helm/matita/library/nat/minus.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15
  16 set "baseuri" "cic:/matita/nat/minus".
  17
  18 include "nat/le_arith.ma".
  19 include "nat/compare.ma".
  20
  21 let rec minus n m \def
  22  match n with
  23  [ O \Rightarrow O
  24  | (S p) \Rightarrow
  25         match m with
  26         [O \Rightarrow (S p)
  27         | (S q) \Rightarrow minus p q ]].
  28
  29 (*CSC: the URI must disappear: there is a bug now *)
  30 interpretation "natural minus" 'minus x y = (cic:/matita/nat/minus/minus.con x y).
  31
  32 theorem minus_n_O: \forall n:nat.n=n-O.
  33 intros.elim n.simplify.reflexivity.
  34 simplify.reflexivity.
  35 qed.
  36
  37 theorem minus_n_n: \forall n:nat.O=n-n.
  38 intros.elim n.simplify.
  39 reflexivity.
  40 simplify.apply H.
  41 qed.
  42
  43 theorem minus_Sn_n: \forall n:nat. S O = (S n)-n.
  44 intro.elim n.
  45 simplify.reflexivity.
  46 elim H.reflexivity.
  47 qed.
  48
  49 theorem minus_Sn_m: \forall n,m:nat. m \leq n \to (S n)-m = S (n-m).
  50 intros 2.
  51 apply nat_elim2
  52 (\lambda n,m.m \leq n \to (S n)-m = S (n-m)).
  53 intros.apply le_n_O_elim n1 H.
  54 simplify.reflexivity.
  55 intros.simplify.reflexivity.
  56 intros.rewrite < H.reflexivity.
  57 apply le_S_S_to_le. assumption.
  58 qed.
  59
  60 theorem plus_minus:
  61 \forall n,m,p:nat. m \leq n \to (n-m)+p = (n+p)-m.
  62 intros 2.
  63 apply nat_elim2
  64 (\lambda n,m.\forall p:nat.m \leq n \to (n-m)+p = (n+p)-m).
  65 intros.apply le_n_O_elim ? H.
  66 simplify.rewrite < minus_n_O.reflexivity.
  67 intros.simplify.reflexivity.
  68 intros.simplify.apply H.apply le_S_S_to_le.assumption.
  69 qed.
  70
  71 theorem plus_minus_m_m: \forall n,m:nat.
  72 m \leq n \to n = (n-m)+m.
  73 intros 2.
  74 apply nat_elim2 (\lambda n,m.m \leq n \to n = (n-m)+m).
  75 intros.apply le_n_O_elim n1 H.
  76 reflexivity.
  77 intros.simplify.rewrite < plus_n_O.reflexivity.
  78 intros.simplify.rewrite < sym_plus.simplify.
  79 apply eq_f.rewrite < sym_plus.apply H.
  80 apply le_S_S_to_le.assumption.
  81 qed.
  82
  83 theorem minus_to_plus :\forall n,m,p:nat.m \leq n \to n-m = p \to
  84 n = m+p.
  85 intros.apply trans_eq ? ? ((n-m)+m).
  86 apply plus_minus_m_m.
  87 apply H.elim H1.
  88 apply sym_plus.
  89 qed.
  90
  91 theorem plus_to_minus :\forall n,m,p:nat.
  92 n = m+p \to n-m = p.
  93 intros.
  94 apply inj_plus_r m.
  95 rewrite < H.
  96 rewrite < sym_plus.
  97 symmetry.
  98 apply plus_minus_m_m.rewrite > H.
  99 rewrite > sym_plus.
 100 apply le_plus_n.
 101 qed.
 102
 103 theorem minus_S_S : \forall n,m:nat.
 104 eq nat (minus (S n) (S m)) (minus n m).
 105 intros.
 106 reflexivity.
 107 qed.
 108
 109 theorem minus_pred_pred : \forall n,m:nat. lt O n \to lt O m \to
 110 eq nat (minus (pred n) (pred m)) (minus n m).
 111 intros.
 112 apply lt_O_n_elim n H.intro.
 113 apply lt_O_n_elim m H1.intro.
 114 simplify.reflexivity.
 115 qed.
 116
 117 theorem eq_minus_n_m_O: \forall n,m:nat.
 118 n \leq m \to n-m = O.
 119 intros 2.
 120 apply nat_elim2 (\lambda n,m.n \leq m \to n-m = O).
 121 intros.simplify.reflexivity.
 122 intros.apply False_ind.
 123 apply not_le_Sn_O.
 124 goal 13.apply H.
 125 intros.
 126 simplify.apply H.apply le_S_S_to_le. apply H1.
 127 qed.
 128
 129 theorem le_SO_minus: \forall n,m:nat.S n \leq m \to S O \leq m-n.
 130 intros.elim H.elim minus_Sn_n n.apply le_n.
 131 rewrite > minus_Sn_m.
 132 apply le_S.assumption.
 133 apply lt_to_le.assumption.
 134 qed.
 135
 136 theorem minus_le_S_minus_S: \forall n,m:nat. m-n \leq S (m-(S n)).
 137 intros.apply nat_elim2 (\lambda n,m.m-n \leq S (m-(S n))).
 138 intro.elim n1.simplify.apply le_n_Sn.
 139 simplify.rewrite < minus_n_O.apply le_n.
 140 intros.simplify.apply le_n_Sn.
 141 intros.simplify.apply H.
 142 qed.
 143
 144 theorem lt_minus_S_n_to_le_minus_n : \forall n,m,p:nat. m-(S n) < p \to m-n \leq p.
 145 intros 3.simplify.intro.
 146 apply trans_le (m-n) (S (m-(S n))) p.
 147 apply minus_le_S_minus_S.
 148 assumption.
 149 qed.
 150
 151 theorem le_minus_m: \forall n,m:nat. n-m \leq n.
 152 intros.apply nat_elim2 (\lambda m,n. n-m \leq n).
 153 intros.rewrite < minus_n_O.apply le_n.
 154 intros.simplify.apply le_n.
 155 intros.simplify.apply le_S.assumption.
 156 qed.
 157
 158 theorem lt_minus_m: \forall n,m:nat. O < n \to O < m \to n-m \lt n.
 159 intros.apply lt_O_n_elim n H.intro.
 160 apply lt_O_n_elim m H1.intro.
 161 simplify.apply le_S_S.apply le_minus_m.
 162 qed.
 163
 164 theorem minus_le_O_to_le: \forall n,m:nat. n-m \leq O \to n \leq m.
 165 intros 2.
 166 apply nat_elim2 (\lambda n,m:nat.n-m \leq O \to n \leq m).
 167 intros.apply le_O_n.
 168 simplify.intros. assumption.
 169 simplify.intros.apply le_S_S.apply H.assumption.
 170 qed.
 171
 172 (* galois *)
 173 theorem monotonic_le_minus_r:
 174 \forall p,q,n:nat. q \leq p \to n-p \le n-q.
 175 simplify.intros 2.apply nat_elim2
 176 (\lambda p,q.\forall a.q \leq p \to a-p \leq a-q).
 177 intros.apply le_n_O_elim n H.apply le_n.
 178 intros.rewrite < minus_n_O.
 179 apply le_minus_m.
 180 intros.elim a.simplify.apply le_n.
 181 simplify.apply H.apply le_S_S_to_le.assumption.
 182 qed.
 183
 184 theorem le_minus_to_plus: \forall n,m,p. (le (n-m) p) \to (le n (p+m)).
 185 intros 2.apply nat_elim2 (\lambda n,m.\forall p.(le (n-m) p) \to (le n (p+m))).
 186 intros.apply le_O_n.
 187 simplify.intros.rewrite < plus_n_O.assumption.
 188 intros.
 189 rewrite < plus_n_Sm.
 190 apply le_S_S.apply H.
 191 exact H1.
 192 qed.
 193
 194 theorem le_plus_to_minus: \forall n,m,p. (le n (p+m)) \to (le (n-m) p).
 195 intros 2.apply nat_elim2 (\lambda n,m.\forall p.(le n (p+m)) \to (le (n-m) p)).
 196 intros.simplify.apply le_O_n.
 197 intros 2.rewrite < plus_n_O.intro.simplify.assumption.
 198 intros.simplify.apply H.
 199 apply le_S_S_to_le.rewrite > plus_n_Sm.assumption.
 200 qed.
 201
 202 (* the converse of le_plus_to_minus does not hold *)
 203 theorem le_plus_to_minus_r: \forall n,m,p. (le (n+m) p) \to (le n (p-m)).
 204 intros 3.apply nat_elim2 (\lambda m,p.(le (n+m) p) \to (le n (p-m))).
 205 intro.rewrite < plus_n_O.rewrite < minus_n_O.intro.assumption.
 206 intro.intro.cut n=O.rewrite > Hcut.apply le_O_n.
 207 apply sym_eq. apply le_n_O_to_eq.
 208 apply trans_le ? (n+(S n1)).
 209 rewrite < sym_plus.
 210 apply le_plus_n.assumption.
 211 intros.simplify.
 212 apply H.apply le_S_S_to_le.
 213 rewrite > plus_n_Sm.assumption.
 214 qed.
 215
 216
 217 theorem distributive_times_minus: distributive nat times minus.
 218 simplify.
 219 intros.
 220 apply (leb_elim z y).
 221   intro.cut x*(y-z)+x*z = (x*y-x*z)+x*z.
 222     apply inj_plus_l (x*z).assumption.
 223     apply trans_eq nat ? (x*y).
 224       rewrite < distr_times_plus.rewrite < plus_minus_m_m ? ? H.reflexivity.
 225       rewrite < plus_minus_m_m.
 226         reflexivity.
 227         apply le_times_r.assumption.
 228   intro.rewrite > eq_minus_n_m_O.
 229     rewrite > eq_minus_n_m_O (x*y).
 230       rewrite < sym_times.simplify.reflexivity.
 231         apply le_times_r.apply lt_to_le.apply not_le_to_lt.assumption.
 232         apply lt_to_le.apply not_le_to_lt.assumption.
 233 qed.
 234
 235 theorem distr_times_minus: \forall n,m,p:nat. n*(m-p) = n*m-n*p
 236 \def distributive_times_minus.
 237
 238 theorem eq_minus_minus_minus_plus: \forall n,m,p:nat. (n-m)-p = n-(m+p).
 239 intros.
 240 cut m+p \le n \or m+p \nleq n.
 241   elim Hcut.
 242     symmetry.apply plus_to_minus.
 243     rewrite > assoc_plus.rewrite > sym_plus p.rewrite < plus_minus_m_m.
 244       rewrite > sym_plus.rewrite < plus_minus_m_m.
 245         reflexivity.
 246         apply trans_le ? (m+p).
 247           rewrite < sym_plus.apply le_plus_n.
 248           assumption.
 249       apply le_plus_to_minus_r.rewrite > sym_plus.assumption.
 250     rewrite > eq_minus_n_m_O n (m+p).
 251       rewrite > eq_minus_n_m_O (n-m) p.
 252         reflexivity.
 253       apply le_plus_to_minus.apply lt_to_le. rewrite < sym_plus.
 254        apply not_le_to_lt. assumption.
 255     apply lt_to_le.apply not_le_to_lt.assumption.
 256   apply decidable_le (m+p) n.
 257 qed.
 258
 259 theorem eq_plus_minus_minus_minus: \forall n,m,p:nat. p \le m \to m \le n \to
 260 p+(n-m) = n-(m-p).
 261 intros.
 262 apply sym_eq.
 263 apply plus_to_minus.
 264 rewrite < assoc_plus.
 265 rewrite < plus_minus_m_m.
 266 rewrite < sym_plus.
 267 rewrite < plus_minus_m_m.reflexivity.
 268 assumption.assumption.
 269 qed.