helm/matita/library/nat/le_arith.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/le_arith".
  16
  17 include "higher_order_defs/functions.ma".
  18 include "nat/times.ma".
  19 include "nat/orders.ma".
  20 include "nat/compare.ma".
  21
  22 (* plus *)
  23 theorem monotonic_le_plus_r:
  24 \forall n:nat.monotonic nat le (\lambda m.plus n m).
  25 simplify.intros.elim n.
  26 simplify.assumption.
  27 simplify.apply le_S_S.assumption.
  28 qed.
  29
  30 theorem le_plus_r: \forall p,n,m:nat. le n m \to le (plus p n) (plus p m)
  31 \def monotonic_le_plus_r.
  32
  33 theorem monotonic_le_plus_l:
  34 \forall m:nat.monotonic nat le (\lambda n.plus n m).
  35 simplify.intros.
  36 rewrite < sym_plus.rewrite < sym_plus m.
  37 apply le_plus_r.assumption.
  38 qed.
  39
  40 theorem le_plus_l: \forall p,n,m:nat. le n m \to le (plus n p) (plus m p)
  41 \def monotonic_le_plus_l.
  42
  43 theorem le_plus: \forall n1,n2,m1,m2:nat. le n1 n2  \to le m1 m2
  44 \to le (plus n1 m1) (plus n2 m2).
  45 intros.
  46 apply trans_le ? (plus n2 m1).
  47 apply le_plus_l.assumption.
  48 apply le_plus_r.assumption.
  49 qed.
  50
  51 theorem le_plus_n :\forall n,m:nat. le m (plus n m).
  52 intros.change with le (plus O m) (plus n m).
  53 apply le_plus_l.apply le_O_n.
  54 qed.
  55
  56 theorem eq_plus_to_le: \forall n,m,p:nat.eq nat n (plus m p)
  57 \to le m n.
  58 intros.rewrite > H.
  59 rewrite < sym_plus.
  60 apply le_plus_n.
  61 qed.
  62
  63 (* times *)
  64 theorem monotonic_le_times_r:
  65 \forall n:nat.monotonic nat le (\lambda m.times n m).
  66 simplify.intros.elim n.
  67 simplify.apply le_O_n.
  68 simplify.apply le_plus.
  69 assumption.
  70 assumption.
  71 qed.
  72
  73 theorem le_times_r: \forall p,n,m:nat. le n m \to le (times p n) (times p m)
  74 \def monotonic_le_times_r.
  75
  76 theorem monotonic_le_times_l:
  77 \forall m:nat.monotonic nat le (\lambda n.times n m).
  78 simplify.intros.
  79 rewrite < sym_times.rewrite < sym_times m.
  80 apply le_times_r.assumption.
  81 qed.
  82
  83 theorem le_times_l: \forall p,n,m:nat. le n m \to le (times n p) (times m p)
  84 \def monotonic_le_times_l.
  85
  86 theorem le_times: \forall n1,n2,m1,m2:nat. le n1 n2  \to le m1 m2
  87 \to le (times n1 m1) (times n2 m2).
  88 intros.
  89 apply trans_le ? (times n2 m1).
  90 apply le_times_l.assumption.
  91 apply le_times_r.assumption.
  92 qed.
  93
  94 theorem le_times_n: \forall n,m:nat.le (S O) n \to le m (times n m).
  95 intros.elim H.simplify.
  96 elim (plus_n_O ?).apply le_n.
  97 simplify.rewrite < sym_plus.apply le_plus_n.
  98 qed.
  99