helm/matita/library/nat/minimization.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/minimization".
  16
  17 include "nat/minus.ma".
  18 include "datatypes/bool.ma".
  19
  20 let rec max i f \def
  21   match (f i) with
  22   [ true \Rightarrow i
  23   | false \Rightarrow
  24       match i with
  25       [ O \Rightarrow O
  26       | (S j) \Rightarrow max j f ]].
  27
  28 theorem max_O_f : \forall f: nat \to bool. max O f = O.
  29 intro. simplify.
  30 elim f O.
  31 simplify.reflexivity.
  32 simplify.reflexivity.
  33 qed.
  34
  35 theorem max_S_max : \forall f: nat \to bool. \forall n:nat.
  36 (f (S n) = true \land max (S n) f = (S n)) \lor
  37 (f (S n) = false \land max (S n) f = max n f).
  38 intros.simplify.elim (f (S n)).
  39 simplify.left.split.reflexivity.reflexivity.
  40 simplify.right.split.reflexivity.reflexivity.
  41 qed.
  42
  43 theorem le_max_n : \forall f: nat \to bool. \forall n:nat.
  44 max n f \le n.
  45 intros.elim n.rewrite > max_O_f.apply le_n.
  46 simplify.elim (f (S n1)).simplify.apply le_n.
  47 simplify.apply le_S.assumption.
  48 qed.
  49
  50 theorem le_to_le_max : \forall f: nat \to bool. \forall n,m:nat.
  51 n\le m  \to max n f \le max m f.
  52 intros.elim H.
  53 apply le_n.
  54 apply trans_le ? (max n1 f).apply H2.
  55 cut (f (S n1) = true \land max (S n1) f = (S n1)) \lor
  56 (f (S n1) = false \land max (S n1) f = max n1 f).
  57 elim Hcut.elim H3.
  58 rewrite > H5.
  59 apply le_S.apply le_max_n.
  60 elim H3.rewrite > H5.apply le_n.
  61 apply max_S_max.
  62 qed.
  63
  64 theorem f_m_to_le_max: \forall f: nat \to bool. \forall n,m:nat.
  65 m\le n \to f m = true \to m \le max n f.
  66 intros 3.elim n.apply le_n_O_elim m H.
  67 apply le_O_n.
  68 apply le_n_Sm_elim m n1 H1.
  69 intro.apply trans_le ? (max n1 f).
  70 apply H.apply le_S_S_to_le.assumption.assumption.
  71 apply le_to_le_max.apply le_n_Sn.
  72 intro.simplify.rewrite < H3.
  73 rewrite > H2.simplify.apply le_n.
  74 qed.
  75
  76 definition max_spec \def \lambda f:nat \to bool.\lambda n: nat.
  77 ex nat (\lambda i:nat. (le i n) \land (f i = true)) \to
  78 (f n) = true \land (\forall i. i < n \to (f i = false)).
  79
  80 theorem f_max_true : \forall f:nat \to bool. \forall n:nat.
  81 ex nat (\lambda i:nat. (le i n) \land (f i = true)) \to f (max n f) = true.
  82 intros 2.
  83 elim n.elim H.elim H1.generalize in match H3.
  84 apply le_n_O_elim a H2.intro.simplify.rewrite > H4.
  85 simplify.assumption.
  86 simplify.
  87 apply bool_ind (\lambda b:bool.
  88 (f (S n1) = b) \to (f ([\lambda b:bool.nat] match b in bool with
  89 [ true \Rightarrow (S n1)
  90 | false  \Rightarrow (max n1 f)])) = true) ? ? ?.
  91 reflexivity.
  92 simplify.intro.assumption.
  93 simplify.intro.apply H.
  94 elim H1.elim H3.generalize in match H5.
  95 apply le_n_Sm_elim a n1 H4.
  96 intros.
  97 apply ex_intro nat ? a.
  98 split.apply le_S_S_to_le.assumption.assumption.
  99 intros.apply False_ind.apply not_eq_true_false ?.
 100 rewrite < H2.rewrite < H7.rewrite > H6. reflexivity.
 101 qed.
 102
 103 theorem lt_max_to_false : \forall f:nat \to bool.
 104 \forall n,m:nat. (max n f) < m \to m \leq n \to f m = false.
 105 intros 2.
 106 elim n.absurd le m O.assumption.
 107 cut O < m.apply lt_O_n_elim m Hcut.exact not_le_Sn_O.
 108 rewrite < max_O_f f.assumption.
 109 generalize in match H1.
 110 (* ?? non posso generalizzare su un goal implicativo ?? *)
 111 elim max_S_max f n1.
 112 elim H3.
 113 absurd m \le S n1.assumption.
 114 apply lt_to_not_le.rewrite < H6.assumption.
 115 elim H3.
 116 apply le_n_Sm_elim m n1 H2.
 117 intro.
 118 apply H.rewrite < H6.assumption.
 119 apply le_S_S_to_le.assumption.
 120 intro.rewrite > H7.assumption.
 121 qed.
 122
 123 let rec min_aux off n f \def
 124   match f (n-off) with
 125   [ true \Rightarrow (n-off)
 126   | false \Rightarrow
 127       match off with
 128       [ O \Rightarrow n
 129       | (S p) \Rightarrow min_aux p n f]].
 130
 131 definition min : nat \to (nat \to bool) \to nat \def
 132 \lambda n.\lambda f. min_aux n n f.
 133
 134 theorem min_aux_O_f: \forall f:nat \to bool. \forall i :nat.
 135 min_aux O i f = i.
 136 intros.simplify.rewrite < minus_n_O.
 137 elim f i.
 138 simplify.reflexivity.
 139 simplify.reflexivity.
 140 qed.
 141
 142 theorem min_O_f : \forall f:nat \to bool.
 143 min O f = O.
 144 intro.apply min_aux_O_f f O.
 145 qed.
 146
 147 theorem min_aux_S : \forall f: nat \to bool. \forall i,n:nat.
 148 (f (n -(S i)) = true \land min_aux (S i) n f = (n - (S i))) \lor
 149 (f (n -(S i)) = false \land min_aux (S i) n f = min_aux i n f).
 150 intros.simplify.elim (f (n - (S i))).
 151 simplify.left.split.reflexivity.reflexivity.
 152 simplify.right.split.reflexivity.reflexivity.
 153 qed.
 154
 155 theorem f_min_aux_true: \forall f:nat \to bool. \forall off,m:nat.
 156 ex nat (\lambda i:nat. (le (m-off) i) \land (le i m) \land (f i = true)) \to
 157 f (min_aux off m f) = true.
 158 intros 2.
 159 elim off.elim H.elim H1.elim H2.
 160 cut a = m.
 161 rewrite > min_aux_O_f f.rewrite < Hcut.assumption.
 162 apply antisym_le a m .assumption.rewrite > minus_n_O m.assumption.
 163 simplify.
 164 apply bool_ind (\lambda b:bool.
 165 (f (m-(S n)) = b) \to (f ([\lambda b:bool.nat] match b in bool with
 166 [ true \Rightarrow m-(S n)
 167 | false  \Rightarrow (min_aux n m f)])) = true) ? ? ?.
 168 reflexivity.
 169 simplify.intro.assumption.
 170 simplify.intro.apply H.
 171 elim H1.elim H3.elim H4.
 172 elim (le_to_or_lt_eq (m-(S n)) a H6).
 173 apply ex_intro nat ? a.
 174 split.split.
 175 apply lt_minus_S_n_to_le_minus_n.assumption.
 176 assumption.assumption.
 177 absurd f a = false.rewrite < H8.assumption.
 178 rewrite > H5.
 179 apply not_eq_true_false.
 180 qed.
 181
 182 theorem lt_min_aux_to_false : \forall f:nat \to bool.
 183 \forall n,off,m:nat. (n-off) \leq m \to m < (min_aux off n f) \to f m = false.
 184 intros 3.
 185 elim off.absurd le n m.rewrite > minus_n_O.assumption.
 186 apply lt_to_not_le.rewrite < min_aux_O_f f n.assumption.
 187 generalize in match H1.
 188 elim min_aux_S f n1 n.
 189 elim H3.
 190 absurd n - S n1 \le m.assumption.
 191 apply lt_to_not_le.rewrite < H6.assumption.
 192 elim H3.
 193 elim le_to_or_lt_eq (n -(S n1)) m.
 194 apply H.apply lt_minus_S_n_to_le_minus_n.assumption.
 195 rewrite < H6.assumption.assumption.
 196 rewrite < H7.assumption.
 197 qed.
 198
 199 theorem le_min_aux : \forall f:nat \to bool.
 200 \forall n,off:nat. (n-off) \leq (min_aux off n f).
 201 intros 3.
 202 elim off.rewrite < minus_n_O.
 203 rewrite > min_aux_O_f f n.apply le_n.
 204 elim min_aux_S f n1 n.
 205 elim H1.rewrite > H3.apply le_n.
 206 elim H1.rewrite > H3.
 207 apply trans_le (n-(S n1)) (n-n1) ?.
 208 apply monotonic_le_minus_r.
 209 apply le_n_Sn.
 210 assumption.
 211 qed.
 212