helm/matita/library/nat/orders.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/orders".
  16
  17 include "nat/plus.ma".
  18 include "higher_order_defs/ordering.ma".
  19
  20 (* definitions *)
  21 inductive le (n:nat) : nat \to Prop \def
  22   | le_n : le n n
  23   | le_S : \forall m:nat. le n m \to le n (S m).
  24
  25 definition lt: nat \to nat \to Prop \def
  26 \lambda n,m:nat.le (S n) m.
  27
  28 definition ge: nat \to nat \to Prop \def
  29 \lambda n,m:nat.le m n.
  30
  31 definition gt: nat \to nat \to Prop \def
  32 \lambda n,m:nat.lt m n.
  33
  34 theorem transitive_le : transitive nat le.
  35 simplify.intros.elim H1.
  36 assumption.
  37 apply le_S.assumption.
  38 qed.
  39
  40 theorem trans_le: \forall n,m,p:nat. le n m \to le m p \to le n p
  41 \def transitive_le.
  42
  43 theorem le_S_S: \forall n,m:nat. le n m \to le (S n) (S m).
  44 intros.elim H.
  45 apply le_n.
  46 apply le_S.assumption.
  47 qed.
  48
  49 theorem le_O_n : \forall n:nat. le O n.
  50 intros.elim n.
  51 apply le_n.apply
  52 le_S. assumption.
  53 qed.
  54
  55 theorem le_n_Sn : \forall n:nat. le n (S n).
  56 intros. apply le_S.apply le_n.
  57 qed.
  58
  59 theorem le_pred_n : \forall n:nat. le (pred n) n.
  60 intros.elim n.
  61 simplify.apply le_n.
  62 simplify.apply le_n_Sn.
  63 qed.
  64
  65 theorem le_S_S_to_le : \forall n,m:nat. le (S n) (S m) \to le n m.
  66 intros.change with le (pred (S n)) (pred (S m)).
  67 elim H.apply le_n.apply trans_le ? (pred e2).assumption.
  68 apply le_pred_n.
  69 qed.
  70
  71 theorem leS_to_not_zero : \forall n,m:nat. (le (S n) m ) \to not_zero m.
  72 intros.elim H.exact I.exact I.
  73 qed.
  74
  75 (* not le *)
  76 theorem not_le_Sn_O: \forall n:nat. Not (le (S n) O).
  77 intros.simplify.intros.apply leS_to_not_zero ? ? H.
  78 qed.
  79
  80 theorem not_le_Sn_n: \forall n:nat. Not (le (S n) n).
  81 intros.elim n.apply not_le_Sn_O.simplify.intros.cut le (S e1) e1.
  82 apply H.assumption.
  83 apply le_S_S_to_le.assumption.
  84 qed.
  85
  86 (* le vs. lt *)
  87 theorem lt_to_le : \forall n,m:nat. lt n m \to le n m.
  88 simplify.intros.elim H.
  89 apply le_S. apply le_n.
  90 apply le_S. assumption.
  91 qed.
  92
  93 theorem not_le_to_lt: \forall n,m:nat. Not (le n m) \to lt m n.
  94 intros 2.
  95 apply nat_elim2 (\lambda n,m.Not (le n m) \to lt m n).
  96 intros.apply absurd (le O n1).apply le_O_n.assumption.
  97 simplify.intros.apply le_S_S.apply le_O_n.
  98 simplify.intros.apply le_S_S.apply H.intros.apply H1.apply le_S_S.
  99 assumption.
 100 qed.
 101
 102 theorem lt_to_not_le: \forall n,m:nat. lt n m \to Not (le m n).
 103 simplify.intros 3.elim H.
 104 apply not_le_Sn_n n H1.
 105 apply H2.apply lt_to_le. apply H3.
 106 qed.
 107
 108 (* le elimination *)
 109 theorem le_n_O_to_eq : \forall n:nat. (le n O) \to (eq nat O n).
 110 intro.elim n.reflexivity.
 111 apply False_ind.
 112 (* non si applica not_le_Sn_O *)
 113 apply  (not_le_Sn_O ? H1).
 114 qed.
 115
 116 theorem le_n_O_elim: \forall n:nat.le n O \to \forall P: nat \to Prop.
 117 P O \to P n.
 118 intro.elim n.
 119 assumption.
 120 apply False_ind.
 121 apply  (not_le_Sn_O ? H1).
 122 qed.
 123
 124 theorem le_n_Sm_elim : \forall n,m:nat.le n (S m) \to
 125 \forall P:Prop. (le (S n) (S m) \to P) \to (eq nat n (S m) \to P) \to P.
 126 intros 4.elim H.
 127 apply H2.reflexivity.
 128 apply H3. apply le_S_S. assumption.
 129 qed.
 130
 131 (* other abstract properties *)
 132 theorem antisymmetric_le : antisymmetric nat le.
 133 simplify.intros 2.
 134 apply nat_elim2 (\lambda n,m.((le n m) \to (le m n) \to eq nat n m)).
 135 intros.apply le_n_O_to_eq.assumption.
 136 intros.apply False_ind.apply not_le_Sn_O ? H.
 137 intros.apply eq_f.apply H.
 138 apply le_S_S_to_le.assumption.
 139 apply le_S_S_to_le.assumption.
 140 qed.
 141
 142 theorem antisym_le: \forall n,m:nat. le n m \to le m n \to eq nat n m
 143 \def antisymmetric_le.
 144
 145 theorem decidable_le: \forall n,m:nat. decidable (le n m).
 146 intros.
 147 apply nat_elim2 (\lambda n,m.decidable (le n m)).
 148 intros.simplify.left.apply le_O_n.
 149 intros.simplify.right.exact not_le_Sn_O n1.
 150 intros 2.simplify.intro.elim H.
 151 left.apply le_S_S.assumption.
 152 right.intro.apply H1.apply le_S_S_to_le.assumption.
 153 qed.
 154
 155