helm/matita/library/nat/minus.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15
  16 set "baseuri" "cic:/matita/nat/minus".
  17
  18 include "nat/orders_op.ma".
  19 include "nat/compare.ma".
  20
  21 let rec minus n m \def
  22  match n with
  23  [ O \Rightarrow O
  24  | (S p) \Rightarrow
  25         match m with
  26         [O \Rightarrow (S p)
  27         | (S q) \Rightarrow minus p q ]].
  28
  29 interpretation "natural minus" 'minus x y = (cic:/matita/nat/minus/minus.con x y).
  30
  31 theorem minus_n_O: \forall n:nat.n=n-O.
  32 intros.elim n.simplify.reflexivity.
  33 simplify.reflexivity.
  34 qed.
  35
  36 theorem minus_n_n: \forall n:nat.O=n-n.
  37 intros.elim n.simplify.
  38 reflexivity.
  39 simplify.apply H.
  40 qed.
  41
  42 theorem minus_Sn_n: \forall n:nat. S O = (S n)-n.
  43 intro.elim n.
  44 simplify.reflexivity.
  45 elim H.reflexivity.
  46 qed.
  47
  48 theorem minus_Sn_m: \forall n,m:nat. m \leq n \to (S n)-m = S (n-m).
  49 intros 2.
  50 apply nat_elim2
  51 (\lambda n,m.m \leq n \to (S n)-m = S (n-m)).
  52 intros.apply le_n_O_elim n1 H.
  53 simplify.reflexivity.
  54 intros.simplify.reflexivity.
  55 intros.rewrite < H.reflexivity.
  56 apply le_S_S_to_le. assumption.
  57 qed.
  58
  59 theorem plus_minus:
  60 \forall n,m,p:nat. m \leq n \to (n-m)+p = (n+p)-m.
  61 intros 2.
  62 apply nat_elim2
  63 (\lambda n,m.\forall p:nat.m \leq n \to (n-m)+p = (n+p)-m).
  64 intros.apply le_n_O_elim ? H.
  65 simplify.rewrite < minus_n_O.reflexivity.
  66 intros.simplify.reflexivity.
  67 intros.simplify.apply H.apply le_S_S_to_le.assumption.
  68 qed.
  69
  70 theorem plus_minus_m_m: \forall n,m:nat.
  71 m \leq n \to n = (n-m)+m.
  72 intros 2.
  73 apply nat_elim2 (\lambda n,m.m \leq n \to n = (n-m)+m).
  74 intros.apply le_n_O_elim n1 H.
  75 reflexivity.
  76 intros.simplify.rewrite < plus_n_O.reflexivity.
  77 intros.simplify.rewrite < sym_plus.simplify.
  78 apply eq_f.rewrite < sym_plus.apply H.
  79 apply le_S_S_to_le.assumption.
  80 qed.
  81
  82 theorem minus_to_plus :\forall n,m,p:nat.m \leq n \to n-m = p \to
  83 n = m+p.
  84 intros.apply trans_eq ? ? ((n-m)+m) ?.
  85 apply plus_minus_m_m.
  86 apply H.elim H1.
  87 apply sym_plus.
  88 qed.
  89
  90 theorem plus_to_minus :\forall n,m,p:nat.m \leq n \to
  91 n = m+p \to n-m = p.
  92 intros.
  93 apply inj_plus_r m.
  94 rewrite < H1.
  95 rewrite < sym_plus.
  96 symmetry.
  97 apply plus_minus_m_m.assumption.
  98 qed.
  99
 100 theorem eq_minus_n_m_O: \forall n,m:nat.
 101 n \leq m \to n-m = O.
 102 intros 2.
 103 apply nat_elim2 (\lambda n,m.n \leq m \to n-m = O).
 104 intros.simplify.reflexivity.
 105 intros.apply False_ind.
 106 (* ancora problemi con il not *)
 107 apply not_le_Sn_O n1 H.
 108 intros.
 109 simplify.apply H.apply le_S_S_to_le. apply H1.
 110 qed.
 111
 112 theorem le_SO_minus: \forall n,m:nat.S n \leq m \to S O \leq m-n.
 113 intros.elim H.elim minus_Sn_n n.apply le_n.
 114 rewrite > minus_Sn_m.
 115 apply le_S.assumption.
 116 apply lt_to_le.assumption.
 117 qed.
 118
 119 (*
 120 theorem le_plus_minus: \forall n,m,p. n+m \leq p \to n \leq p-m.
 121 intros 3.
 122 elim p.simplify.apply trans_le ? (n+m) ?.
 123 elim sym_plus ? ?.
 124 apply plus_le.assumption.
 125 apply le_n_Sm_elim ? ? H1.
 126 intros.
 127 *)
 128
 129 theorem distributive_times_minus: distributive nat times minus.
 130 simplify.
 131 intros.
 132 apply (leb_elim z y).intro.
 133 cut x*(y-z)+x*z = (x*y-x*z)+x*z.
 134 apply inj_plus_l (x*z).
 135 assumption.
 136 apply trans_eq nat ? (x*y).
 137 rewrite < times_plus_distr.
 138 rewrite < plus_minus_m_m ? ? H.reflexivity.
 139 rewrite < plus_minus_m_m ? ? ?.reflexivity.
 140 apply le_times_r.
 141 assumption.
 142 intro.
 143 rewrite > eq_minus_n_m_O.
 144 rewrite > eq_minus_n_m_O (x*y).
 145 rewrite < sym_times.simplify.reflexivity.
 146 apply lt_to_le.
 147 apply not_le_to_lt.assumption.
 148 apply le_times_r.apply lt_to_le.
 149 apply not_le_to_lt.assumption.
 150 qed.
 151
 152 theorem distr_times_minus: \forall n,m,p:nat. n*(m-p) = n*m-n*p
 153 \def distributive_times_minus.
 154
 155 theorem le_minus_m: \forall n,m:nat. n-m \leq n.
 156 intro.elim n.simplify.apply le_n.
 157 elim m.simplify.apply le_n.
 158 simplify.apply le_S.apply H.
 159 qed.