helm/matita/library/nat/minimization.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/minimization".
  16
  17 include "nat/minus.ma".
  18 include "datatypes/bool.ma".
  19
  20 let rec max i f \def
  21   match (f i) with
  22   [ true \Rightarrow i
  23   | false \Rightarrow
  24       match i with
  25       [ O \Rightarrow O
  26       | (S j) \Rightarrow max j f ]].
  27
  28 theorem max_O_f : \forall f: nat \to bool. max O f = O.
  29 intro. simplify.
  30 elim f O.
  31 simplify.reflexivity.
  32 simplify.reflexivity.
  33 qed.
  34
  35 theorem max_S_max : \forall f: nat \to bool. \forall n:nat.
  36 (f (S n) = true \land max (S n) f = (S n)) \lor
  37 (f (S n) = false \land max (S n) f = max n f).
  38 intros.simplify.elim (f (S n)).
  39 simplify.left.split.reflexivity.reflexivity.
  40 simplify.right.split.reflexivity.reflexivity.
  41 qed.
  42
  43 definition max_spec \def \lambda f:nat \to bool.\lambda n: nat.
  44 ex nat (\lambda i:nat. (le i n) \land (f i = true)) \to
  45 (f n) = true \land (\forall i. i < n \to (f i = false)).
  46
  47 theorem f_max_true : \forall f:nat \to bool. \forall n:nat.
  48 ex nat (\lambda i:nat. (le i n) \land (f i = true)) \to f (max n f) = true.
  49 intros 2.
  50 elim n.elim H.elim H1.generalize in match H3.
  51 apply le_n_O_elim a H2.intro.simplify.rewrite > H4.
  52 simplify.assumption.
  53 simplify.
  54 apply bool_ind (\lambda b:bool.
  55 (f (S n1) = b) \to (f ([\lambda b:bool.nat] match b in bool with
  56 [ true \Rightarrow (S n1)
  57 | false  \Rightarrow (max n1 f)])) = true) ? ? ?.
  58 reflexivity.
  59 simplify.intro.assumption.
  60 simplify.intro.apply H.
  61 elim H1.elim H3.generalize in match H5.
  62 apply le_n_Sm_elim a n1 H4.
  63 intros.
  64 apply ex_intro nat ? a.
  65 split.apply le_S_S_to_le.assumption.assumption.
  66 intros.apply False_ind.apply not_eq_true_false ?.
  67 rewrite < H2.rewrite < H7.rewrite > H6. reflexivity.
  68 qed.
  69
  70 theorem lt_max_to_false : \forall f:nat \to bool.
  71 \forall n,m:nat. (max n f) < m \to m \leq n \to f m = false.
  72 intros 2.
  73 elim n.absurd le m O.assumption.
  74 cut O < m.apply lt_O_n_elim m Hcut.exact not_le_Sn_O.
  75 rewrite < max_O_f f.assumption.
  76 generalize in match H1.
  77 (* ?? non posso generalizzare su un goal implicativo ?? *)
  78 elim max_S_max f n1.
  79 elim H3.
  80 absurd m \le S n1.assumption.
  81 apply lt_to_not_le.rewrite < H6.assumption.
  82 elim H3.
  83 apply le_n_Sm_elim m n1 H2.
  84 intro.
  85 apply H.rewrite < H6.assumption.
  86 apply le_S_S_to_le.assumption.
  87 intro.rewrite > H7.assumption.
  88 qed.
  89
  90 let rec min_aux off n f \def
  91   match f (n-off) with
  92   [ true \Rightarrow (n-off)
  93   | false \Rightarrow
  94       match off with
  95       [ O \Rightarrow n
  96       | (S p) \Rightarrow min_aux p n f]].
  97
  98 definition min : nat \to (nat \to bool) \to nat \def
  99 \lambda n.\lambda f. min_aux n n f.
 100
 101 theorem min_aux_O_f: \forall f:nat \to bool. \forall i :nat.
 102 min_aux O i f = i.
 103 intros.simplify.rewrite < minus_n_O.
 104 elim f i.
 105 simplify.reflexivity.
 106 simplify.reflexivity.
 107 qed.
 108
 109 theorem min_O_f : \forall f:nat \to bool.
 110 min O f = O.
 111 intro.apply min_aux_O_f f O.
 112 qed.
 113
 114 theorem min_aux_S : \forall f: nat \to bool. \forall i,n:nat.
 115 (f (n -(S i)) = true \land min_aux (S i) n f = (n - (S i))) \lor
 116 (f (n -(S i)) = false \land min_aux (S i) n f = min_aux i n f).
 117 intros.simplify.elim (f (n - (S i))).
 118 simplify.left.split.reflexivity.reflexivity.
 119 simplify.right.split.reflexivity.reflexivity.
 120 qed.
 121
 122 theorem f_min_aux_true: \forall f:nat \to bool. \forall off,m:nat.
 123 ex nat (\lambda i:nat. (le (m-off) i) \land (le i m) \land (f i = true)) \to
 124 f (min_aux off m f) = true.
 125 intros 2.
 126 elim off.elim H.elim H1.elim H2.
 127 cut a = m.
 128 rewrite > min_aux_O_f f.rewrite < Hcut.assumption.
 129 apply antisym_le a m .assumption.rewrite > minus_n_O m.assumption.
 130 simplify.
 131 apply bool_ind (\lambda b:bool.
 132 (f (m-(S n)) = b) \to (f ([\lambda b:bool.nat] match b in bool with
 133 [ true \Rightarrow m-(S n)
 134 | false  \Rightarrow (min_aux n m f)])) = true) ? ? ?.
 135 reflexivity.
 136 simplify.intro.assumption.
 137 simplify.intro.apply H.
 138 elim H1.elim H3.elim H4.
 139 elim (le_to_or_lt_eq (m-(S n)) a H6).
 140 apply ex_intro nat ? a.
 141 split.split.
 142 apply lt_minus_S_n_to_le_minus_n.assumption.
 143 assumption.assumption.
 144 absurd f a = false.rewrite < H8.assumption.
 145 rewrite > H5.
 146 apply not_eq_true_false.
 147 qed.
 148
 149 theorem lt_min_aux_to_false : \forall f:nat \to bool.
 150 \forall n,off,m:nat. (n-off) \leq m \to m < (min_aux off n f) \to f m = false.
 151 intros 3.
 152 elim off.absurd le n m.rewrite > minus_n_O.assumption.
 153 apply lt_to_not_le.rewrite < min_aux_O_f f n.assumption.
 154 generalize in match H1.
 155 elim min_aux_S f n1 n.
 156 elim H3.
 157 absurd n - S n1 \le m.assumption.
 158 apply lt_to_not_le.rewrite < H6.assumption.
 159 elim H3.
 160 elim le_to_or_lt_eq (n -(S n1)) m.
 161 apply H.apply lt_minus_S_n_to_le_minus_n.assumption.
 162 rewrite < H6.assumption.assumption.
 163 rewrite < H7.assumption.
 164 qed.
 165
 166 theorem le_min_aux : \forall f:nat \to bool.
 167 \forall n,off:nat. (n-off) \leq (min_aux off n f).
 168 intros 3.
 169 elim off.rewrite < minus_n_O.
 170 rewrite > min_aux_O_f f n.apply le_n.
 171 elim min_aux_S f n1 n.
 172 elim H1.rewrite > H3.apply le_n.
 173 elim H1.rewrite > H3.
 174 apply trans_le (n-(S n1)) (n-n1) ?.
 175 apply monotonic_le_minus_r.
 176 apply le_n_Sn.
 177 assumption.
 178 qed.
 179