helm/matita/library/nat/minimization.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/minimization".
  16
  17 include "nat/minus.ma".
  18 include "datatypes/bool.ma".
  19
  20 let rec max i f \def
  21   match (f i) with
  22   [ true \Rightarrow i
  23   | false \Rightarrow
  24       match i with
  25       [ O \Rightarrow O
  26       | (S j) \Rightarrow max j f ]].
  27
  28 theorem max_O_f : \forall f: nat \to bool. max O f = O.
  29 intro. simplify.
  30 elim f O.
  31 simplify.reflexivity.
  32 simplify.reflexivity.
  33 qed.
  34
  35 theorem max_S_max : \forall f: nat \to bool. \forall n:nat.
  36 (f (S n) = true \land max (S n) f = (S n)) \lor
  37 (f (S n) = false \land max (S n) f = max n f).
  38 intros.simplify.elim (f (S n)).
  39 simplify.left.split.reflexivity.reflexivity.
  40 simplify.right.split.reflexivity.reflexivity.
  41 qed.
  42
  43 definition max_spec \def \lambda f:nat \to bool.\lambda n: nat.
  44 ex nat (\lambda i:nat. (le i n) \land (f i = true)) \to
  45 (f n) = true \land (\forall i. i < n \to (f i = false)).
  46
  47 (* perche' si blocca per mezzo minuto qui ??? *)
  48 theorem f_max_true : \forall f:nat \to bool. \forall n:nat.
  49 ex nat (\lambda i:nat. (le i n) \land (f i = true)) \to f (max n f) = true.
  50 intros 2.
  51 elim n.elim H.elim H1.generalize in match H3.
  52 apply le_n_O_elim a H2.intro.simplify.rewrite > H4.
  53 simplify.assumption.
  54 simplify.
  55 apply bool_ind (\lambda b:bool.
  56 (f (S n1) = b) \to (f ([\lambda b:bool.nat] match b in bool with
  57 [ true \Rightarrow (S n1)
  58 | false  \Rightarrow (max n1 f)])) = true) ? ? ?.
  59 reflexivity.
  60 simplify.intro.assumption.
  61 simplify.intro.apply H.
  62 elim H1.elim H3.generalize in match H5.
  63 apply le_n_Sm_elim a n1 H4.
  64 intros.
  65 apply ex_intro nat ? a.
  66 split.apply le_S_S_to_le.assumption.assumption.
  67 intros.apply False_ind.apply not_eq_true_false ?.
  68 rewrite < H2.rewrite < H7.rewrite > H6. reflexivity.
  69 qed.
  70
  71 theorem lt_max_to_false : \forall f:nat \to bool.
  72 \forall n,m:nat. (max n f) < m \to m \leq n \to f m = false.
  73 intros 2.
  74 elim n.absurd le m O.assumption.
  75 cut O < m.apply lt_O_n_elim m Hcut.exact not_le_Sn_O.
  76 rewrite < max_O_f f.assumption.
  77 generalize in match H1.
  78 (* ?? non posso generalizzare su un goal implicativo ?? *)
  79 elim max_S_max f n1.
  80 elim H3.
  81 absurd m \le S n1.assumption.
  82 apply lt_to_not_le.rewrite < H6.assumption.
  83 elim H3.
  84 apply le_n_Sm_elim m n1 H2.
  85 intro.
  86 apply H.rewrite < H6.assumption.
  87 apply le_S_S_to_le.assumption.
  88 intro.rewrite > H7.assumption.
  89 qed.
  90
  91 let rec min_aux off n f \def
  92   match f (n-off) with
  93   [ true \Rightarrow (n-off)
  94   | false \Rightarrow
  95       match off with
  96       [ O \Rightarrow n
  97       | (S p) \Rightarrow min_aux p n f]].
  98
  99 definition min : nat \to (nat \to bool) \to nat \def
 100 \lambda n.\lambda f. min_aux n n f.
 101
 102 theorem min_aux_O_f: \forall f:nat \to bool. \forall i :nat.
 103 min_aux O i f = i.
 104 intros.simplify.rewrite < minus_n_O.
 105 elim f i.
 106 simplify.reflexivity.
 107 simplify.reflexivity.
 108 qed.
 109
 110 theorem min_O_f : \forall f:nat \to bool.
 111 min O f = O.
 112 intro.apply min_aux_O_f f O.
 113 qed.
 114
 115 theorem min_aux_S : \forall f: nat \to bool. \forall i,n:nat.
 116 (f (n -(S i)) = true \land min_aux (S i) n f = (n - (S i))) \lor
 117 (f (n -(S i)) = false \land min_aux (S i) n f = min_aux i n f).
 118 intros.simplify.elim (f (n - (S i))).
 119 simplify.left.split.reflexivity.reflexivity.
 120 simplify.right.split.reflexivity.reflexivity.
 121 qed.
 122
 123 theorem f_min_aux_true: \forall f:nat \to bool. \forall off,m:nat.
 124 ex nat (\lambda i:nat. (le (m-off) i) \land (le i m) \land (f i = true)) \to
 125 f (min_aux off m f) = true.
 126 intros 2.
 127 elim off.elim H.elim H1.elim H2.
 128 cut a = m.
 129 rewrite > min_aux_O_f f.rewrite < Hcut.assumption.
 130 apply antisym_le a m .assumption.rewrite > minus_n_O m.assumption.
 131 simplify.
 132 apply bool_ind (\lambda b:bool.
 133 (f (m-(S n)) = b) \to (f ([\lambda b:bool.nat] match b in bool with
 134 [ true \Rightarrow m-(S n)
 135 | false  \Rightarrow (min_aux n m f)])) = true) ? ? ?.
 136 reflexivity.
 137 simplify.intro.assumption.
 138 simplify.intro.apply H.
 139 elim H1.elim H3.elim H4.
 140 elim (le_to_or_lt_eq (m-(S n)) a H6).
 141 apply ex_intro nat ? a.
 142 split.split.
 143 apply lt_minus_S_n_to_le_minus_n.assumption.
 144 assumption.assumption.
 145 absurd f a = false.rewrite < H8.assumption.
 146 rewrite > H5.
 147 apply not_eq_true_false.
 148 qed.
 149
 150 theorem lt_min_aux_to_false : \forall f:nat \to bool.
 151 \forall n,off,m:nat. (n-off) \leq m \to m < (min_aux off n f) \to f m = false.
 152 intros 3.
 153 elim off.absurd le n m.rewrite > minus_n_O.assumption.
 154 apply lt_to_not_le.rewrite < min_aux_O_f f n.assumption.
 155 generalize in match H1.
 156 elim min_aux_S f n1 n.
 157 elim H3.
 158 absurd n - S n1 \le m.assumption.
 159 apply lt_to_not_le.rewrite < H6.assumption.
 160 elim H3.
 161 elim le_to_or_lt_eq (n -(S n1)) m.
 162 apply H.apply lt_minus_S_n_to_le_minus_n.assumption.
 163 rewrite < H6.assumption.assumption.
 164 rewrite < H7.assumption.
 165 qed.
 166
 167 theorem le_min_aux : \forall f:nat \to bool.
 168 \forall n,off:nat. (n-off) \leq (min_aux off n f).
 169 intros 3.
 170 elim off.rewrite < minus_n_O.
 171 rewrite > min_aux_O_f f n.apply le_n.
 172 elim min_aux_S f n1 n.
 173 elim H1.rewrite > H3.apply le_n.
 174 elim H1.rewrite > H3.
 175 apply trans_le (n-(S n1)) (n-n1) ?.
 176 apply monotonic_le_minus_r.
 177 apply le_n_Sn.
 178 assumption.
 179 qed.
 180