helm/matita/library/nat/minimization.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/minimization".
  16
  17 include "nat/minus.ma".
  18
  19 let rec max i f \def
  20   match (f i) with
  21   [ true \Rightarrow i
  22   | false \Rightarrow
  23       match i with
  24       [ O \Rightarrow O
  25       | (S j) \Rightarrow max j f ]].
  26
  27 theorem max_O_f : \forall f: nat \to bool. max O f = O.
  28 intro. simplify.
  29 elim f O.
  30 simplify.reflexivity.
  31 simplify.reflexivity.
  32 qed.
  33
  34 theorem max_S_max : \forall f: nat \to bool. \forall n:nat.
  35 (f (S n) = true \land max (S n) f = (S n)) \lor
  36 (f (S n) = false \land max (S n) f = max n f).
  37 intros.simplify.elim (f (S n)).
  38 simplify.left.split.reflexivity.reflexivity.
  39 simplify.right.split.reflexivity.reflexivity.
  40 qed.
  41
  42 theorem le_max_n : \forall f: nat \to bool. \forall n:nat.
  43 max n f \le n.
  44 intros.elim n.rewrite > max_O_f.apply le_n.
  45 simplify.elim (f (S n1)).simplify.apply le_n.
  46 simplify.apply le_S.assumption.
  47 qed.
  48
  49 theorem le_to_le_max : \forall f: nat \to bool. \forall n,m:nat.
  50 n\le m  \to max n f \le max m f.
  51 intros.elim H.
  52 apply le_n.
  53 apply trans_le ? (max n1 f).apply H2.
  54 cut (f (S n1) = true \land max (S n1) f = (S n1)) \lor
  55 (f (S n1) = false \land max (S n1) f = max n1 f).
  56 elim Hcut.elim H3.
  57 rewrite > H5.
  58 apply le_S.apply le_max_n.
  59 elim H3.rewrite > H5.apply le_n.
  60 apply max_S_max.
  61 qed.
  62
  63 theorem f_m_to_le_max: \forall f: nat \to bool. \forall n,m:nat.
  64 m\le n \to f m = true \to m \le max n f.
  65 intros 3.elim n.apply le_n_O_elim m H.
  66 apply le_O_n.
  67 apply le_n_Sm_elim m n1 H1.
  68 intro.apply trans_le ? (max n1 f).
  69 apply H.apply le_S_S_to_le.assumption.assumption.
  70 apply le_to_le_max.apply le_n_Sn.
  71 intro.simplify.rewrite < H3.
  72 rewrite > H2.simplify.apply le_n.
  73 qed.
  74
  75 definition max_spec \def \lambda f:nat \to bool.\lambda n: nat.
  76 ex nat (\lambda i:nat. (le i n) \land (f i = true)) \to
  77 (f n) = true \land (\forall i. i < n \to (f i = false)).
  78
  79 theorem f_max_true : \forall f:nat \to bool. \forall n:nat.
  80 ex nat (\lambda i:nat. (le i n) \land (f i = true)) \to f (max n f) = true.
  81 intros 2.
  82 elim n.elim H.elim H1.generalize in match H3.
  83 apply le_n_O_elim a H2.intro.simplify.rewrite > H4.
  84 simplify.assumption.
  85 simplify.
  86 apply bool_ind (\lambda b:bool.
  87 (f (S n1) = b) \to (f ([\lambda b:bool.nat] match b in bool with
  88 [ true \Rightarrow (S n1)
  89 | false  \Rightarrow (max n1 f)])) = true).
  90 simplify.intro.assumption.
  91 simplify.intro.apply H.
  92 elim H1.elim H3.generalize in match H5.
  93 apply le_n_Sm_elim a n1 H4.
  94 intros.
  95 apply ex_intro nat ? a.
  96 split.apply le_S_S_to_le.assumption.assumption.
  97 intros.apply False_ind.apply not_eq_true_false.
  98 rewrite < H2.rewrite < H7.rewrite > H6. reflexivity.
  99 reflexivity.
 100 qed.
 101
 102 theorem lt_max_to_false : \forall f:nat \to bool.
 103 \forall n,m:nat. (max n f) < m \to m \leq n \to f m = false.
 104 intros 2.
 105 elim n.absurd le m O.assumption.
 106 cut O < m.apply lt_O_n_elim m Hcut.exact not_le_Sn_O.
 107 rewrite < max_O_f f.assumption.
 108 generalize in match H1.
 109 (* ?? non posso generalizzare su un goal implicativo ?? *)
 110 elim max_S_max f n1.
 111 elim H3.
 112 absurd m \le S n1.assumption.
 113 apply lt_to_not_le.rewrite < H6.assumption.
 114 elim H3.
 115 apply le_n_Sm_elim m n1 H2.
 116 intro.
 117 apply H.rewrite < H6.assumption.
 118 apply le_S_S_to_le.assumption.
 119 intro.rewrite > H7.assumption.
 120 qed.
 121
 122 let rec min_aux off n f \def
 123   match f (n-off) with
 124   [ true \Rightarrow (n-off)
 125   | false \Rightarrow
 126       match off with
 127       [ O \Rightarrow n
 128       | (S p) \Rightarrow min_aux p n f]].
 129
 130 definition min : nat \to (nat \to bool) \to nat \def
 131 \lambda n.\lambda f. min_aux n n f.
 132
 133 theorem min_aux_O_f: \forall f:nat \to bool. \forall i :nat.
 134 min_aux O i f = i.
 135 intros.simplify.rewrite < minus_n_O.
 136 elim f i.
 137 simplify.reflexivity.
 138 simplify.reflexivity.
 139 qed.
 140
 141 theorem min_O_f : \forall f:nat \to bool.
 142 min O f = O.
 143 intro.apply min_aux_O_f f O.
 144 qed.
 145
 146 theorem min_aux_S : \forall f: nat \to bool. \forall i,n:nat.
 147 (f (n -(S i)) = true \land min_aux (S i) n f = (n - (S i))) \lor
 148 (f (n -(S i)) = false \land min_aux (S i) n f = min_aux i n f).
 149 intros.simplify.elim (f (n - (S i))).
 150 simplify.left.split.reflexivity.reflexivity.
 151 simplify.right.split.reflexivity.reflexivity.
 152 qed.
 153
 154 theorem f_min_aux_true: \forall f:nat \to bool. \forall off,m:nat.
 155 ex nat (\lambda i:nat. (le (m-off) i) \land (le i m) \land (f i = true)) \to
 156 f (min_aux off m f) = true.
 157 intros 2.
 158 elim off.elim H.elim H1.elim H2.
 159 cut a = m.
 160 rewrite > min_aux_O_f f.rewrite < Hcut.assumption.
 161 apply antisym_le a m .assumption.rewrite > minus_n_O m.assumption.
 162 simplify.
 163 apply bool_ind (\lambda b:bool.
 164 (f (m-(S n)) = b) \to (f ([\lambda b:bool.nat] match b in bool with
 165 [ true \Rightarrow m-(S n)
 166 | false  \Rightarrow (min_aux n m f)])) = true).
 167 simplify.intro.assumption.
 168 simplify.intro.apply H.
 169 elim H1.elim H3.elim H4.
 170 elim (le_to_or_lt_eq (m-(S n)) a H6).
 171 apply ex_intro nat ? a.
 172 split.split.
 173 apply lt_minus_S_n_to_le_minus_n.assumption.
 174 assumption.assumption.
 175 absurd f a = false.rewrite < H8.assumption.
 176 rewrite > H5.
 177 apply not_eq_true_false.
 178 reflexivity.
 179 qed.
 180
 181 theorem lt_min_aux_to_false : \forall f:nat \to bool.
 182 \forall n,off,m:nat. (n-off) \leq m \to m < (min_aux off n f) \to f m = false.
 183 intros 3.
 184 elim off.absurd le n m.rewrite > minus_n_O.assumption.
 185 apply lt_to_not_le.rewrite < min_aux_O_f f n.assumption.
 186 generalize in match H1.
 187 elim min_aux_S f n1 n.
 188 elim H3.
 189 absurd n - S n1 \le m.assumption.
 190 apply lt_to_not_le.rewrite < H6.assumption.
 191 elim H3.
 192 elim le_to_or_lt_eq (n -(S n1)) m.
 193 apply H.apply lt_minus_S_n_to_le_minus_n.assumption.
 194 rewrite < H6.assumption.
 195 rewrite < H7.assumption.
 196 assumption.
 197 qed.
 198
 199 theorem le_min_aux : \forall f:nat \to bool.
 200 \forall n,off:nat. (n-off) \leq (min_aux off n f).
 201 intros 3.
 202 elim off.rewrite < minus_n_O.
 203 rewrite > min_aux_O_f f n.apply le_n.
 204 elim min_aux_S f n1 n.
 205 elim H1.rewrite > H3.apply le_n.
 206 elim H1.rewrite > H3.
 207 apply trans_le (n-(S n1)) (n-n1).
 208 apply monotonic_le_minus_r.
 209 apply le_n_Sn.
 210 assumption.
 211 qed.
 212