helm/matita/library/nat/primes.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/primes".
  16
  17 include "nat/div_and_mod.ma".
  18 include "nat/minimization.ma".
  19 include "nat/sigma_and_pi.ma".
  20 include "nat/factorial.ma".
  21
  22 inductive divides (n,m:nat) : Prop \def
  23 witness : \forall p:nat.m = times n p \to divides n m.
  24
  25 interpretation "divides" 'divides n m = (cic:/matita/nat/primes/divides.ind#xpointer(1/1) n m).
  26 interpretation "not divides" 'ndivides n m =
  27  (cic:/matita/logic/connectives/Not.con (cic:/matita/nat/primes/divides.ind#xpointer(1/1) n m)).
  28
  29 theorem reflexive_divides : reflexive nat divides.
  30 simplify.
  31 intros.
  32 exact witness x x (S O) (times_n_SO x).
  33 qed.
  34
  35 theorem divides_to_div_mod_spec :
  36 \forall n,m. O < n \to n \divides m \to div_mod_spec m n (m / n) O.
  37 intros.elim H1.rewrite > H2.
  38 constructor 1.assumption.
  39 apply lt_O_n_elim n H.intros.
  40 rewrite < plus_n_O.
  41 rewrite > div_times.apply sym_times.
  42 qed.
  43
  44 theorem div_mod_spec_to_divides :
  45 \forall n,m,p. div_mod_spec m n p O \to n \divides m.
  46 intros.elim H.
  47 apply witness n m p.
  48 rewrite < sym_times.
  49 rewrite > plus_n_O (p*n).assumption.
  50 qed.
  51
  52 theorem divides_to_mod_O:
  53 \forall n,m. O < n \to n \divides m \to (m \mod n) = O.
  54 intros.apply div_mod_spec_to_eq2 m n (m / n) (m \mod n) (m / n) O.
  55 apply div_mod_spec_div_mod.assumption.
  56 apply divides_to_div_mod_spec.assumption.assumption.
  57 qed.
  58
  59 theorem mod_O_to_divides:
  60 \forall n,m. O< n \to (m \mod n) = O \to  n \divides m.
  61 intros.
  62 apply witness n m (m / n).
  63 rewrite > plus_n_O (n * (m / n)).
  64 rewrite < H1.
  65 rewrite < sym_times.
  66 (* Andrea: perche' hint non lo trova ?*)
  67 apply div_mod.
  68 assumption.
  69 qed.
  70
  71 theorem divides_n_O: \forall n:nat. n \divides O.
  72 intro. apply witness n O O.apply times_n_O.
  73 qed.
  74
  75 theorem divides_SO_n: \forall n:nat. (S O) \divides n.
  76 intro. apply witness (S O) n n. simplify.apply plus_n_O.
  77 qed.
  78
  79 theorem divides_plus: \forall n,p,q:nat.
  80 n \divides p \to n \divides q \to n \divides p+q.
  81 intros.
  82 elim H.elim H1. apply witness n (p+q) (n2+n1).
  83 rewrite > H2.rewrite > H3.apply sym_eq.apply distr_times_plus.
  84 qed.
  85
  86 theorem divides_minus: \forall n,p,q:nat.
  87 divides n p \to divides n q \to divides n (p-q).
  88 intros.
  89 elim H.elim H1. apply witness n (p-q) (n2-n1).
  90 rewrite > H2.rewrite > H3.apply sym_eq.apply distr_times_minus.
  91 qed.
  92
  93 theorem divides_times: \forall n,m,p,q:nat.
  94 n \divides p \to m \divides q \to n*m \divides p*q.
  95 intros.
  96 elim H.elim H1. apply witness (n*m) (p*q) (n2*n1).
  97 rewrite > H2.rewrite > H3.
  98 apply trans_eq nat ? (n*(m*(n2*n1))).
  99 apply trans_eq nat ? (n*(n2*(m*n1))).
 100 apply assoc_times.
 101 apply eq_f.
 102 apply trans_eq nat ? ((n2*m)*n1).
 103 apply sym_eq. apply assoc_times.
 104 rewrite > sym_times n2 m.apply assoc_times.
 105 apply sym_eq. apply assoc_times.
 106 qed.
 107
 108 theorem transitive_divides: transitive ? divides.
 109 unfold.
 110 intros.
 111 elim H.elim H1. apply witness x z (n2*n).
 112 rewrite > H3.rewrite > H2.
 113 apply assoc_times.
 114 qed.
 115
 116 variant trans_divides: \forall n,m,p.
 117  n \divides m \to m \divides p \to n \divides p \def transitive_divides.
 118
 119 theorem eq_mod_to_divides:\forall n,m,p. O< p \to
 120 mod n p = mod m p \to divides p (n-m).
 121 intros.
 122 cut n \le m \or \not n \le m.
 123 elim Hcut.
 124 cut n-m=O.
 125 rewrite > Hcut1.
 126 apply witness p O O.
 127 apply times_n_O.
 128 apply eq_minus_n_m_O.
 129 assumption.
 130 apply witness p (n-m) ((div n p)-(div m p)).
 131 rewrite > distr_times_minus.
 132 rewrite > sym_times.
 133 rewrite > sym_times p.
 134 cut (div n p)*p = n - (mod n p).
 135 rewrite > Hcut1.
 136 rewrite > eq_minus_minus_minus_plus.
 137 rewrite > sym_plus.
 138 rewrite > H1.
 139 rewrite < div_mod.reflexivity.
 140 assumption.
 141 apply sym_eq.
 142 apply plus_to_minus.
 143 rewrite > sym_plus.
 144 apply div_mod.
 145 assumption.
 146 apply decidable_le n m.
 147 qed.
 148
 149 (* divides le *)
 150 theorem divides_to_le : \forall n,m. O < m \to n \divides m \to n \le m.
 151 intros. elim H1.rewrite > H2.cut O < n2.
 152 apply lt_O_n_elim n2 Hcut.intro.rewrite < sym_times.
 153 simplify.rewrite < sym_plus.
 154 apply le_plus_n.
 155 elim le_to_or_lt_eq O n2.
 156 assumption.
 157 absurd O<m.assumption.
 158 rewrite > H2.rewrite < H3.rewrite < times_n_O.
 159 apply not_le_Sn_n O.
 160 apply le_O_n.
 161 qed.
 162
 163 theorem divides_to_lt_O : \forall n,m. O < m \to n \divides m \to O < n.
 164 intros.elim H1.
 165 elim le_to_or_lt_eq O n (le_O_n n).
 166 assumption.
 167 rewrite < H3.absurd O < m.assumption.
 168 rewrite > H2.rewrite < H3.
 169 simplify.exact not_le_Sn_n O.
 170 qed.
 171
 172 (* boolean divides *)
 173 definition divides_b : nat \to nat \to bool \def
 174 \lambda n,m :nat. (eqb (m \mod n) O).
 175
 176 theorem divides_b_to_Prop :
 177 \forall n,m:nat. O < n \to
 178 match divides_b n m with
 179 [ true \Rightarrow n \divides m
 180 | false \Rightarrow n \ndivides m].
 181 intros.
 182 change with
 183 match eqb (m \mod n) O with
 184 [ true \Rightarrow n \divides m
 185 | false \Rightarrow n \ndivides m].
 186 apply eqb_elim.
 187 intro.simplify.apply mod_O_to_divides.assumption.assumption.
 188 intro.simplify.intro.apply H1.apply divides_to_mod_O.assumption.assumption.
 189 qed.
 190
 191 theorem divides_b_true_to_divides :
 192 \forall n,m:nat. O < n \to
 193 (divides_b n m = true ) \to n \divides m.
 194 intros.
 195 change with
 196 match true with
 197 [ true \Rightarrow n \divides m
 198 | false \Rightarrow n \ndivides m].
 199 rewrite < H1.apply divides_b_to_Prop.
 200 assumption.
 201 qed.
 202
 203 theorem divides_b_false_to_not_divides :
 204 \forall n,m:nat. O < n \to
 205 (divides_b n m = false ) \to n \ndivides m.
 206 intros.
 207 change with
 208 match false with
 209 [ true \Rightarrow n \divides m
 210 | false \Rightarrow n \ndivides m].
 211 rewrite < H1.apply divides_b_to_Prop.
 212 assumption.
 213 qed.
 214
 215 theorem decidable_divides: \forall n,m:nat.O < n \to
 216 decidable (n \divides m).
 217 intros.change with (n \divides m) \lor n \ndivides m.
 218 cut
 219 match divides_b n m with
 220 [ true \Rightarrow n \divides m
 221 | false \Rightarrow n \ndivides m] \to n \divides m \lor n \ndivides m.
 222 apply Hcut.apply divides_b_to_Prop.assumption.
 223 elim (divides_b n m).left.apply H1.right.apply H1.
 224 qed.
 225
 226 theorem divides_to_divides_b_true : \forall n,m:nat. O < n \to
 227 n \divides m \to divides_b n m = true.
 228 intros.
 229 cut match (divides_b n m) with
 230 [ true \Rightarrow n \divides m
 231 | false \Rightarrow n \ndivides m] \to ((divides_b n m) = true).
 232 apply Hcut.apply divides_b_to_Prop.assumption.
 233 elim divides_b n m.reflexivity.
 234 absurd (n \divides m).assumption.assumption.
 235 qed.
 236
 237 theorem not_divides_to_divides_b_false: \forall n,m:nat. O < n \to
 238 \lnot(n \divides m) \to (divides_b n m) = false.
 239 intros.
 240 cut match (divides_b n m) with
 241 [ true \Rightarrow n \divides m
 242 | false \Rightarrow n \ndivides m] \to ((divides_b n m) = false).
 243 apply Hcut.apply divides_b_to_Prop.assumption.
 244 elim divides_b n m.
 245 absurd (n \divides m).assumption.assumption.
 246 reflexivity.
 247 qed.
 248
 249 (* divides and pi *)
 250 theorem divides_f_pi_f : \forall f:nat \to nat.\forall n,i:nat.
 251 i < n \to f i \divides pi n f.
 252 intros 3.elim n.apply False_ind.apply not_le_Sn_O i H.
 253 simplify.
 254 apply le_n_Sm_elim (S i) n1 H1.
 255 intro.
 256 apply transitive_divides ? (pi n1 f).
 257 apply H.simplify.apply le_S_S_to_le. assumption.
 258 apply witness ? ? (f n1).apply sym_times.
 259 intro.cut i = n1.
 260 rewrite > Hcut.
 261 apply witness ? ? (pi n1 f).reflexivity.
 262 apply inj_S.assumption.
 263 qed.
 264
 265 theorem mod_S_pi: \forall f:nat \to nat.\forall n,i:nat.
 266 i < n \to (S O) < (f i) \to (S (pi n f)) \mod (f i) = (S O).
 267 intros.cut (pi n f) \mod (f i) = O.
 268 rewrite < Hcut.
 269 apply mod_S.apply trans_lt O (S O).apply le_n (S O).assumption.
 270 rewrite > Hcut.assumption.
 271 apply divides_to_mod_O.apply trans_lt O (S O).apply le_n (S O).assumption.
 272 apply divides_f_pi_f.assumption.
 273 qed.
 274
 275 (* divides and fact *)
 276 theorem divides_fact : \forall n,i:nat.
 277 O < i \to i \le n \to i \divides n!.
 278 intros 3.elim n.absurd O<i.assumption.apply le_n_O_elim i H1.
 279 apply not_le_Sn_O O.
 280 change with i \divides (S n1)*n1!.
 281 apply le_n_Sm_elim i n1 H2.
 282 intro.
 283 apply transitive_divides ? n1!.
 284 apply H1.apply le_S_S_to_le. assumption.
 285 apply witness ? ? (S n1).apply sym_times.
 286 intro.
 287 rewrite > H3.
 288 apply witness ? ? n1!.reflexivity.
 289 qed.
 290
 291 theorem mod_S_fact: \forall n,i:nat.
 292 (S O) < i \to i \le n \to (S n!) \mod i = (S O).
 293 intros.cut n! \mod i = O.
 294 rewrite < Hcut.
 295 apply mod_S.apply trans_lt O (S O).apply le_n (S O).assumption.
 296 rewrite > Hcut.assumption.
 297 apply divides_to_mod_O.apply trans_lt O (S O).apply le_n (S O).assumption.
 298 apply divides_fact.apply trans_lt O (S O).apply le_n (S O).assumption.
 299 assumption.
 300 qed.
 301
 302 theorem not_divides_S_fact: \forall n,i:nat.
 303 (S O) < i \to i \le n \to i \ndivides S n!.
 304 intros.
 305 apply divides_b_false_to_not_divides.
 306 apply trans_lt O (S O).apply le_n (S O).assumption.
 307 change with (eqb ((S n!) \mod i) O) = false.
 308 rewrite > mod_S_fact.simplify.reflexivity.
 309 assumption.assumption.
 310 qed.
 311
 312 (* prime *)
 313 definition prime : nat \to  Prop \def
 314 \lambda n:nat. (S O) < n \land
 315 (\forall m:nat. m \divides n \to (S O) < m \to  m = n).
 316
 317 theorem not_prime_O: \lnot (prime O).
 318 simplify.intro.elim H.apply not_le_Sn_O (S O) H1.
 319 qed.
 320
 321 theorem not_prime_SO: \lnot (prime (S O)).
 322 simplify.intro.elim H.apply not_le_Sn_n (S O) H1.
 323 qed.
 324
 325 (* smallest factor *)
 326 definition smallest_factor : nat \to nat \def
 327 \lambda n:nat.
 328 match n with
 329 [ O \Rightarrow O
 330 | (S p) \Rightarrow
 331   match p with
 332   [ O \Rightarrow (S O)
 333   | (S q) \Rightarrow min_aux q (S(S q)) (\lambda m.(eqb ((S(S q)) \mod m) O))]].
 334
 335 (* it works !
 336 theorem example1 : smallest_prime_factor (S(S(S O))) = (S(S(S O))).
 337 normalize.reflexivity.
 338 qed.
 339
 340 theorem example2: smallest_prime_factor (S(S(S(S O)))) = (S(S O)).
 341 normalize.reflexivity.
 342 qed.
 343
 344 theorem example3 : smallest_prime_factor (S(S(S(S(S(S(S O))))))) = (S(S(S(S(S(S(S O))))))).
 345 simplify.reflexivity.
 346 qed. *)
 347
 348 theorem lt_SO_smallest_factor:
 349 \forall n:nat. (S O) < n \to (S O) < (smallest_factor n).
 350 intro.
 351 apply nat_case n.intro.apply False_ind.apply not_le_Sn_O (S O) H.
 352 intro.apply nat_case m.intro. apply False_ind.apply not_le_Sn_n (S O) H.
 353 intros.
 354 change with
 355 S O < min_aux m1 (S(S m1)) (\lambda m.(eqb ((S(S m1)) \mod m) O)).
 356 apply lt_to_le_to_lt ? (S (S O)).
 357 apply le_n (S(S O)).
 358 cut (S(S O)) = (S(S m1)) - m1.
 359 rewrite > Hcut.
 360 apply le_min_aux.
 361 apply sym_eq.apply plus_to_minus.
 362 rewrite < sym_plus.simplify.reflexivity.
 363 qed.
 364
 365 theorem lt_O_smallest_factor: \forall n:nat. O < n \to O < (smallest_factor n).
 366 intro.
 367 apply nat_case n.intro.apply False_ind.apply not_le_Sn_n O H.
 368 intro.apply nat_case m.intro.
 369 simplify.apply le_n.
 370 intros.apply trans_lt ? (S O).
 371 simplify. apply le_n.
 372 apply lt_SO_smallest_factor.simplify. apply le_S_S.
 373 apply le_S_S.apply le_O_n.
 374 qed.
 375
 376 theorem divides_smallest_factor_n :
 377 \forall n:nat. O < n \to smallest_factor n \divides n.
 378 intro.
 379 apply nat_case n.intro.apply False_ind.apply not_le_Sn_O O H.
 380 intro.apply nat_case m.intro. simplify.
 381 apply witness ? ? (S O). simplify.reflexivity.
 382 intros.
 383 apply divides_b_true_to_divides.
 384 apply lt_O_smallest_factor ? H.
 385 change with
 386 eqb ((S(S m1)) \mod (min_aux m1 (S(S m1))
 387   (\lambda m.(eqb ((S(S m1)) \mod m) O)))) O = true.
 388 apply f_min_aux_true.
 389 apply ex_intro nat ? (S(S m1)).
 390 split.split.
 391 apply le_minus_m.apply le_n.
 392 rewrite > mod_n_n.reflexivity.
 393 apply trans_lt ? (S O).apply le_n (S O).simplify.
 394 apply le_S_S.apply le_S_S.apply le_O_n.
 395 qed.
 396
 397 theorem le_smallest_factor_n :
 398 \forall n:nat. smallest_factor n \le n.
 399 intro.apply nat_case n.simplify.reflexivity.
 400 intro.apply nat_case m.simplify.reflexivity.
 401 intro.apply divides_to_le.
 402 simplify.apply le_S_S.apply le_O_n.
 403 apply divides_smallest_factor_n.
 404 simplify.apply le_S_S.apply le_O_n.
 405 qed.
 406
 407 theorem lt_smallest_factor_to_not_divides: \forall n,i:nat.
 408 (S O) < n \to (S O) < i \to i < (smallest_factor n) \to i \ndivides n.
 409 intros 2.
 410 apply nat_case n.intro.apply False_ind.apply not_le_Sn_O (S O) H.
 411 intro.apply nat_case m.intro. apply False_ind.apply not_le_Sn_n (S O) H.
 412 intros.
 413 apply divides_b_false_to_not_divides.
 414 apply trans_lt O (S O).apply le_n (S O).assumption.
 415 change with (eqb ((S(S m1)) \mod i) O) = false.
 416 apply lt_min_aux_to_false
 417 (\lambda i:nat.eqb ((S(S m1)) \mod i) O) (S(S m1)) m1 i.
 418 cut (S(S O)) = (S(S m1)-m1).
 419 rewrite < Hcut.exact H1.
 420 apply sym_eq. apply plus_to_minus.
 421 rewrite < sym_plus.simplify.reflexivity.
 422 exact H2.
 423 qed.
 424
 425 theorem prime_smallest_factor_n :
 426 \forall n:nat. (S O) < n \to prime (smallest_factor n).
 427 intro. change with (S(S O)) \le n \to (S O) < (smallest_factor n) \land
 428 (\forall m:nat. m \divides smallest_factor n \to (S O) < m \to  m = (smallest_factor n)).
 429 intro.split.
 430 apply lt_SO_smallest_factor.assumption.
 431 intros.
 432 cut le m (smallest_factor n).
 433 elim le_to_or_lt_eq m (smallest_factor n) Hcut.
 434 absurd m \divides n.
 435 apply transitive_divides m (smallest_factor n).
 436 assumption.
 437 apply divides_smallest_factor_n.
 438 apply trans_lt ? (S O). simplify. apply le_n. exact H.
 439 apply lt_smallest_factor_to_not_divides.
 440 exact H.assumption.assumption.assumption.
 441 apply divides_to_le.
 442 apply trans_lt O (S O).
 443 apply le_n (S O).
 444 apply lt_SO_smallest_factor.
 445 exact H.
 446 assumption.
 447 qed.
 448
 449 theorem prime_to_smallest_factor: \forall n. prime n \to
 450 smallest_factor n = n.
 451 intro.apply nat_case n.intro.apply False_ind.apply not_prime_O H.
 452 intro.apply nat_case m.intro.apply False_ind.apply not_prime_SO H.
 453 intro.
 454 change with
 455 (S O) < (S(S m1)) \land
 456 (\forall m:nat. m \divides S(S m1) \to (S O) < m \to  m = (S(S m1))) \to
 457 smallest_factor (S(S m1)) = (S(S m1)).
 458 intro.elim H.apply H2.
 459 apply divides_smallest_factor_n.
 460 apply trans_lt ? (S O).simplify. apply le_n.assumption.
 461 apply lt_SO_smallest_factor.
 462 assumption.
 463 qed.
 464
 465 (* a number n > O is prime iff its smallest factor is n *)
 466 definition primeb \def \lambda n:nat.
 467 match n with
 468 [ O \Rightarrow false
 469 | (S p) \Rightarrow
 470   match p with
 471   [ O \Rightarrow false
 472   | (S q) \Rightarrow eqb (smallest_factor (S(S q))) (S(S q))]].
 473
 474 (* it works!
 475 theorem example4 : primeb (S(S(S O))) = true.
 476 normalize.reflexivity.
 477 qed.
 478
 479 theorem example5 : primeb (S(S(S(S(S(S O)))))) = false.
 480 normalize.reflexivity.
 481 qed.
 482
 483 theorem example6 : primeb (S(S(S(S((S(S(S(S(S(S(S O)))))))))))) = true.
 484 normalize.reflexivity.
 485 qed.
 486
 487 theorem example7 : primeb (S(S(S(S(S(S((S(S(S(S((S(S(S(S(S(S(S O))))))))))))))))))) = true.
 488 normalize.reflexivity.
 489 qed. *)
 490
 491 theorem primeb_to_Prop: \forall n.
 492 match primeb n with
 493 [ true \Rightarrow prime n
 494 | false \Rightarrow \lnot (prime n)].
 495 intro.
 496 apply nat_case n.simplify.intro.elim H.apply not_le_Sn_O (S O) H1.
 497 intro.apply nat_case m.simplify.intro.elim H.apply not_le_Sn_n (S O) H1.
 498 intro.
 499 change with
 500 match eqb (smallest_factor (S(S m1))) (S(S m1)) with
 501 [ true \Rightarrow prime (S(S m1))
 502 | false \Rightarrow \lnot (prime (S(S m1)))].
 503 apply eqb_elim (smallest_factor (S(S m1))) (S(S m1)).
 504 intro.change with prime (S(S m1)).
 505 rewrite < H.
 506 apply prime_smallest_factor_n.
 507 simplify.apply le_S_S.apply le_S_S.apply le_O_n.
 508 intro.change with \lnot (prime (S(S m1))).
 509 change with prime (S(S m1)) \to False.
 510 intro.apply H.
 511 apply prime_to_smallest_factor.
 512 assumption.
 513 qed.
 514
 515 theorem primeb_true_to_prime : \forall n:nat.
 516 primeb n = true \to prime n.
 517 intros.change with
 518 match true with
 519 [ true \Rightarrow prime n
 520 | false \Rightarrow \lnot (prime n)].
 521 rewrite < H.
 522 apply primeb_to_Prop.
 523 qed.
 524
 525 theorem primeb_false_to_not_prime : \forall n:nat.
 526 primeb n = false \to \lnot (prime n).
 527 intros.change with
 528 match false with
 529 [ true \Rightarrow prime n
 530 | false \Rightarrow \lnot (prime n)].
 531 rewrite < H.
 532 apply primeb_to_Prop.
 533 qed.
 534
 535 theorem decidable_prime : \forall n:nat.decidable (prime n).
 536 intro.change with (prime n) \lor \lnot (prime n).
 537 cut
 538 match primeb n with
 539 [ true \Rightarrow prime n
 540 | false \Rightarrow \lnot (prime n)] \to (prime n) \lor \lnot (prime n).
 541 apply Hcut.apply primeb_to_Prop.
 542 elim (primeb n).left.apply H.right.apply H.
 543 qed.
 544
 545 theorem prime_to_primeb_true: \forall n:nat.
 546 prime n \to primeb n = true.
 547 intros.
 548 cut match (primeb n) with
 549 [ true \Rightarrow prime n
 550 | false \Rightarrow \lnot (prime n)] \to ((primeb n) = true).
 551 apply Hcut.apply primeb_to_Prop.
 552 elim primeb n.reflexivity.
 553 absurd (prime n).assumption.assumption.
 554 qed.
 555
 556 theorem not_prime_to_primeb_false: \forall n:nat.
 557 \lnot(prime n) \to primeb n = false.
 558 intros.
 559 cut match (primeb n) with
 560 [ true \Rightarrow prime n
 561 | false \Rightarrow \lnot (prime n)] \to ((primeb n) = false).
 562 apply Hcut.apply primeb_to_Prop.
 563 elim primeb n.
 564 absurd (prime n).assumption.assumption.
 565 reflexivity.
 566 qed.
 567