helm/matita/library/nat/orders.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/orders".
  16
  17 include "nat/nat.ma".
  18 include "higher_order_defs/ordering.ma".
  19
  20 (* definitions *)
  21 inductive le (n:nat) : nat \to Prop \def
  22   | le_n : le n n
  23   | le_S : \forall m:nat. le n m \to le n (S m).
  24
  25 (*CSC: the URI must disappear: there is a bug now *)
  26 interpretation "natural 'less or equal to'" 'leq x y = (cic:/matita/nat/orders/le.ind#xpointer(1/1) x y).
  27 (*CSC: the URI must disappear: there is a bug now *)
  28 interpretation "natural 'neither less nor equal to'" 'nleq x y =
  29   (cic:/matita/logic/connectives/Not.con
  30     (cic:/matita/nat/orders/le.ind#xpointer(1/1) x y)).
  31
  32 definition lt: nat \to nat \to Prop \def
  33 \lambda n,m:nat.(S n) \leq m.
  34
  35 (*CSC: the URI must disappear: there is a bug now *)
  36 interpretation "natural 'less than'" 'lt x y = (cic:/matita/nat/orders/lt.con x y).
  37 (*CSC: the URI must disappear: there is a bug now *)
  38 interpretation "natural 'not less than'" 'nless x y =
  39   (cic:/matita/logic/connectives/Not.con (cic:/matita/nat/orders/lt.con x y)).
  40
  41 definition ge: nat \to nat \to Prop \def
  42 \lambda n,m:nat.m \leq n.
  43
  44 (*CSC: the URI must disappear: there is a bug now *)
  45 interpretation "natural 'greater or equal to'" 'geq x y = (cic:/matita/nat/orders/ge.con x y).
  46
  47 definition gt: nat \to nat \to Prop \def
  48 \lambda n,m:nat.m<n.
  49
  50 (*CSC: the URI must disappear: there is a bug now *)
  51 interpretation "natural 'greater than'" 'gt x y = (cic:/matita/nat/orders/gt.con x y).
  52 (*CSC: the URI must disappear: there is a bug now *)
  53 interpretation "natural 'not greater than'" 'ngtr x y =
  54   (cic:/matita/logic/connectives/Not.con (cic:/matita/nat/orders/gt.con x y)).
  55
  56 theorem transitive_le : transitive nat le.
  57 unfold transitive.intros.elim H1.
  58 assumption.
  59 apply le_S.assumption.
  60 qed.
  61
  62 theorem trans_le: \forall n,m,p:nat. n \leq m \to m \leq p \to n \leq p
  63 \def transitive_le.
  64
  65 theorem transitive_lt: transitive nat lt.
  66 unfold transitive.unfold lt.intros.elim H1.
  67 apply le_S. assumption.
  68 apply le_S.assumption.
  69 qed.
  70
  71 theorem trans_lt: \forall n,m,p:nat. lt n m \to lt m p \to lt n p
  72 \def transitive_lt.
  73
  74 theorem le_S_S: \forall n,m:nat. n \leq m \to S n \leq S m.
  75 intros.elim H.
  76 apply le_n.
  77 apply le_S.assumption.
  78 qed.
  79
  80 theorem le_O_n : \forall n:nat. O \leq n.
  81 intros.elim n.
  82 apply le_n.apply
  83 le_S. assumption.
  84 qed.
  85
  86 theorem le_n_Sn : \forall n:nat. n \leq S n.
  87 intros. apply le_S.apply le_n.
  88 qed.
  89
  90 theorem le_pred_n : \forall n:nat. pred n \leq n.
  91 intros.elim n.
  92 simplify.apply le_n.
  93 simplify.apply le_n_Sn.
  94 qed.
  95
  96 theorem le_S_S_to_le : \forall n,m:nat. S n \leq S m \to n \leq m.
  97 intros.change with (pred (S n) \leq pred (S m)).
  98 elim H.apply le_n.apply (trans_le ? (pred n1)).assumption.
  99 apply le_pred_n.
 100 qed.
 101
 102 theorem leS_to_not_zero : \forall n,m:nat. S n \leq m \to not_zero m.
 103 intros.elim H.exact I.exact I.
 104 qed.
 105
 106 (* not le *)
 107 theorem not_le_Sn_O: \forall n:nat. S n \nleq O.
 108 intros.unfold Not.simplify.intros.apply (leS_to_not_zero ? ? H).
 109 qed.
 110
 111 theorem not_le_Sn_n: \forall n:nat. S n \nleq n.
 112 intros.elim n.apply not_le_Sn_O.unfold Not.simplify.intros.cut (S n1 \leq n1).
 113 apply H.assumption.
 114 apply le_S_S_to_le.assumption.
 115 qed.
 116
 117 (* le to lt or eq *)
 118 theorem le_to_or_lt_eq : \forall n,m:nat.
 119 n \leq m \to n < m \lor n = m.
 120 intros.elim H.
 121 right.reflexivity.
 122 left.unfold lt.apply le_S_S.assumption.
 123 qed.
 124
 125 (* not eq *)
 126 theorem lt_to_not_eq : \forall n,m:nat. n<m \to n \neq m.
 127 unfold Not.intros.cut ((le (S n) m) \to False).
 128 apply Hcut.assumption.rewrite < H1.
 129 apply not_le_Sn_n.
 130 qed.
 131
 132 (* le vs. lt *)
 133 theorem lt_to_le : \forall n,m:nat. n<m \to n \leq m.
 134 simplify.intros.unfold lt in H.elim H.
 135 apply le_S. apply le_n.
 136 apply le_S. assumption.
 137 qed.
 138
 139 theorem lt_S_to_le : \forall n,m:nat. n < S m \to n \leq m.
 140 simplify.intros.
 141 apply le_S_S_to_le.assumption.
 142 qed.
 143
 144 theorem not_le_to_lt: \forall n,m:nat. n \nleq m \to m<n.
 145 intros 2.
 146 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.n \nleq m \to m<n)).
 147 intros.apply (absurd (O \leq n1)).apply le_O_n.assumption.
 148 unfold Not.unfold lt.intros.apply le_S_S.apply le_O_n.
 149 unfold Not.unfold lt.intros.apply le_S_S.apply H.intros.apply H1.apply le_S_S.
 150 assumption.
 151 qed.
 152
 153 theorem lt_to_not_le: \forall n,m:nat. n<m \to m \nleq n.
 154 unfold Not.unfold lt.intros 3.elim H.
 155 apply (not_le_Sn_n n H1).
 156 apply H2.apply lt_to_le. apply H3.
 157 qed.
 158
 159 theorem not_lt_to_le: \forall n,m:nat. Not (lt n m) \to le m n.
 160 simplify.intros.
 161 apply lt_S_to_le.
 162 apply not_le_to_lt.exact H.
 163 qed.
 164
 165 theorem le_to_not_lt: \forall n,m:nat. le n m \to Not (lt m n).
 166 intros.
 167 change with (Not (le (S m) n)).
 168 apply lt_to_not_le.unfold lt.
 169 apply le_S_S.assumption.
 170 qed.
 171
 172 (* le elimination *)
 173 theorem le_n_O_to_eq : \forall n:nat. n \leq O \to O=n.
 174 intro.elim n.reflexivity.
 175 apply False_ind.
 176 apply not_le_Sn_O.
 177 goal 17. apply H1.
 178 qed.
 179
 180 theorem le_n_O_elim: \forall n:nat.n \leq O \to \forall P: nat \to Prop.
 181 P O \to P n.
 182 intro.elim n.
 183 assumption.
 184 apply False_ind.
 185 apply  (not_le_Sn_O ? H1).
 186 qed.
 187
 188 theorem le_n_Sm_elim : \forall n,m:nat.n \leq S m \to
 189 \forall P:Prop. (S n \leq S m \to P) \to (n=S m \to P) \to P.
 190 intros 4.elim H.
 191 apply H2.reflexivity.
 192 apply H3. apply le_S_S. assumption.
 193 qed.
 194
 195 (* lt and le trans *)
 196 theorem lt_to_le_to_lt: \forall n,m,p:nat. lt n m \to le m p \to lt n p.
 197 intros.elim H1.
 198 assumption.unfold lt.apply le_S.assumption.
 199 qed.
 200
 201 theorem le_to_lt_to_lt: \forall n,m,p:nat. le n m \to lt m p \to lt n p.
 202 intros 4.elim H.
 203 assumption.apply H2.unfold lt.
 204 apply lt_to_le.assumption.
 205 qed.
 206
 207 theorem ltn_to_ltO: \forall n,m:nat. lt n m \to lt O m.
 208 intros.apply (le_to_lt_to_lt O n).
 209 apply le_O_n.assumption.
 210 qed.
 211
 212 theorem lt_O_n_elim: \forall n:nat. lt O n \to
 213 \forall P:nat\to Prop. (\forall m:nat.P (S m)) \to P n.
 214 intro.elim n.apply False_ind.exact (not_le_Sn_O O H).
 215 apply H2.
 216 qed.
 217
 218 (* other abstract properties *)
 219 theorem antisymmetric_le : antisymmetric nat le.
 220 unfold antisymmetric.intros 2.
 221 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.(n \leq m \to m \leq n \to n=m))).
 222 intros.apply le_n_O_to_eq.assumption.
 223 intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H).
 224 intros.apply eq_f.apply H.
 225 apply le_S_S_to_le.assumption.
 226 apply le_S_S_to_le.assumption.
 227 qed.
 228
 229 theorem antisym_le: \forall n,m:nat. n \leq m \to m \leq n \to n=m
 230 \def antisymmetric_le.
 231
 232 theorem decidable_le: \forall n,m:nat. decidable (n \leq m).
 233 intros.
 234 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.decidable (n \leq m))).
 235 intros.unfold decidable.left.apply le_O_n.
 236 intros.unfold decidable.right.exact (not_le_Sn_O n1).
 237 intros 2.unfold decidable.intro.elim H.
 238 left.apply le_S_S.assumption.
 239 right.unfold Not.intro.apply H1.apply le_S_S_to_le.assumption.
 240 qed.
 241
 242 theorem decidable_lt: \forall n,m:nat. decidable (n < m).
 243 intros.exact (decidable_le (S n) m).
 244 qed.
 245
 246 (* well founded induction principles *)
 247
 248 theorem nat_elim1 : \forall n:nat.\forall P:nat \to Prop.
 249 (\forall m.(\forall p. (p \lt m) \to P p) \to P m) \to P n.
 250 intros.cut (\forall q:nat. q \le n \to P q).
 251 apply (Hcut n).apply le_n.
 252 elim n.apply (le_n_O_elim q H1).
 253 apply H.
 254 intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O p H2).
 255 apply H.intros.apply H1.
 256 cut (p < S n1).
 257 apply lt_S_to_le.assumption.
 258 apply (lt_to_le_to_lt p q (S n1) H3 H2).
 259 qed.
 260
 261 (* some properties of functions *)
 262
 263 definition increasing \def \lambda f:nat \to nat.
 264 \forall n:nat. f n < f (S n).
 265
 266 theorem increasing_to_monotonic: \forall f:nat \to nat.
 267 increasing f \to monotonic nat lt f.
 268 unfold monotonic.unfold lt.unfold increasing.unfold lt.intros.elim H1.apply H.
 269 apply (trans_le ? (f n1)).
 270 assumption.apply (trans_le ? (S (f n1))).
 271 apply le_n_Sn.
 272 apply H.
 273 qed.
 274
 275 theorem le_n_fn: \forall f:nat \to nat. (increasing f)
 276 \to \forall n:nat. n \le (f n).
 277 intros.elim n.
 278 apply le_O_n.
 279 apply (trans_le ? (S (f n1))).
 280 apply le_S_S.apply H1.
 281 simplify in H. unfold increasing in H.unfold lt in H.apply H.
 282 qed.
 283
 284 theorem increasing_to_le: \forall f:nat \to nat. (increasing f)
 285 \to \forall m:nat. \exists i. m \le (f i).
 286 intros.elim m.
 287 apply (ex_intro ? ? O).apply le_O_n.
 288 elim H1.
 289 apply (ex_intro ? ? (S a)).
 290 apply (trans_le ? (S (f a))).
 291 apply le_S_S.assumption.
 292 simplify in H.unfold increasing in H.unfold lt in H.
 293 apply H.
 294 qed.
 295
 296 theorem increasing_to_le2: \forall f:nat \to nat. (increasing f)
 297 \to \forall m:nat. (f O) \le m \to
 298 \exists i. (f i) \le m \land m <(f (S i)).
 299 intros.elim H1.
 300 apply (ex_intro ? ? O).
 301 split.apply le_n.apply H.
 302 elim H3.elim H4.
 303 cut ((S n1) < (f (S a)) \lor (S n1) = (f (S a))).
 304 elim Hcut.
 305 apply (ex_intro ? ? a).
 306 split.apply le_S. assumption.assumption.
 307 apply (ex_intro ? ? (S a)).
 308 split.rewrite < H7.apply le_n.
 309 rewrite > H7.
 310 apply H.
 311 apply le_to_or_lt_eq.apply H6.
 312 qed.