O (max_prime_factor n) H2.
 176 simplify.
 177 (* generalizing the goal: I guess there exists a better way *)
 178 cut \forall q,r.(pair nat nat q r) = (plog_aux n1 n1 (nth_prime n)) \to
 179 defactorize_aux match (plog_aux n1 n1 (nth_prime n)) with
 180 [(pair q r)  \Rightarrow (factorize_aux n r (nf_cons q acc))] O =
 181 n1*defactorize_aux acc (S n).
 182 apply Hcut (fst ? ? (plog_aux n1 n1 (nth_prime n)))
 183 (snd ? ? (plog_aux n1 n1 (nth_prime n))).
 184 apply sym_eq.apply eq_pair_fst_snd.
 185 intros.
 186 rewrite < H3.
 187 simplify.
 188 cut n1 = r * (nth_prime n) \sup q.
 189 rewrite > H.
 190 simplify.rewrite < assoc_times.
 191 rewrite < Hcut.reflexivity.
 192 cut O < r \lor O = r.
 193 elim Hcut1.assumption.absurd n1 = O.
 194 rewrite > Hcut.rewrite < H4.reflexivity.
 195 simplify. intro.apply not_le_Sn_O O.
 196 rewrite < H5 in \vdash (? ? %).assumption.
 197 apply le_to_or_lt_eq.apply le_O_n.
 198 cut (S O) < r \lor (S O) \nlt r.
 199 elim Hcut1.
 200 right.
 201 apply plog_to_lt_max_prime_factor1 n1 ? q r.
 202 assumption.elim H2.
 203 elim H5.
 204 apply False_ind.
 205 apply not_eq_O_S n.apply sym_eq.assumption.
 206 apply le_S_S_to_le.
 207 exact H5.
 208 assumption.assumption.
 209 cut r=(S O).
 210 apply nat_case n.
 211 left.split.assumption.reflexivity.
 212 intro.right.rewrite > Hcut2.
 213 simplify.apply le_S_S.apply le_O_n.
 214 cut r \lt (S O) \or r=(S O).
 215 elim Hcut2.absurd O=r.
 216 apply le_n_O_to_eq.apply le_S_S_to_le.exact H5.
 217 simplify.intro.
 218 cut O=n1.
 219 apply not_le_Sn_O O.
 220 rewrite > Hcut3 in \vdash (? ? %).
 221 assumption.rewrite > Hcut.
 222 rewrite < H6.reflexivity.
 223 assumption.
 224 apply le_to_or_lt_eq r (S O).
 225 apply not_lt_to_le.assumption.
 226 apply decidable_lt (S O) r.
 227 rewrite > sym_times.
 228 apply plog_aux_to_exp n1 n1.
 229 apply lt_O_nth_prime_n.assumption.
 230 qed.
 231
 232 theorem defactorize_factorize: \forall n:nat.defactorize (factorize n) = n.
 233 intro.
 234 apply nat_case n.reflexivity.
 235 intro.apply nat_case m.reflexivity.
 236 intro.change with
 237 let p \def (max (S(S m1)) (\lambda p:nat.eqb (mod (S(S m1)) (nth_prime p)) O)) in
 238 defactorize (match plog (S(S m1)) (nth_prime p) with
 239 [ (pair q r) \Rightarrow
 240    nfa_proper (factorize_aux p r (nf_last (pred q)))])=(S(S m1)).
 241 intro.
 242 (* generalizing the goal; find a better way *)
 243 cut \forall q,r.(pair nat nat q r) = (plog (S(S m1)) (nth_prime p)) \to
 244 defactorize (match plog (S(S m1)) (nth_prime p) with
 245 [ (pair q r) \Rightarrow
 246    nfa_proper (factorize_aux p r (nf_last (pred q)))])=(S(S m1)).
 247 apply Hcut (fst ? ? (plog (S(S m1)) (nth_prime p)))
 248 (snd ? ? (plog (S(S m1)) (nth_prime p))).
 249 apply sym_eq.apply eq_pair_fst_snd.
 250 intros.
 251 rewrite < H.
 252 change with
 253 defactorize_aux (factorize_aux p r (nf_last (pred q))) O = (S(S m1)).
 254 cut (S(S m1)) = (nth_prime p) \sup q *r.
 255 cut O <r.
 256 rewrite > defactorize_aux_factorize_aux.
 257 change with r*(nth_prime p) \sup (S (pred q)) = (S(S m1)).
 258 cut (S (pred q)) = q.
 259 rewrite > Hcut2.
 260 rewrite > sym_times.
 261 apply sym_eq.
 262 apply plog_aux_to_exp (S(S m1)).
 263 apply lt_O_nth_prime_n.
 264 assumption.
 265 (* O < q *)
 266 apply sym_eq. apply S_pred.
 267 cut O < q \lor O = q.
 268 elim Hcut2.assumption.
 269 absurd nth_prime p \divides S (S m1).
 270 apply divides_max_prime_factor_n (S (S m1)).
 271 simplify.apply le_S_S.apply le_S_S. apply le_O_n.
 272 cut (S(S m1)) = r.
 273 rewrite > Hcut3 in \vdash (? (? ? %)).
 274 change with nth_prime p \divides r \to False.
 275 intro.
 276 apply plog_aux_to_not_mod_O (S(S m1)) (S(S m1)) (nth_prime p) q r.
 277 apply lt_SO_nth_prime_n.
 278 simplify.apply le_S_S.apply le_O_n.apply le_n.
 279 assumption.
 280 apply divides_to_mod_O.apply lt_O_nth_prime_n.assumption.
 281 rewrite > times_n_SO in \vdash (? ? ? %).
 282 rewrite < sym_times.
 283 rewrite > exp_n_O (nth_prime p).
 284 rewrite > H1 in \vdash (? ? ? (? (? ? %) ?)).
 285 assumption.
 286 apply le_to_or_lt_eq.apply le_O_n.assumption.
 287 (* e adesso l'ultimo goal. TASSI: che ora non e' piu' l'ultimo :P *)
 288 cut (S O) < r \lor S O \nlt r.
 289 elim Hcut2.
 290 right.
 291 apply plog_to_lt_max_prime_factor1 (S(S m1)) ? q r.
 292 simplify.apply le_S_S. apply le_O_n.
 293 apply le_n.
 294 assumption.assumption.
 295 cut r=(S O).
 296 apply nat_case p.
 297 left.split.assumption.reflexivity.
 298 intro.right.rewrite > Hcut3.
 299 simplify.apply le_S_S.apply le_O_n.
 300 cut r \lt (S O) \or r=(S O).
 301 elim Hcut3.absurd O=r.
 302 apply le_n_O_to_eq.apply le_S_S_to_le.exact H2.
 303 simplify.intro.
 304 apply not_le_Sn_O O.
 305 rewrite > H3 in \vdash (? ? %).assumption.assumption.
 306 apply le_to_or_lt_eq r (S O).
 307 apply not_lt_to_le.assumption.
 308 apply decidable_lt (S O) r.
 309 (* O < r *)
 310 cut O < r \lor O = r.
 311 elim Hcut1.assumption.
 312 apply False_ind.
 313 apply not_eq_O_S (S m1).
 314 rewrite > Hcut.rewrite < H1.rewrite < times_n_O.reflexivity.
 315 apply le_to_or_lt_eq.apply le_O_n.
 316 (* prova del cut *)
 317 goal 20.
 318 apply plog_aux_to_exp (S(S m1)).
 319 apply lt_O_nth_prime_n.
 320 assumption.
 321 (* fine prova cut *)
 322 qed.
 323
 324 let rec max_p f \def
 325 match f with
 326 [ (nf_last n) \Rightarrow O
 327 | (nf_cons n g) \Rightarrow S (max_p g)].
 328
 329 let rec max_p_exponent f \def
 330 match f with
 331 [ (nf_last n) \Rightarrow n
 332 | (nf_cons n g) \Rightarrow max_p_exponent g].
 333
 334 theorem divides_max_p_defactorize: \forall f:nat_fact.\forall i:nat.
 335 nth_prime ((max_p f)+i) \divides defactorize_aux f i.
 336 intro.
 337 elim f.simplify.apply witness ? ? ((nth_prime i) \sup n).
 338 reflexivity.
 339 change with
 340 nth_prime (S(max_p n1)+i) \divides
 341 (nth_prime i) \sup n *(defactorize_aux n1 (S i)).
 342 elim H (S i).
 343 rewrite > H1.
 344 rewrite < sym_times.
 345 rewrite > assoc_times.
 346 rewrite < plus_n_Sm.
 347 apply witness ? ? (n2* (nth_prime i) \sup n).
 348 reflexivity.
 349 qed.
 350
 351 theorem divides_exp_to_divides:
 352 \forall p,n,m:nat. prime p \to
 353 p \divides n \sup m \to p \divides n.
 354 intros 3.elim m.simplify in H1.
 355 apply transitive_divides p (S O).assumption.
 356 apply divides_SO_n.
 357 cut p \divides n \lor p \divides n \sup n1.
 358 elim Hcut.assumption.
 359 apply H.assumption.assumption.
 360 apply divides_times_to_divides.assumption.
 361 exact H2.
 362 qed.
 363
 364 theorem divides_exp_to_eq:
 365 \forall p,q,m:nat. prime p \to prime q \to
 366 p \divides q \sup m \to p = q.
 367 intros.
 368 simplify in H1.
 369 elim H1.apply H4.
 370 apply divides_exp_to_divides p q m.
 371 assumption.assumption.
 372 simplify in H.elim H.assumption.
 373 qed.
 374
 375 theorem  not_divides_defactorize_aux: \forall f:nat_fact. \forall i,j:nat.
 376 i < j \to nth_prime i \ndivides defactorize_aux f j.
 377 intro.elim f.
 378 change with
 379 nth_prime i \divides (nth_prime j) \sup (S n) \to False.
 380 intro.absurd (nth_prime i) = (nth_prime j).
 381 apply divides_exp_to_eq ? ? (S n).
 382 apply prime_nth_prime.apply prime_nth_prime.
 383 assumption.
 384 change with (nth_prime i) = (nth_prime j) \to False.
 385 intro.cut i = j.
 386 apply not_le_Sn_n i.rewrite > Hcut in \vdash (? ? %).assumption.
 387 apply injective_nth_prime ? ? H2.
 388 change with
 389 nth_prime i \divides (nth_prime j) \sup n *(defactorize_aux n1 (S j)) \to False.
 390 intro.
 391 cut nth_prime i \divides (nth_prime j) \sup n
 392 \lor nth_prime i \divides defactorize_aux n1 (S j).
 393 elim Hcut.
 394 absurd (nth_prime i) = (nth_prime j).
 395 apply divides_exp_to_eq ? ? n.
 396 apply prime_nth_prime.apply prime_nth_prime.
 397 assumption.
 398 change with (nth_prime i) = (nth_prime j) \to False.
 399 intro.
 400 cut i = j.
 401 apply not_le_Sn_n i.rewrite > Hcut1 in \vdash (? ? %).assumption.
 402 apply injective_nth_prime ? ? H4.
 403 apply H i (S j).
 404 apply trans_lt ? j.assumption.simplify.apply le_n.
 405 assumption.
 406 apply divides_times_to_divides.
 407 apply prime_nth_prime.assumption.
 408 qed.
 409
 410 theorem eq_defactorize_aux_to_eq: \forall f,g:nat_fact.\forall i:nat.
 411 defactorize_aux f i = defactorize_aux g i \to f = g.
 412 intro.
 413 elim f.
 414 generalize in match H.
 415 elim g.
 416 apply eq_f.
 417 apply inj_S. apply inj_exp_r (nth_prime i).
 418 apply lt_SO_nth_prime_n.
 419 assumption.
 420 absurd defactorize_aux (nf_last n) i =
 421 defactorize_aux (nf_cons n1 n2) i.
 422 rewrite > H2.reflexivity.
 423 absurd nth_prime (S(max_p n2)+i) \divides defactorize_aux (nf_cons n1 n2) i.
 424 apply divides_max_p_defactorize.
 425 rewrite < H2.
 426 change with
 427 (nth_prime (S(max_p n2)+i) \divides (nth_prime i) \sup (S n)) \to False.
 428 intro.
 429 absurd nth_prime (S (max_p n2) + i) = nth_prime i.
 430 apply divides_exp_to_eq ? ? (S n).
 431 apply prime_nth_prime.apply prime_nth_prime.assumption.
 432 change with nth_prime (S (max_p n2) + i) = nth_prime i \to False.
 433 intro.apply not_le_Sn_n i.
 434 cut S(max_p n2)+i= i.
 435 rewrite < Hcut in \vdash (? ? %).
 436 simplify.apply le_S_S.
 437 apply le_plus_n.
 438 apply injective_nth_prime ? ? H4.
 439 generalize in match H1.
 440 elim g.
 441 absurd defactorize_aux (nf_last n2) i =
 442 defactorize_aux (nf_cons n n1) i.
 443 apply sym_eq. assumption.
 444 absurd nth_prime (S(max_p n1)+i) \divides defactorize_aux (nf_cons n n1) i.
 445 apply divides_max_p_defactorize.
 446 rewrite > H2.
 447 change with
 448 (nth_prime (S(max_p n1)+i) \divides (nth_prime i) \sup (S n2)) \to False.
 449 intro.
 450 absurd nth_prime (S (max_p n1) + i) = nth_prime i.
 451 apply divides_exp_to_eq ? ? (S n2).
 452 apply prime_nth_prime.apply prime_nth_prime.assumption.
 453 change with nth_prime (S (max_p n1) + i) = nth_prime i \to False.
 454 intro.apply not_le_Sn_n i.
 455 cut S(max_p n1)+i= i.
 456 rewrite < Hcut in \vdash (? ? %).
 457 simplify.apply le_S_S.
 458 apply le_plus_n.
 459 apply injective_nth_prime ? ? H4.
 460 simplify in H3.
 461 generalize in match H3.
 462 apply nat_elim2 (\lambda n,n2.
 463 ((nth_prime i) \sup n)*(defactorize_aux n1 (S i)) =
 464 ((nth_prime i) \sup n2)*(defactorize_aux n3 (S i)) \to
 465 nf_cons n n1 = nf_cons n2 n3).
 466 intro.
 467 elim n4. apply eq_f.
 468 apply H n3 (S i).
 469 simplify in H4.
 470 rewrite > plus_n_O.
 471 rewrite > plus_n_O (defactorize_aux n3 (S i)).assumption.
 472 apply False_ind.
 473 apply not_divides_defactorize_aux n1 i (S i).
 474 simplify. apply le_n.
 475 simplify in H5.
 476 rewrite > plus_n_O (defactorize_aux n1 (S i)).
 477 rewrite > H5.
 478 rewrite > assoc_times.
 479 apply witness ? ? (((nth_prime i) \sup n5)*(defactorize_aux n3 (S i))).
 480 reflexivity.
 481 intros.
 482 apply False_ind.
 483 apply not_divides_defactorize_aux n3 i (S i).
 484 simplify. apply le_n.
 485 simplify in H4.
 486 rewrite > plus_n_O (defactorize_aux n3 (S i)).
 487 rewrite < H4.
 488 rewrite > assoc_times.
 489 apply witness ? ? (((nth_prime i) \sup n4)*(defactorize_aux n1 (S i))).
 490 reflexivity.
 491 intros.
 492 cut nf_cons n4 n1 = nf_cons m n3.
 493 cut n4=m.
 494 cut n1=n3.
 495 rewrite > Hcut1.rewrite > Hcut2.reflexivity.
 496 change with
 497 match nf_cons n4 n1 with
 498 [ (nf_last m) \Rightarrow n1
 499 | (nf_cons m g) \Rightarrow g ] = n3.
 500 rewrite > Hcut.simplify.reflexivity.
 501 change with
 502 match nf_cons n4 n1 with
 503 [ (nf_last m) \Rightarrow m
 504 | (nf_cons m g) \Rightarrow m ] = m.
 505 rewrite > Hcut.simplify.reflexivity.
 506 apply H4.simplify in H5.
 507 apply inj_times_r1 (nth_prime i).
 508 apply lt_O_nth_prime_n.
 509 rewrite < assoc_times.rewrite < assoc_times.assumption.
 510 qed.
 511
 512 theorem injective_defactorize_aux: \forall i:nat.
 513 injective nat_fact nat (\lambda f.defactorize_aux f i).
 514 change with \forall i:nat.\forall f,g:nat_fact.
 515 defactorize_aux f i = defactorize_aux g i \to f = g.
 516 intros.
 517 apply eq_defactorize_aux_to_eq f g i H.
 518 qed.
 519
 520 (*
 521 theorem injective_defactorize:
 522 injective nat_fact_all nat defactorize.
 523 change with \forall f,g:nat_fact_all.
 524 defactorize f = defactorize g \to f = g.
 525 intro.elim f.
 526 generalize in match H.elim g.
 527 reflexivity.simplify in H1.
 528 *)
 529