helm/matita/library/nat/gcd.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/gcd".
  16
  17 include "nat/primes.ma".
  18
  19 let rec gcd_aux p m n: nat \def
  20 match divides_b n m with
  21 [ true \Rightarrow n
  22 | false \Rightarrow
  23   match p with
  24   [O \Rightarrow n
  25   |(S q) \Rightarrow gcd_aux q n (m \mod n)]].
  26
  27 definition gcd : nat \to nat \to nat \def
  28 \lambda n,m:nat.
  29   match leb n m with
  30   [ true \Rightarrow
  31     match n with
  32     [ O \Rightarrow m
  33     | (S p) \Rightarrow gcd_aux (S p) m (S p) ]
  34   | false \Rightarrow
  35     match m with
  36     [ O \Rightarrow n
  37     | (S p) \Rightarrow gcd_aux (S p) n (S p) ]].
  38
  39 theorem divides_mod: \forall p,m,n:nat. O < n \to p \divides m \to p \divides n \to
  40 p \divides (m \mod n).
  41 intros.elim H1.elim H2.
  42 apply witness ? ? (n2 - n1*(m / n)).
  43 rewrite > distr_times_minus.
  44 rewrite < H3.
  45 rewrite < assoc_times.
  46 rewrite < H4.
  47 apply sym_eq.
  48 apply plus_to_minus.
  49 rewrite > sym_times.
  50 apply div_mod.
  51 assumption.
  52 qed.
  53
  54 theorem divides_mod_to_divides: \forall p,m,n:nat. O < n \to
  55 p \divides (m \mod n) \to p \divides n \to p \divides m.
  56 intros.elim H1.elim H2.
  57 apply witness p m ((n1*(m / n))+n2).
  58 rewrite > distr_times_plus.
  59 rewrite < H3.
  60 rewrite < assoc_times.
  61 rewrite < H4.rewrite < sym_times.
  62 apply div_mod.assumption.
  63 qed.
  64
  65 theorem divides_gcd_aux_mn: \forall p,m,n. O < n \to n \le m \to n \le p \to
  66 gcd_aux p m n \divides m \land gcd_aux p m n \divides n.
  67 intro.elim p.
  68 absurd O < n.assumption.apply le_to_not_lt.assumption.
  69 cut (n1 \divides m) \lor (n1 \ndivides m).
  70 change with
  71 (match divides_b n1 m with
  72 [ true \Rightarrow n1
  73 | false \Rightarrow gcd_aux n n1 (m \mod n1)]) \divides m \land
  74 (match divides_b n1 m with
  75 [ true \Rightarrow n1
  76 | false \Rightarrow gcd_aux n n1 (m \mod n1)]) \divides n1.
  77 elim Hcut.rewrite > divides_to_divides_b_true.
  78 simplify.
  79 split.assumption.apply witness n1 n1 (S O).apply times_n_SO.
  80 assumption.assumption.
  81 rewrite > not_divides_to_divides_b_false.
  82 change with
  83 gcd_aux n n1 (m \mod n1) \divides m \land
  84 gcd_aux n n1 (m \mod n1) \divides n1.
  85 cut gcd_aux n n1 (m \mod n1) \divides n1 \land
  86 gcd_aux n n1 (m \mod n1) \divides mod m n1.
  87 elim Hcut1.
  88 split.apply divides_mod_to_divides ? ? n1.
  89 assumption.assumption.assumption.assumption.
  90 apply H.
  91 cut O \lt m \mod n1 \lor O = mod m n1.
  92 elim Hcut1.assumption.
  93 apply False_ind.apply H4.apply mod_O_to_divides.
  94 assumption.apply sym_eq.assumption.
  95 apply le_to_or_lt_eq.apply le_O_n.
  96 apply lt_to_le.
  97 apply lt_mod_m_m.assumption.
  98 apply le_S_S_to_le.
  99 apply trans_le ? n1.
 100 change with m \mod n1 < n1.
 101 apply lt_mod_m_m.assumption.assumption.
 102 assumption.assumption.
 103 apply decidable_divides n1 m.assumption.
 104 qed.
 105
 106 theorem divides_gcd_nm: \forall n,m.
 107 gcd n m \divides m \land gcd n m \divides n.
 108 intros.
 109 change with
 110 match leb n m with
 111   [ true \Rightarrow
 112     match n with
 113     [ O \Rightarrow m
 114     | (S p) \Rightarrow gcd_aux (S p) m (S p) ]
 115   | false \Rightarrow
 116     match m with
 117     [ O \Rightarrow n
 118     | (S p) \Rightarrow gcd_aux (S p) n (S p) ]] \divides m
 119 \land
 120 match leb n m with
 121   [ true \Rightarrow
 122     match n with
 123     [ O \Rightarrow m
 124     | (S p) \Rightarrow gcd_aux (S p) m (S p) ]
 125   | false \Rightarrow
 126     match m with
 127     [ O \Rightarrow n
 128     | (S p) \Rightarrow gcd_aux (S p) n (S p) ]] \divides n.
 129 apply leb_elim n m.
 130 apply nat_case1 n.
 131 simplify.intros.split.
 132 apply witness m m (S O).apply times_n_SO.
 133 apply witness m O O.apply times_n_O.
 134 intros.change with
 135 gcd_aux (S m1) m (S m1) \divides m
 136 \land
 137 gcd_aux (S m1) m (S m1) \divides (S m1).
 138 apply divides_gcd_aux_mn.
 139 simplify.apply le_S_S.apply le_O_n.
 140 assumption.apply le_n.
 141 simplify.intro.
 142 apply nat_case1 m.
 143 simplify.intros.split.
 144 apply witness n O O.apply times_n_O.
 145 apply witness n n (S O).apply times_n_SO.
 146 intros.change with
 147 gcd_aux (S m1) n (S m1) \divides (S m1)
 148 \land
 149 gcd_aux (S m1) n (S m1) \divides n.
 150 cut gcd_aux (S m1) n (S m1) \divides n
 151 \land
 152 gcd_aux (S m1) n (S m1) \divides S m1.
 153 elim Hcut.split.assumption.assumption.
 154 apply divides_gcd_aux_mn.
 155 simplify.apply le_S_S.apply le_O_n.
 156 apply not_lt_to_le.simplify.intro.apply H.
 157 rewrite > H1.apply trans_le ? (S n).
 158 apply le_n_Sn.assumption.apply le_n.
 159 qed.
 160
 161 theorem divides_gcd_n: \forall n,m. gcd n m \divides n.
 162 intros.
 163 exact proj2  ? ? (divides_gcd_nm n m).
 164 qed.
 165
 166 theorem divides_gcd_m: \forall n,m. gcd n m \divides m.
 167 intros.
 168 exact proj1 ? ? (divides_gcd_nm n m).
 169 qed.
 170
 171 theorem divides_gcd_aux: \forall p,m,n,d. O < n \to n \le m \to n \le p \to
 172 d \divides m \to d \divides n \to d \divides gcd_aux p m n.
 173 intro.elim p.
 174 absurd O < n.assumption.apply le_to_not_lt.assumption.
 175 change with
 176 d \divides
 177 (match divides_b n1 m with
 178 [ true \Rightarrow n1
 179 | false \Rightarrow gcd_aux n n1 (m \mod n1)]).
 180 cut n1 \divides m \lor n1 \ndivides m.
 181 elim Hcut.
 182 rewrite > divides_to_divides_b_true.
 183 simplify.assumption.
 184 assumption.assumption.
 185 rewrite > not_divides_to_divides_b_false.
 186 change with d \divides gcd_aux n n1 (m \mod n1).
 187 apply H.
 188 cut O \lt m \mod n1 \lor O = m \mod n1.
 189 elim Hcut1.assumption.
 190 absurd n1 \divides m.apply mod_O_to_divides.
 191 assumption.apply sym_eq.assumption.assumption.
 192 apply le_to_or_lt_eq.apply le_O_n.
 193 apply lt_to_le.
 194 apply lt_mod_m_m.assumption.
 195 apply le_S_S_to_le.
 196 apply trans_le ? n1.
 197 change with m \mod n1 < n1.
 198 apply lt_mod_m_m.assumption.assumption.
 199 assumption.
 200 apply divides_mod.assumption.assumption.assumption.
 201 assumption.assumption.
 202 apply decidable_divides n1 m.assumption.
 203 qed.
 204
 205 theorem divides_d_gcd: \forall m,n,d.
 206 d \divides m \to d \divides n \to d \divides gcd n m.
 207 intros.
 208 change with
 209 d \divides
 210 match leb n m with
 211   [ true \Rightarrow
 212     match n with
 213     [ O \Rightarrow m
 214     | (S p) \Rightarrow gcd_aux (S p) m (S p) ]
 215   | false \Rightarrow
 216     match m with
 217     [ O \Rightarrow n
 218     | (S p) \Rightarrow gcd_aux (S p) n (S p) ]].
 219 apply leb_elim n m.
 220 apply nat_case1 n.simplify.intros.assumption.
 221 intros.
 222 change with d \divides gcd_aux (S m1) m (S m1).
 223 apply divides_gcd_aux.
 224 simplify.apply le_S_S.apply le_O_n.assumption.apply le_n.assumption.
 225 rewrite < H2.assumption.
 226 apply nat_case1 m.simplify.intros.assumption.
 227 intros.
 228 change with d \divides gcd_aux (S m1) n (S m1).
 229 apply divides_gcd_aux.
 230 simplify.apply le_S_S.apply le_O_n.
 231 apply lt_to_le.apply not_le_to_lt.assumption.apply le_n.assumption.
 232 rewrite < H2.assumption.
 233 qed.
 234
 235 theorem eq_minus_gcd_aux: \forall p,m,n.O < n \to n \le m \to n \le p \to
 236 \exists a,b. a*n - b*m = gcd_aux p m n \lor b*m - a*n = gcd_aux p m n.
 237 intro.
 238 elim p.
 239 absurd O < n.assumption.apply le_to_not_lt.assumption.
 240 cut O < m.
 241 cut n1 \divides m \lor  n1 \ndivides m.
 242 change with
 243 \exists a,b.
 244 a*n1 - b*m = match divides_b n1 m with
 245 [ true \Rightarrow n1
 246 | false \Rightarrow gcd_aux n n1 (m \mod n1)]
 247 \lor
 248 b*m - a*n1 = match divides_b n1 m with
 249 [ true \Rightarrow n1
 250 | false \Rightarrow gcd_aux n n1 (m \mod n1)].
 251 elim Hcut1.
 252 rewrite > divides_to_divides_b_true.
 253 simplify.
 254 apply ex_intro ? ? (S O).
 255 apply ex_intro ? ? O.
 256 left.simplify.rewrite < plus_n_O.
 257 apply sym_eq.apply minus_n_O.
 258 assumption.assumption.
 259 rewrite > not_divides_to_divides_b_false.
 260 change with
 261 \exists a,b.
 262 a*n1 - b*m = gcd_aux n n1 (m \mod n1)
 263 \lor
 264 b*m - a*n1 = gcd_aux n n1 (m \mod n1).
 265 cut
 266 \exists a,b.
 267 a*(m \mod n1) - b*n1= gcd_aux n n1 (m \mod n1)
 268 \lor
 269 b*n1 - a*(m \mod n1) = gcd_aux n n1 (m \mod n1).
 270 elim Hcut2.elim H5.elim H6.
 271 (* first case *)
 272 rewrite < H7.
 273 apply ex_intro ? ? (a1+a*(m / n1)).
 274 apply ex_intro ? ? a.
 275 right.
 276 rewrite < sym_plus.
 277 rewrite < sym_times n1.
 278 rewrite > distr_times_plus.
 279 rewrite > sym_times n1.
 280 rewrite > sym_times n1.
 281 rewrite > div_mod m n1 in \vdash (? ? (? % ?) ?).
 282 rewrite > assoc_times.
 283 rewrite < sym_plus.
 284 rewrite > distr_times_plus.
 285 rewrite < eq_minus_minus_minus_plus.
 286 rewrite < sym_plus.
 287 rewrite < plus_minus.
 288 rewrite < minus_n_n.reflexivity.
 289 apply le_n.
 290 assumption.
 291 (* second case *)
 292 rewrite < H7.
 293 apply ex_intro ? ? (a1+a*(m / n1)).
 294 apply ex_intro ? ? a.
 295 left.
 296 (* clear Hcut2.clear H5.clear H6.clear H. *)
 297 rewrite > sym_times.
 298 rewrite > distr_times_plus.
 299 rewrite > sym_times.
 300 rewrite > sym_times n1.
 301 rewrite > div_mod m n1 in \vdash (? ? (? ? %) ?).
 302 rewrite > distr_times_plus.
 303 rewrite > assoc_times.
 304 rewrite < eq_minus_minus_minus_plus.
 305 rewrite < sym_plus.
 306 rewrite < plus_minus.
 307 rewrite < minus_n_n.reflexivity.
 308 apply le_n.
 309 assumption.
 310 apply H n1 (m \mod n1).
 311 cut O \lt m \mod n1 \lor O = m \mod n1.
 312 elim Hcut2.assumption.
 313 absurd n1 \divides m.apply mod_O_to_divides.
 314 assumption.
 315 symmetry.assumption.assumption.
 316 apply le_to_or_lt_eq.apply le_O_n.
 317 apply lt_to_le.
 318 apply lt_mod_m_m.assumption.
 319 apply le_S_S_to_le.
 320 apply trans_le ? n1.
 321 change with m \mod n1 < n1.
 322 apply lt_mod_m_m.
 323 assumption.assumption.assumption.assumption.
 324 apply decidable_divides n1 m.assumption.
 325 apply lt_to_le_to_lt ? n1.assumption.assumption.
 326 qed.
 327
 328 theorem eq_minus_gcd:
 329  \forall m,n.\exists a,b.a*n - b*m = (gcd n m) \lor b*m - a*n = (gcd n m).
 330 intros.
 331 unfold gcd.
 332 apply leb_elim n m.
 333 apply nat_case1 n.
 334 simplify.intros.
 335 apply ex_intro ? ? O.
 336 apply ex_intro ? ? (S O).
 337 right.simplify.
 338 rewrite < plus_n_O.
 339 apply sym_eq.apply minus_n_O.
 340 intros.
 341 change with
 342 \exists a,b.
 343 a*(S m1) - b*m = (gcd_aux (S m1) m (S m1))
 344 \lor b*m - a*(S m1) = (gcd_aux (S m1) m (S m1)).
 345 apply eq_minus_gcd_aux.
 346 simplify. apply le_S_S.apply le_O_n.
 347 assumption.apply le_n.
 348 apply nat_case1 m.
 349 simplify.intros.
 350 apply ex_intro ? ? (S O).
 351 apply ex_intro ? ? O.
 352 left.simplify.
 353 rewrite < plus_n_O.
 354 apply sym_eq.apply minus_n_O.
 355 intros.
 356 change with
 357 \exists a,b.
 358 a*n - b*(S m1) = (gcd_aux (S m1) n (S m1))
 359 \lor b*(S m1) - a*n = (gcd_aux (S m1) n (S m1)).
 360 cut
 361 \exists a,b.
 362 a*(S m1) - b*n = (gcd_aux (S m1) n (S m1))
 363 \lor
 364 b*n - a*(S m1) = (gcd_aux (S m1) n (S m1)).
 365 elim Hcut.elim H2.elim H3.
 366 apply ex_intro ? ? a1.
 367 apply ex_intro ? ? a.
 368 right.assumption.
 369 apply ex_intro ? ? a1.
 370 apply ex_intro ? ? a.
 371 left.assumption.
 372 apply eq_minus_gcd_aux.
 373 simplify. apply le_S_S.apply le_O_n.
 374 apply lt_to_le.apply not_le_to_lt.assumption.
 375 apply le_n.
 376 qed.
 377
 378 (* some properties of gcd *)
 379
 380 theorem gcd_O_n: \forall n:nat. gcd O n = n.
 381 intro.simplify.reflexivity.
 382 qed.
 383
 384 theorem gcd_O_to_eq_O:\forall m,n:nat. (gcd m n) = O \to
 385 m = O \land n = O.
 386 intros.cut O \divides n \land O \divides m.
 387 elim Hcut.elim H2.split.
 388 assumption.elim H1.assumption.
 389 rewrite < H.
 390 apply divides_gcd_nm.
 391 qed.
 392
 393 theorem symmetric_gcd: symmetric nat gcd.
 394 change with
 395 \forall n,m:nat. gcd n m = gcd m n.
 396 intros.
 397 cut O < (gcd n m) \lor O = (gcd n m).
 398 elim Hcut.
 399 cut O < (gcd m n) \lor O = (gcd m n).
 400 elim Hcut1.
 401 apply antisym_le.
 402 apply divides_to_le.assumption.
 403 apply divides_d_gcd.apply divides_gcd_n.apply divides_gcd_m.
 404 apply divides_to_le.assumption.
 405 apply divides_d_gcd.apply divides_gcd_n.apply divides_gcd_m.
 406 rewrite < H1.
 407 cut m=O \land n=O.
 408 elim Hcut2.rewrite > H2.rewrite > H3.reflexivity.
 409 apply gcd_O_to_eq_O.apply sym_eq.assumption.
 410 apply le_to_or_lt_eq.apply le_O_n.
 411 rewrite < H.
 412 cut n=O \land m=O.
 413 elim Hcut1.rewrite > H1.rewrite > H2.reflexivity.
 414 apply gcd_O_to_eq_O.apply sym_eq.assumption.
 415 apply le_to_or_lt_eq.apply le_O_n.
 416 qed.
 417
 418 variant sym_gcd: \forall n,m:nat. gcd n m = gcd m n \def
 419 symmetric_gcd.
 420
 421 theorem gcd_SO_n: \forall n:nat. gcd (S O) n = (S O).
 422 intro.
 423 apply antisym_le.apply divides_to_le.simplify.apply le_n.
 424 apply divides_gcd_n.
 425 cut O < gcd (S O) n \lor O = gcd (S O) n.
 426 elim Hcut.assumption.
 427 apply False_ind.
 428 apply not_eq_O_S O.
 429 cut (S O)=O \land n=O.
 430 elim Hcut1.apply sym_eq.assumption.
 431 apply gcd_O_to_eq_O.apply sym_eq.assumption.
 432 apply le_to_or_lt_eq.apply le_O_n.
 433 qed.
 434
 435 theorem prime_to_gcd_SO: \forall n,m:nat. prime n \to n \ndivides m \to
 436 gcd n m = (S O).
 437 intros.simplify in H.change with gcd n m = (S O).
 438 elim H.
 439 apply antisym_le.
 440 apply not_lt_to_le.
 441 change with (S (S O)) \le gcd n m \to False.intro.
 442 apply H1.rewrite < H3 (gcd n m).
 443 apply divides_gcd_m.
 444 apply divides_gcd_n.assumption.
 445 cut O < gcd n m \lor O = gcd n m.
 446 elim Hcut.assumption.
 447 apply False_ind.
 448 apply not_le_Sn_O (S O).
 449 cut n=O \land m=O.
 450 elim Hcut1.rewrite < H5 in \vdash (? ? %).assumption.
 451 apply gcd_O_to_eq_O.apply sym_eq.assumption.
 452 apply le_to_or_lt_eq.apply le_O_n.
 453 qed.
 454
 455 theorem divides_times_to_divides: \forall n,p,q:nat.prime n \to n \divides p*q \to
 456 n \divides p \lor n \divides q.
 457 intros.
 458 cut n \divides p \lor n \ndivides p.
 459 elim Hcut.
 460 left.assumption.
 461 right.
 462 cut \exists a,b. a*n - b*p = (S O) \lor b*p - a*n = (S O).
 463 elim Hcut1.elim H3.elim H4.
 464 (* first case *)
 465 rewrite > times_n_SO q.rewrite < H5.
 466 rewrite > distr_times_minus.
 467 rewrite > sym_times q (a1*p).
 468 rewrite > assoc_times a1.
 469 elim H1.rewrite > H6.
 470 rewrite < sym_times n.rewrite < assoc_times.
 471 rewrite > sym_times q.rewrite > assoc_times.
 472 rewrite < assoc_times a1.rewrite < sym_times n.
 473 rewrite > assoc_times n.
 474 rewrite < distr_times_minus.
 475 apply witness ? ? (q*a-a1*n2).reflexivity.
 476 (* second case *)
 477 rewrite > times_n_SO q.rewrite < H5.
 478 rewrite > distr_times_minus.
 479 rewrite > sym_times q (a1*p).
 480 rewrite > assoc_times a1.
 481 elim H1.rewrite > H6.
 482 rewrite < sym_times.rewrite > assoc_times.
 483 rewrite < assoc_times q.
 484 rewrite < sym_times n.
 485 rewrite < distr_times_minus.
 486 apply witness ? ? (n2*a1-q*a).reflexivity.
 487 (* end second case *)
 488 rewrite < prime_to_gcd_SO n p.
 489 apply eq_minus_gcd.
 490 assumption.assumption.
 491 apply decidable_divides n p.
 492 apply trans_lt ? (S O).simplify.apply le_n.
 493 simplify in H.elim H. assumption.
 494 qed.