helm/matita/library/nat/orders.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/orders".
  16
  17 include "nat/plus.ma".
  18 include "higher_order_defs/ordering.ma".
  19
  20 (* definitions *)
  21 inductive le (n:nat) : nat \to Prop \def
  22   | le_n : le n n
  23   | le_S : \forall m:nat. le n m \to le n (S m).
  24
  25 (*CSC: the URI must disappear: there is a bug now *)
  26 interpretation "natural 'less or equal to'" 'leq x y = (cic:/matita/nat/orders/le.ind#xpointer(1/1) x y).
  27
  28 definition lt: nat \to nat \to Prop \def
  29 \lambda n,m:nat.(S n) \leq m.
  30
  31 (*CSC: the URI must disappear: there is a bug now *)
  32 interpretation "natural 'less than'" 'lt x y = (cic:/matita/nat/orders/lt.con x y).
  33
  34 definition ge: nat \to nat \to Prop \def
  35 \lambda n,m:nat.m \leq n.
  36
  37 (*CSC: the URI must disappear: there is a bug now *)
  38 interpretation "natural 'greater or equal to'" 'geq x y = (cic:/matita/nat/orders/ge.con x y).
  39
  40 definition gt: nat \to nat \to Prop \def
  41 \lambda n,m:nat.m<n.
  42
  43 (*CSC: the URI must disappear: there is a bug now *)
  44 interpretation "natural 'greater than'" 'gt x y = (cic:/matita/nat/orders/gt.con x y).
  45
  46 theorem transitive_le : transitive nat le.
  47 simplify.intros.elim H1.
  48 assumption.
  49 apply le_S.assumption.
  50 qed.
  51
  52 theorem trans_le: \forall n,m,p:nat. n \leq m \to m \leq p \to n \leq p
  53 \def transitive_le.
  54
  55 theorem le_S_S: \forall n,m:nat. n \leq m \to S n \leq S m.
  56 intros.elim H.
  57 apply le_n.
  58 apply le_S.assumption.
  59 qed.
  60
  61 theorem le_O_n : \forall n:nat. O \leq n.
  62 intros.elim n.
  63 apply le_n.apply
  64 le_S. assumption.
  65 qed.
  66
  67 theorem le_n_Sn : \forall n:nat. n \leq S n.
  68 intros. apply le_S.apply le_n.
  69 qed.
  70
  71 theorem le_pred_n : \forall n:nat. pred n \leq n.
  72 intros.elim n.
  73 simplify.apply le_n.
  74 simplify.apply le_n_Sn.
  75 qed.
  76
  77 theorem le_S_S_to_le : \forall n,m:nat. S n \leq S m \to n \leq m.
  78 intros.change with pred (S n) \leq pred (S m).
  79 elim H.apply le_n.apply trans_le ? (pred n1).assumption.
  80 apply le_pred_n.
  81 qed.
  82
  83 theorem leS_to_not_zero : \forall n,m:nat. S n \leq m \to not_zero m.
  84 intros.elim H.exact I.exact I.
  85 qed.
  86
  87 (* not le *)
  88 theorem not_le_Sn_O: \forall n:nat. \lnot (S n \leq O).
  89 intros.simplify.intros.apply leS_to_not_zero ? ? H.
  90 qed.
  91
  92 theorem not_le_Sn_n: \forall n:nat. \lnot (S n \leq n).
  93 intros.elim n.apply not_le_Sn_O.simplify.intros.cut S n1 \leq n1.
  94 apply H.assumption.
  95 apply le_S_S_to_le.assumption.
  96 qed.
  97
  98 (* ??? this needs not le *)
  99 theorem S_pred: \forall n:nat.O<n \to n=S (pred n).
 100 intro.elim n.apply False_ind.exact not_le_Sn_O O H.
 101 apply eq_f.apply pred_Sn.
 102 qed.
 103
 104 (* le vs. lt *)
 105 theorem lt_to_le : \forall n,m:nat. n<m \to n \leq m.
 106 simplify.intros.elim H.
 107 apply le_S. apply le_n.
 108 apply le_S. assumption.
 109 qed.
 110
 111 theorem not_le_to_lt: \forall n,m:nat. \lnot (n \leq m) \to m<n.
 112 intros 2.
 113 apply nat_elim2 (\lambda n,m.\lnot (n \leq m) \to m<n).
 114 intros.apply absurd (O \leq n1).apply le_O_n.assumption.
 115 simplify.intros.apply le_S_S.apply le_O_n.
 116 simplify.intros.apply le_S_S.apply H.intros.apply H1.apply le_S_S.
 117 assumption.
 118 qed.
 119
 120 theorem lt_to_not_le: \forall n,m:nat. n<m \to \lnot (m \leq n).
 121 simplify.intros 3.elim H.
 122 apply not_le_Sn_n n H1.
 123 apply H2.apply lt_to_le. apply H3.
 124 qed.
 125
 126 (* le elimination *)
 127 theorem le_n_O_to_eq : \forall n:nat. n \leq O \to O=n.
 128 intro.elim n.reflexivity.
 129 apply False_ind.
 130 (* non si applica not_le_Sn_O *)
 131 apply  (not_le_Sn_O ? H1).
 132 qed.
 133
 134 theorem le_n_O_elim: \forall n:nat.n \leq O \to \forall P: nat \to Prop.
 135 P O \to P n.
 136 intro.elim n.
 137 assumption.
 138 apply False_ind.
 139 apply  (not_le_Sn_O ? H1).
 140 qed.
 141
 142 theorem le_n_Sm_elim : \forall n,m:nat.n \leq S m \to
 143 \forall P:Prop. (S n \leq S m \to P) \to (n=S m \to P) \to P.
 144 intros 4.elim H.
 145 apply H2.reflexivity.
 146 apply H3. apply le_S_S. assumption.
 147 qed.
 148
 149 (* other abstract properties *)
 150 theorem antisymmetric_le : antisymmetric nat le.
 151 simplify.intros 2.
 152 apply nat_elim2 (\lambda n,m.(n \leq m \to m \leq n \to n=m)).
 153 intros.apply le_n_O_to_eq.assumption.
 154 intros.apply False_ind.apply not_le_Sn_O ? H.
 155 intros.apply eq_f.apply H.
 156 apply le_S_S_to_le.assumption.
 157 apply le_S_S_to_le.assumption.
 158 qed.
 159
 160 theorem antisym_le: \forall n,m:nat. n \leq m \to m \leq n \to n=m
 161 \def antisymmetric_le.
 162
 163 theorem decidable_le: \forall n,m:nat. decidable (n \leq m).
 164 intros.
 165 apply nat_elim2 (\lambda n,m.decidable (n \leq m)).
 166 intros.simplify.left.apply le_O_n.
 167 intros.simplify.right.exact not_le_Sn_O n1.
 168 intros 2.simplify.intro.elim H.
 169 left.apply le_S_S.assumption.
 170 right.intro.apply H1.apply le_S_S_to_le.assumption.
 171 qed.