helm/matita/library/nat/le_arith.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/le_arith".
  16
  17 include "nat/times.ma".
  18 include "nat/orders.ma".
  19
  20 (* plus *)
  21 theorem monotonic_le_plus_r:
  22 \forall n:nat.monotonic nat le (\lambda m.plus n m).
  23 simplify.intros.elim n.
  24 simplify.assumption.
  25 simplify.apply le_S_S.assumption.
  26 qed.
  27
  28 theorem le_plus_r: \forall p,n,m:nat. le n m \to le (plus p n) (plus p m)
  29 \def monotonic_le_plus_r.
  30
  31 theorem monotonic_le_plus_l:
  32 \forall m:nat.monotonic nat le (\lambda n.plus n m).
  33 simplify.intros.
  34 rewrite < sym_plus.rewrite < sym_plus m.
  35 apply le_plus_r.assumption.
  36 qed.
  37
  38 theorem le_plus_l: \forall p,n,m:nat. le n m \to le (plus n p) (plus m p)
  39 \def monotonic_le_plus_l.
  40
  41 theorem le_plus: \forall n1,n2,m1,m2:nat. le n1 n2  \to le m1 m2
  42 \to le (plus n1 m1) (plus n2 m2).
  43 intros.
  44 apply trans_le ? (plus n2 m1).
  45 apply le_plus_l.assumption.
  46 apply le_plus_r.assumption.
  47 qed.
  48
  49 theorem le_plus_n :\forall n,m:nat. le m (plus n m).
  50 intros.change with le (plus O m) (plus n m).
  51 apply le_plus_l.apply le_O_n.
  52 qed.
  53
  54 theorem eq_plus_to_le: \forall n,m,p:nat.eq nat n (plus m p)
  55 \to le m n.
  56 intros.rewrite > H.
  57 rewrite < sym_plus.
  58 apply le_plus_n.
  59 qed.
  60
  61 (* times *)
  62 theorem monotonic_le_times_r:
  63 \forall n:nat.monotonic nat le (\lambda m.times n m).
  64 simplify.intros.elim n.
  65 simplify.apply le_O_n.
  66 simplify.apply le_plus.
  67 assumption.
  68 assumption.
  69 qed.
  70
  71 theorem le_times_r: \forall p,n,m:nat. le n m \to le (times p n) (times p m)
  72 \def monotonic_le_times_r.
  73
  74 theorem monotonic_le_times_l:
  75 \forall m:nat.monotonic nat le (\lambda n.times n m).
  76 simplify.intros.
  77 rewrite < sym_times.rewrite < sym_times m.
  78 apply le_times_r.assumption.
  79 qed.
  80
  81 theorem le_times_l: \forall p,n,m:nat. le n m \to le (times n p) (times m p)
  82 \def monotonic_le_times_l.
  83
  84 theorem le_times: \forall n1,n2,m1,m2:nat. le n1 n2  \to le m1 m2
  85 \to le (times n1 m1) (times n2 m2).
  86 intros.
  87 apply trans_le ? (times n2 m1).
  88 apply le_times_l.assumption.
  89 apply le_times_r.assumption.
  90 qed.
  91
  92 theorem le_times_n: \forall n,m:nat.le (S O) n \to le m (times n m).
  93 intros.elim H.simplify.
  94 elim (plus_n_O ?).apply le_n.
  95 simplify.rewrite < sym_plus.apply le_plus_n.
  96 qed.
  97