helm/matita/library/nat/lt_arith.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/lt_arith".
  16
  17 include "nat/div_and_mod.ma".
  18
  19 (* plus *)
  20 theorem monotonic_lt_plus_r:
  21 \forall n:nat.monotonic nat lt (\lambda m.n+m).
  22 simplify.intros.
  23 elim n.simplify.assumption.
  24 simplify.unfold lt.
  25 apply le_S_S.assumption.
  26 qed.
  27
  28 variant lt_plus_r: \forall n,p,q:nat. p < q \to n + p < n + q \def
  29 monotonic_lt_plus_r.
  30
  31 theorem monotonic_lt_plus_l:
  32 \forall n:nat.monotonic nat lt (\lambda m.m+n).
  33 change with (\forall n,p,q:nat. p < q \to p + n < q + n).
  34 intros.
  35 rewrite < sym_plus. rewrite < (sym_plus n).
  36 apply lt_plus_r.assumption.
  37 qed.
  38
  39 variant lt_plus_l: \forall n,p,q:nat. p < q \to p + n < q + n \def
  40 monotonic_lt_plus_l.
  41
  42 theorem lt_plus: \forall n,m,p,q:nat. n < m \to p < q \to n + p < m + q.
  43 intros.
  44 apply (trans_lt ? (n + q)).
  45 apply lt_plus_r.assumption.
  46 apply lt_plus_l.assumption.
  47 qed.
  48
  49 theorem lt_plus_to_lt_l :\forall n,p,q:nat. p+n < q+n \to p<q.
  50 intro.elim n.
  51 rewrite > plus_n_O.
  52 rewrite > (plus_n_O q).assumption.
  53 apply H.
  54 unfold lt.apply le_S_S_to_le.
  55 rewrite > plus_n_Sm.
  56 rewrite > (plus_n_Sm q).
  57 exact H1.
  58 qed.
  59
  60 theorem lt_plus_to_lt_r :\forall n,p,q:nat. n+p < n+q \to p<q.
  61 intros.apply (lt_plus_to_lt_l n).
  62 rewrite > sym_plus.
  63 rewrite > (sym_plus q).assumption.
  64 qed.
  65
  66 (* times and zero *)
  67 theorem lt_O_times_S_S: \forall n,m:nat.O < (S n)*(S m).
  68 intros.simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
  69 qed.
  70
  71 (* times *)
  72 theorem monotonic_lt_times_r:
  73 \forall n:nat.monotonic nat lt (\lambda m.(S n)*m).
  74 change with (\forall n,p,q:nat. p < q \to (S n) * p < (S n) * q).
  75 intros.elim n.
  76 simplify.rewrite < plus_n_O.rewrite < plus_n_O.assumption.
  77 change with (p + (S n1) * p < q + (S n1) * q).
  78 apply lt_plus.assumption.assumption.
  79 qed.
  80
  81 theorem lt_times_r: \forall n,p,q:nat. p < q \to (S n) * p < (S n) * q
  82 \def monotonic_lt_times_r.
  83
  84 theorem monotonic_lt_times_l:
  85 \forall m:nat.monotonic nat lt (\lambda n.n * (S m)).
  86 change with
  87 (\forall n,p,q:nat. p < q \to p*(S n) < q*(S n)).
  88 intros.
  89 rewrite < sym_times.rewrite < (sym_times (S n)).
  90 apply lt_times_r.assumption.
  91 qed.
  92
  93 variant lt_times_l: \forall n,p,q:nat. p<q \to p*(S n) < q*(S n)
  94 \def monotonic_lt_times_l.
  95
  96 theorem lt_times:\forall n,m,p,q:nat. n<m \to p<q \to n*p < m*q.
  97 intro.
  98 elim n.
  99 apply (lt_O_n_elim m H).
 100 intro.
 101 cut (lt O q).
 102 apply (lt_O_n_elim q Hcut).
 103 intro.change with (O < (S m1)*(S m2)).
 104 apply lt_O_times_S_S.
 105 apply (ltn_to_ltO p q H1).
 106 apply (trans_lt ? ((S n1)*q)).
 107 apply lt_times_r.assumption.
 108 cut (lt O q).
 109 apply (lt_O_n_elim q Hcut).
 110 intro.
 111 apply lt_times_l.
 112 assumption.
 113 apply (ltn_to_ltO p q H2).
 114 qed.
 115
 116 theorem lt_times_to_lt_l:
 117 \forall n,p,q:nat. p*(S n) < q*(S n) \to p < q.
 118 intros.
 119 cut (p < q \lor p \nlt q).
 120 elim Hcut.
 121 assumption.
 122 absurd (p * (S n) < q * (S n)).
 123 assumption.
 124 apply le_to_not_lt.
 125 apply le_times_l.
 126 apply not_lt_to_le.
 127 assumption.
 128 exact (decidable_lt p q).
 129 qed.
 130
 131 theorem lt_times_to_lt_r:
 132 \forall n,p,q:nat. (S n)*p < (S n)*q \to lt p q.
 133 intros.
 134 apply (lt_times_to_lt_l n).
 135 rewrite < sym_times.
 136 rewrite < (sym_times (S n)).
 137 assumption.
 138 qed.
 139
 140 theorem nat_compare_times_l : \forall n,p,q:nat.
 141 nat_compare p q = nat_compare ((S n) * p) ((S n) * q).
 142 intros.apply nat_compare_elim.intro.
 143 apply nat_compare_elim.
 144 intro.reflexivity.
 145 intro.absurd (p=q).
 146 apply (inj_times_r n).assumption.
 147 apply lt_to_not_eq. assumption.
 148 intro.absurd (q<p).
 149 apply (lt_times_to_lt_r n).assumption.
 150 apply le_to_not_lt.apply lt_to_le.assumption.
 151 intro.rewrite < H.rewrite > nat_compare_n_n.reflexivity.
 152 intro.apply nat_compare_elim.intro.
 153 absurd (p<q).
 154 apply (lt_times_to_lt_r n).assumption.
 155 apply le_to_not_lt.apply lt_to_le.assumption.
 156 intro.absurd (q=p).
 157 symmetry.
 158 apply (inj_times_r n).assumption.
 159 apply lt_to_not_eq.assumption.
 160 intro.reflexivity.
 161 qed.
 162
 163 (* div *)
 164
 165 theorem eq_mod_O_to_lt_O_div: \forall n,m:nat. O < m \to O < n\to n \mod m = O \to O < n / m.
 166 intros 4.apply (lt_O_n_elim m H).intros.
 167 apply (lt_times_to_lt_r m1).
 168 rewrite < times_n_O.
 169 rewrite > (plus_n_O ((S m1)*(n / (S m1)))).
 170 rewrite < H2.
 171 rewrite < sym_times.
 172 rewrite < div_mod.
 173 rewrite > H2.
 174 assumption.
 175 unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 176 qed.
 177
 178 theorem lt_div_n_m_n: \forall n,m:nat. (S O) < m \to O < n \to n / m \lt n.
 179 intros.
 180 apply (nat_case1 (n / m)).intro.
 181 assumption.intros.rewrite < H2.
 182 rewrite > (div_mod n m) in \vdash (? ? %).
 183 apply (lt_to_le_to_lt ? ((n / m)*m)).
 184 apply (lt_to_le_to_lt ? ((n / m)*(S (S O)))).
 185 rewrite < sym_times.
 186 rewrite > H2.
 187 simplify.unfold lt.
 188 rewrite < plus_n_O.
 189 rewrite < plus_n_Sm.
 190 apply le_S_S.
 191 apply le_S_S.
 192 apply le_plus_n.
 193 apply le_times_r.
 194 assumption.
 195 rewrite < sym_plus.
 196 apply le_plus_n.
 197 apply (trans_lt ? (S O)).
 198 unfold lt. apply le_n.assumption.
 199 qed.
 200
 201 (* general properties of functions *)
 202 theorem monotonic_to_injective: \forall f:nat\to nat.
 203 monotonic nat lt f \to injective nat nat f.
 204 unfold injective.intros.
 205 apply (nat_compare_elim x y).
 206 intro.apply False_ind.apply (not_le_Sn_n (f x)).
 207 rewrite > H1 in \vdash (? ? %).apply H.apply H2.
 208 intros.assumption.
 209 intro.apply False_ind.apply (not_le_Sn_n (f y)).
 210 rewrite < H1 in \vdash (? ? %).apply H.apply H2.
 211 qed.
 212
 213 theorem increasing_to_injective: \forall f:nat\to nat.
 214 increasing f \to injective nat nat f.
 215 intros.apply monotonic_to_injective.
 216 apply increasing_to_monotonic.assumption.
 217 qed.