helm/matita/library/nat/orders.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/orders".
  16
  17 include "nat/plus.ma".
  18 include "higher_order_defs/ordering.ma".
  19
  20 (* definitions *)
  21 inductive le (n:nat) : nat \to Prop \def
  22   | le_n : le n n
  23   | le_S : \forall m:nat. le n m \to le n (S m).
  24
  25 (*CSC: the URI must disappear: there is a bug now *)
  26 interpretation "natural 'less or equal to'" 'leq x y = (cic:/matita/nat/orders/le.ind#xpointer(1/1) x y).
  27
  28 definition lt: nat \to nat \to Prop \def
  29 \lambda n,m:nat.(S n) \leq m.
  30
  31 (*CSC: the URI must disappear: there is a bug now *)
  32 interpretation "natural 'less than'" 'lt x y = (cic:/matita/nat/orders/lt.con x y).
  33
  34 definition ge: nat \to nat \to Prop \def
  35 \lambda n,m:nat.m \leq n.
  36
  37 (*CSC: the URI must disappear: there is a bug now *)
  38 interpretation "natural 'greater or equal to'" 'geq x y = (cic:/matita/nat/orders/ge.con x y).
  39
  40 definition gt: nat \to nat \to Prop \def
  41 \lambda n,m:nat.m<n.
  42
  43 (*CSC: the URI must disappear: there is a bug now *)
  44 interpretation "natural 'greater than'" 'gt x y = (cic:/matita/nat/orders/gt.con x y).
  45
  46 theorem transitive_le : transitive nat le.
  47 simplify.intros.elim H1.
  48 assumption.
  49 apply le_S.assumption.
  50 qed.
  51
  52 theorem trans_le: \forall n,m,p:nat. n \leq m \to m \leq p \to n \leq p
  53 \def transitive_le.
  54
  55 theorem transitive_lt: transitive nat lt.
  56 simplify.intros.elim H1.
  57 apply le_S. assumption.
  58 apply le_S.assumption.
  59 qed.
  60
  61 theorem trans_lt: \forall n,m,p:nat. lt n m \to lt m p \to lt n p
  62 \def transitive_lt.
  63
  64 theorem le_S_S: \forall n,m:nat. n \leq m \to S n \leq S m.
  65 intros.elim H.
  66 apply le_n.
  67 apply le_S.assumption.
  68 qed.
  69
  70 theorem le_O_n : \forall n:nat. O \leq n.
  71 intros.elim n.
  72 apply le_n.apply
  73 le_S. assumption.
  74 qed.
  75
  76 theorem le_n_Sn : \forall n:nat. n \leq S n.
  77 intros. apply le_S.apply le_n.
  78 qed.
  79
  80 theorem le_pred_n : \forall n:nat. pred n \leq n.
  81 intros.elim n.
  82 simplify.apply le_n.
  83 simplify.apply le_n_Sn.
  84 qed.
  85
  86 theorem le_S_S_to_le : \forall n,m:nat. S n \leq S m \to n \leq m.
  87 intros.change with pred (S n) \leq pred (S m).
  88 elim H.apply le_n.apply trans_le ? (pred n1).assumption.
  89 apply le_pred_n.
  90 qed.
  91
  92 theorem leS_to_not_zero : \forall n,m:nat. S n \leq m \to not_zero m.
  93 intros.elim H.exact I.exact I.
  94 qed.
  95
  96 (* not le *)
  97 theorem not_le_Sn_O: \forall n:nat. \lnot (S n \leq O).
  98 intros.simplify.intros.apply leS_to_not_zero ? ? H.
  99 qed.
 100
 101 theorem not_le_Sn_n: \forall n:nat. \lnot (S n \leq n).
 102 intros.elim n.apply not_le_Sn_O.simplify.intros.cut S n1 \leq n1.
 103 apply H.assumption.
 104 apply le_S_S_to_le.assumption.
 105 qed.
 106
 107 (* le to lt or eq *)
 108 theorem le_to_or_lt_eq : \forall n,m:nat.
 109 n \leq m \to n < m \lor n = m.
 110 intros.elim H.
 111 right.reflexivity.
 112 left.simplify.apply le_S_S.assumption.
 113 qed.
 114
 115 (* not eq *)
 116 theorem lt_to_not_eq : \forall n,m:nat. n<m \to \lnot (n=m).
 117 simplify.intros.cut (le (S n) m) \to False.
 118 apply Hcut.assumption.rewrite < H1.
 119 apply not_le_Sn_n.
 120 qed.
 121
 122 (* le vs. lt *)
 123 theorem lt_to_le : \forall n,m:nat. n<m \to n \leq m.
 124 simplify.intros.elim H.
 125 apply le_S. apply le_n.
 126 apply le_S. assumption.
 127 qed.
 128
 129 theorem lt_S_to_le : \forall n,m:nat. n < S m \to n \leq m.
 130 simplify.intros.
 131 apply le_S_S_to_le.assumption.
 132 qed.
 133
 134 theorem not_le_to_lt: \forall n,m:nat. \lnot (n \leq m) \to m<n.
 135 intros 2.
 136 apply nat_elim2 (\lambda n,m.\lnot (n \leq m) \to m<n).
 137 intros.apply absurd (O \leq n1).apply le_O_n.assumption.
 138 simplify.intros.apply le_S_S.apply le_O_n.
 139 simplify.intros.apply le_S_S.apply H.intros.apply H1.apply le_S_S.
 140 assumption.
 141 qed.
 142
 143 theorem lt_to_not_le: \forall n,m:nat. n<m \to \lnot (m \leq n).
 144 simplify.intros 3.elim H.
 145 apply not_le_Sn_n n H1.
 146 apply H2.apply lt_to_le. apply H3.
 147 qed.
 148
 149 theorem not_lt_to_le: \forall n,m:nat. Not (lt n m) \to le m n.
 150 simplify.intros.
 151 apply lt_S_to_le.
 152 apply not_le_to_lt.exact H.
 153 qed.
 154
 155 theorem le_to_not_lt: \forall n,m:nat. le n m \to Not (lt m n).
 156 intros.
 157 change with Not (le (S m) n).
 158 apply lt_to_not_le.simplify.
 159 apply le_S_S.assumption.
 160 qed.
 161
 162 (* le elimination *)
 163 theorem le_n_O_to_eq : \forall n:nat. n \leq O \to O=n.
 164 intro.elim n.reflexivity.
 165 apply False_ind.
 166 (* non si applica not_le_Sn_O *)
 167 apply  (not_le_Sn_O ? H1).
 168 qed.
 169
 170 theorem le_n_O_elim: \forall n:nat.n \leq O \to \forall P: nat \to Prop.
 171 P O \to P n.
 172 intro.elim n.
 173 assumption.
 174 apply False_ind.
 175 apply  (not_le_Sn_O ? H1).
 176 qed.
 177
 178 theorem le_n_Sm_elim : \forall n,m:nat.n \leq S m \to
 179 \forall P:Prop. (S n \leq S m \to P) \to (n=S m \to P) \to P.
 180 intros 4.elim H.
 181 apply H2.reflexivity.
 182 apply H3. apply le_S_S. assumption.
 183 qed.
 184
 185 (* lt and le trans *)
 186 theorem lt_to_le_to_lt: \forall n,m,p:nat. lt n m \to le m p \to lt n p.
 187 intros.elim H1.
 188 assumption.simplify.apply le_S.assumption.
 189 qed.
 190
 191 theorem le_to_lt_to_lt: \forall n,m,p:nat. le n m \to lt m p \to lt n p.
 192 intros 4.elim H.
 193 assumption.apply H2.simplify.
 194 apply lt_to_le.assumption.
 195 qed.
 196
 197 theorem ltn_to_ltO: \forall n,m:nat. lt n m \to lt O m.
 198 intros.apply le_to_lt_to_lt O n.
 199 apply le_O_n.assumption.
 200 qed.
 201
 202 theorem lt_O_n_elim: \forall n:nat. lt O n \to
 203 \forall P:nat\to Prop. (\forall m:nat.P (S m)) \to P n.
 204 intro.elim n.apply False_ind.exact not_le_Sn_O O H.
 205 apply H2.
 206 qed.
 207
 208 (* other abstract properties *)
 209 theorem antisymmetric_le : antisymmetric nat le.
 210 simplify.intros 2.
 211 apply nat_elim2 (\lambda n,m.(n \leq m \to m \leq n \to n=m)).
 212 intros.apply le_n_O_to_eq.assumption.
 213 intros.apply False_ind.apply not_le_Sn_O ? H.
 214 intros.apply eq_f.apply H.
 215 apply le_S_S_to_le.assumption.
 216 apply le_S_S_to_le.assumption.
 217 qed.
 218
 219 theorem antisym_le: \forall n,m:nat. n \leq m \to m \leq n \to n=m
 220 \def antisymmetric_le.
 221
 222 theorem decidable_le: \forall n,m:nat. decidable (n \leq m).
 223 intros.
 224 apply nat_elim2 (\lambda n,m.decidable (n \leq m)).
 225 intros.simplify.left.apply le_O_n.
 226 intros.simplify.right.exact not_le_Sn_O n1.
 227 intros 2.simplify.intro.elim H.
 228 left.apply le_S_S.assumption.
 229 right.intro.apply H1.apply le_S_S_to_le.assumption.
 230 qed.
 231
 232 theorem decidable_lt: \forall n,m:nat. decidable (n < m).
 233 intros.exact decidable_le (S n) m.
 234 qed.
 235
 236 (* well founded induction principles *)
 237
 238 theorem nat_elim1 : \forall n:nat.\forall P:nat \to Prop.
 239 (\forall m.(\forall p. (p \lt m) \to P p) \to P m) \to P n.
 240 intros.cut \forall q:nat. q \le n \to P q.
 241 apply Hcut n.apply le_n.
 242 elim n.apply le_n_O_elim q H1.
 243 apply H.
 244 intros.apply False_ind.apply not_le_Sn_O p H2.
 245 apply H.intros.apply H1.
 246 cut p < S n1.
 247 apply lt_S_to_le.assumption.
 248 apply lt_to_le_to_lt p q (S n1) H3 H2.
 249 qed.
 250