helm/matita/library/nat/orders.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/orders".
  16
  17 include "logic/connectives.ma".
  18 include "logic/equality.ma".
  19 include "nat/nat.ma".
  20 include "nat/plus.ma".
  21 include "higher_order_defs/ordering.ma".
  22
  23 (* definitions *)
  24 inductive le (n:nat) : nat \to Prop \def
  25   | le_n : le n n
  26   | le_S : \forall m:nat. le n m \to le n (S m).
  27
  28 definition lt: nat \to nat \to Prop \def
  29 \lambda n,m:nat.le (S n) m.
  30
  31 definition ge: nat \to nat \to Prop \def
  32 \lambda n,m:nat.le m n.
  33
  34 definition gt: nat \to nat \to Prop \def
  35 \lambda n,m:nat.lt m n.
  36
  37 theorem transitive_le : transitive nat le.
  38 simplify.intros.elim H1.
  39 assumption.
  40 apply le_S.assumption.
  41 qed.
  42
  43 theorem trans_le: \forall n,m,p:nat. le n m \to le m p \to le n p
  44 \def transitive_le.
  45
  46 theorem le_S_S: \forall n,m:nat. le n m \to le (S n) (S m).
  47 intros.elim H.
  48 apply le_n.
  49 apply le_S.assumption.
  50 qed.
  51
  52 theorem le_O_n : \forall n:nat. le O n.
  53 intros.elim n.
  54 apply le_n.apply
  55 le_S. assumption.
  56 qed.
  57
  58 theorem le_n_Sn : \forall n:nat. le n (S n).
  59 intros. apply le_S.apply le_n.
  60 qed.
  61
  62 theorem le_pred_n : \forall n:nat. le (pred n) n.
  63 intros.elim n.
  64 simplify.apply le_n.
  65 simplify.apply le_n_Sn.
  66 qed.
  67
  68 theorem le_S_S_to_le : \forall n,m:nat. le (S n) (S m) \to le n m.
  69 intros.change with le (pred (S n)) (pred (S m)).
  70 elim H.apply le_n.apply trans_le ? (pred e2).assumption.
  71 apply le_pred_n.
  72 qed.
  73
  74 theorem leS_to_not_zero : \forall n,m:nat. (le (S n) m ) \to not_zero m.
  75 intros.elim H.exact I.exact I.
  76 qed.
  77
  78 (* not le *)
  79 theorem not_le_Sn_O: \forall n:nat. Not (le (S n) O).
  80 intros.simplify.intros.apply leS_to_not_zero ? ? H.
  81 qed.
  82
  83 theorem not_le_Sn_n: \forall n:nat. Not (le (S n) n).
  84 intros.elim n.apply not_le_Sn_O.simplify.intros.cut le (S e1) e1.
  85 apply H.assumption.
  86 apply le_S_S_to_le.assumption.
  87 qed.
  88
  89 (* le vs. lt *)
  90 theorem lt_to_le : \forall n,m:nat. lt n m \to le n m.
  91 simplify.intros.elim H.
  92 apply le_S. apply le_n.
  93 apply le_S. assumption.
  94 qed.
  95
  96 theorem not_le_to_lt: \forall n,m:nat. Not (le n m) \to lt m n.
  97 intros 2.
  98 apply nat_elim2 (\lambda n,m.Not (le n m) \to lt m n).
  99 intros.apply absurd (le O n1).apply le_O_n.assumption.
 100 simplify.intros.apply le_S_S.apply le_O_n.
 101 simplify.intros.apply le_S_S.apply H.intros.apply H1.apply le_S_S.
 102 assumption.
 103 qed.
 104
 105 theorem lt_to_not_le: \forall n,m:nat. lt n m \to Not (le m n).
 106 simplify.intros 3.elim H.
 107 apply not_le_Sn_n n H1.
 108 apply H2.apply lt_to_le. apply H3.
 109 qed.
 110
 111 (* le elimination *)
 112 theorem le_n_O_to_eq : \forall n:nat. (le n O) \to (eq nat O n).
 113 intro.elim n.reflexivity.
 114 apply False_ind.
 115 (* non si applica not_le_Sn_O *)
 116 apply  (not_le_Sn_O ? H1).
 117 qed.
 118
 119 theorem le_n_O_elim: \forall n:nat.le n O \to \forall P: nat \to Prop.
 120 P O \to P n.
 121 intro.elim n.
 122 assumption.
 123 apply False_ind.
 124 apply  (not_le_Sn_O ? H1).
 125 qed.
 126
 127 theorem le_n_Sm_elim : \forall n,m:nat.le n (S m) \to
 128 \forall P:Prop. (le (S n) (S m) \to P) \to (eq nat n (S m) \to P) \to P.
 129 intros 4.elim H.
 130 apply H2.reflexivity.
 131 apply H3. apply le_S_S. assumption.
 132 qed.
 133
 134 (* other abstract properties *)
 135 theorem antisymmetric_le : antisymmetric nat le.
 136 simplify.intros 2.
 137 apply nat_elim2 (\lambda n,m.((le n m) \to (le m n) \to eq nat n m)).
 138 intros.apply le_n_O_to_eq.assumption.
 139 intros.apply False_ind.apply not_le_Sn_O ? H.
 140 intros.apply eq_f.apply H.
 141 apply le_S_S_to_le.assumption.
 142 apply le_S_S_to_le.assumption.
 143 qed.
 144
 145 theorem antisym_le: \forall n,m:nat. le n m \to le m n \to eq nat n m
 146 \def antisymmetric_le.
 147
 148 theorem decidable_le: \forall n,m:nat. decidable (le n m).
 149 intros.
 150 apply nat_elim2 (\lambda n,m.decidable (le n m)).
 151 intros.simplify.left.apply le_O_n.
 152 intros.simplify.right.exact not_le_Sn_O n1.
 153 intros 2.simplify.intro.elim H.
 154 left.apply le_S_S.assumption.
 155 right.intro.apply H1.apply le_S_S_to_le.assumption.
 156 qed.
 157
 158