helm/matita/library/nat/plus.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/plus".
  16
  17 include "nat/nat.ma".
  18
  19 let rec plus n m \def
  20  match n with
  21  [ O \Rightarrow m
  22  | (S p) \Rightarrow S (plus p m) ].
  23
  24 theorem plus_n_O: \forall n:nat. eq nat n (plus n O).
  25 intros.elim n.
  26 simplify.reflexivity.
  27 simplify.apply eq_f.assumption.
  28 qed.
  29
  30 theorem plus_n_Sm : \forall n,m:nat. eq nat (S (plus n  m)) (plus n (S m)).
  31 intros.elim n.
  32 simplify.reflexivity.
  33 simplify.apply eq_f.assumption.
  34 qed.
  35
  36 (* some problem here: confusion between relations/symmetric
  37 and functions/symmetric; functions symmetric is not in
  38 functions.moo why?
  39 theorem symmetric_plus: symmetric nat plus. *)
  40
  41 theorem sym_plus: \forall n,m:nat. eq nat (plus n m) (plus m n).
  42 intros.elim n.
  43 simplify.apply plus_n_O.
  44 simplify.rewrite > H.apply plus_n_Sm.
  45 qed.
  46
  47 theorem associative_plus : associative nat plus.
  48 simplify.intros.elim x.
  49 simplify.reflexivity.
  50 simplify.apply eq_f.assumption.
  51 qed.
  52
  53 theorem assoc_plus : \forall n,m,p:nat. eq nat (plus (plus n m) p) (plus n (plus m p))
  54 \def associative_plus.
  55
  56 theorem injective_plus_r: \forall n:nat.injective nat nat (\lambda m.plus n m).
  57 intro.simplify.intros 2.elim n.
  58 exact H.
  59 apply H.apply inj_S.apply H1.
  60 qed.
  61
  62 theorem inj_plus_r: \forall p,n,m:nat.eq nat (plus p n) (plus p m) \to (eq nat n m)
  63 \def injective_plus_r.
  64
  65 theorem injective_plus_l: \forall m:nat.injective nat nat (\lambda n.plus n m).
  66 intro.simplify.intros.
  67 (* qui vorrei applicare injective_plus_r *)
  68 apply inj_plus_r m.
  69 rewrite < sym_plus.
  70 rewrite < sym_plus y.
  71 assumption.
  72 qed.
  73
  74 theorem inj_plus_l: \forall p,n,m:nat.eq nat (plus n p) (plus m p) \to (eq nat n m)
  75 \def injective_plus_l.