helm/matita/library/nat/primes.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/primes".
  16
  17 include "nat/div_and_mod.ma".
  18 include "nat/minimization.ma".
  19 include "nat/sigma_and_pi.ma".
  20 include "nat/factorial.ma".
  21
  22 inductive divides (n,m:nat) : Prop \def
  23 witness : \forall p:nat.m = times n p \to divides n m.
  24
  25 theorem reflexive_divides : reflexive nat divides.
  26 simplify.
  27 intros.
  28 exact witness x x (S O) (times_n_SO x).
  29 qed.
  30
  31 theorem divides_to_div_mod_spec :
  32 \forall n,m. O < n \to divides n m \to div_mod_spec m n (div m n) O.
  33 intros.elim H1.rewrite > H2.
  34 constructor 1.assumption.
  35 apply lt_O_n_elim n H.intros.
  36 rewrite < plus_n_O.
  37 rewrite > div_times.apply sym_times.
  38 qed.
  39
  40 theorem div_mod_spec_to_div :
  41 \forall n,m,p. div_mod_spec m n p O \to divides n m.
  42 intros.elim H.
  43 apply witness n m p.
  44 rewrite < sym_times.
  45 rewrite > plus_n_O (p*n).assumption.
  46 qed.
  47
  48 theorem divides_to_mod_O:
  49 \forall n,m. O < n \to divides n m \to (mod m n) = O.
  50 intros.apply div_mod_spec_to_eq2 m n (div m n) (mod m n) (div m n) O.
  51 apply div_mod_spec_div_mod.assumption.
  52 apply divides_to_div_mod_spec.assumption.assumption.
  53 qed.
  54
  55 theorem mod_O_to_divides:
  56 \forall n,m. O< n \to (mod m n) = O \to  divides n m.
  57 intros.
  58 apply witness n m (div m n).
  59 rewrite > plus_n_O (n*div m n).
  60 rewrite < H1.
  61 rewrite < sym_times.
  62 (* perche' hint non lo trova ?*)
  63 apply div_mod.
  64 assumption.
  65 qed.
  66
  67 theorem divides_n_O: \forall n:nat. divides n O.
  68 intro. apply witness n O O.apply times_n_O.
  69 qed.
  70
  71 theorem divides_SO_n: \forall n:nat. divides (S O) n.
  72 intro. apply witness (S O) n n. simplify.apply plus_n_O.
  73 qed.
  74
  75 theorem divides_plus: \forall n,p,q:nat.
  76 divides n p \to divides n q \to divides n (p+q).
  77 intros.
  78 elim H.elim H1. apply witness n (p+q) (n2+n1).
  79 rewrite > H2.rewrite > H3.apply sym_eq.apply distr_times_plus.
  80 qed.
  81
  82 theorem divides_minus: \forall n,p,q:nat.
  83 divides n p \to divides n q \to divides n (p-q).
  84 intros.
  85 elim H.elim H1. apply witness n (p-q) (n2-n1).
  86 rewrite > H2.rewrite > H3.apply sym_eq.apply distr_times_minus.
  87 qed.
  88
  89 theorem divides_times: \forall n,m,p,q:nat.
  90 divides n p \to divides m q \to divides (n*m) (p*q).
  91 intros.
  92 elim H.elim H1. apply witness (n*m) (p*q) (n2*n1).
  93 rewrite > H2.rewrite > H3.
  94 apply trans_eq nat ? (n*(m*(n2*n1))).
  95 apply trans_eq nat ? (n*(n2*(m*n1))).
  96 apply assoc_times.
  97 apply eq_f.
  98 apply trans_eq nat ? ((n2*m)*n1).
  99 apply sym_eq. apply assoc_times.
 100 rewrite > sym_times n2 m.apply assoc_times.
 101 apply sym_eq. apply assoc_times.
 102 qed.
 103
 104 theorem transitive_divides: \forall n,m,p.
 105 divides n m \to divides m p \to divides n p.
 106 intros.
 107 elim H.elim H1. apply witness n p (n2*n1).
 108 rewrite > H3.rewrite > H2.
 109 apply assoc_times.
 110 qed.
 111
 112 (* divides le *)
 113 theorem divides_to_le : \forall n,m. O < m \to divides n m \to n \le m.
 114 intros. elim H1.rewrite > H2.cut O < n2.
 115 apply lt_O_n_elim n2 Hcut.intro.rewrite < sym_times.
 116 simplify.rewrite < sym_plus.
 117 apply le_plus_n.
 118 elim le_to_or_lt_eq O n2.
 119 assumption.apply le_O_n.
 120 absurd O<m.assumption.
 121 rewrite > H2.rewrite < H3.rewrite < times_n_O.
 122 apply not_le_Sn_n O.
 123 qed.
 124
 125 theorem divides_to_lt_O : \forall n,m. O < m \to divides n m \to O < n.
 126 intros.elim H1.
 127 elim le_to_or_lt_eq O n (le_O_n n).
 128 assumption.
 129 rewrite < H3.absurd O < m.assumption.
 130 rewrite > H2.rewrite < H3.
 131 simplify.exact not_le_Sn_n O.
 132 qed.
 133
 134 (* boolean divides *)
 135 definition divides_b : nat \to nat \to bool \def
 136 \lambda n,m :nat. (eqb (mod m n) O).
 137
 138 theorem divides_b_to_Prop :
 139 \forall n,m:nat. O < n \to
 140 match divides_b n m with
 141 [ true \Rightarrow divides n m
 142 | false \Rightarrow \lnot (divides n m)].
 143 intros.
 144 change with
 145 match eqb (mod m n) O with
 146 [ true \Rightarrow divides n m
 147 | false \Rightarrow \lnot (divides n m)].
 148 apply eqb_elim.
 149 intro.simplify.apply mod_O_to_divides.assumption.assumption.
 150 intro.simplify.intro.apply H1.apply divides_to_mod_O.assumption.assumption.
 151 qed.
 152
 153 theorem divides_b_true_to_divides :
 154 \forall n,m:nat. O < n \to
 155 (divides_b n m = true ) \to divides n m.
 156 intros.
 157 change with
 158 match true with
 159 [ true \Rightarrow divides n m
 160 | false \Rightarrow \lnot (divides n m)].
 161 rewrite < H1.apply divides_b_to_Prop.
 162 assumption.
 163 qed.
 164
 165 theorem divides_b_false_to_not_divides :
 166 \forall n,m:nat. O < n \to
 167 (divides_b n m = false ) \to \lnot (divides n m).
 168 intros.
 169 change with
 170 match false with
 171 [ true \Rightarrow divides n m
 172 | false \Rightarrow \lnot (divides n m)].
 173 rewrite < H1.apply divides_b_to_Prop.
 174 assumption.
 175 qed.
 176
 177 theorem decidable_divides: \forall n,m:nat.O < n \to
 178 decidable (divides n m).
 179 intros.change with (divides n m) \lor \not (divides n m).
 180 cut
 181 match divides_b n m with
 182 [ true \Rightarrow divides n m
 183 | false \Rightarrow \not (divides n m)] \to (divides n m) \lor \not (divides n m).
 184 apply Hcut.apply divides_b_to_Prop.assumption.
 185 elim (divides_b n m).left.apply H1.right.apply H1.
 186 qed.
 187
 188 theorem divides_to_divides_b_true : \forall n,m:nat. O < n \to
 189 divides n m \to divides_b n m = true.
 190 intros.
 191 cut match (divides_b n m) with
 192 [ true \Rightarrow (divides n m)
 193 | false \Rightarrow \not (divides n m)] \to ((divides_b n m) = true).
 194 apply Hcut.apply divides_b_to_Prop.assumption.
 195 elim divides_b n m.reflexivity.
 196 absurd (divides n m).assumption.assumption.
 197 qed.
 198
 199 theorem not_divides_to_divides_b_false: \forall n,m:nat. O < n \to
 200 \not(divides n m) \to (divides_b n m) = false.
 201 intros.
 202 cut match (divides_b n m) with
 203 [ true \Rightarrow (divides n m)
 204 | false \Rightarrow \not (divides n m)] \to ((divides_b n m) = false).
 205 apply Hcut.apply divides_b_to_Prop.assumption.
 206 elim divides_b n m.
 207 absurd (divides n m).assumption.assumption.
 208 reflexivity.
 209 qed.
 210
 211 (* divides and pi *)
 212 theorem divides_f_pi_f : \forall f:nat \to nat.\forall n,i:nat.
 213 i < n \to divides (f i) (pi n f).
 214 intros 3.elim n.apply False_ind.apply not_le_Sn_O i H.
 215 simplify.
 216 apply le_n_Sm_elim (S i) n1 H1.
 217 intro.
 218 apply transitive_divides ? (pi n1 f).
 219 apply H.simplify.apply le_S_S_to_le. assumption.
 220 apply witness ? ? (f n1).apply sym_times.
 221 intro.cut i = n1.
 222 rewrite > Hcut.
 223 apply witness ? ? (pi n1 f).reflexivity.
 224 apply inj_S.assumption.
 225 qed.
 226
 227 theorem mod_S_pi: \forall f:nat \to nat.\forall n,i:nat.
 228 i < n \to (S O) < (f i) \to mod (S (pi n f)) (f i) = (S O).
 229 intros.cut mod (pi n f) (f i) = O.
 230 rewrite < Hcut.
 231 apply mod_S.apply trans_lt O (S O).apply le_n (S O).assumption.
 232 rewrite > Hcut.assumption.
 233 apply divides_to_mod_O.apply trans_lt O (S O).apply le_n (S O).assumption.
 234 apply divides_f_pi_f.assumption.
 235 qed.
 236
 237 (* divides and fact *)
 238 theorem divides_fact : \forall n,i:nat.
 239 O < i \to i \le n \to divides i (fact n).
 240 intros 3.elim n.absurd O<i.assumption.apply le_n_O_elim i H1.
 241 apply not_le_Sn_O O.
 242 change with divides i ((S n1)*(fact n1)).
 243 apply le_n_Sm_elim i n1 H2.
 244 intro.
 245 apply transitive_divides ? (fact n1).
 246 apply H1.apply le_S_S_to_le. assumption.
 247 apply witness ? ? (S n1).apply sym_times.
 248 intro.
 249 rewrite > H3.
 250 apply witness ? ? (fact n1).reflexivity.
 251 qed.
 252
 253 theorem mod_S_fact: \forall n,i:nat.
 254 (S O) < i \to i \le n \to mod (S (fact n)) i = (S O).
 255 intros.cut mod (fact n) i = O.
 256 rewrite < Hcut.
 257 apply mod_S.apply trans_lt O (S O).apply le_n (S O).assumption.
 258 rewrite > Hcut.assumption.
 259 apply divides_to_mod_O.apply trans_lt O (S O).apply le_n (S O).assumption.
 260 apply divides_fact.apply trans_lt O (S O).apply le_n (S O).assumption.
 261 assumption.
 262 qed.
 263
 264 theorem not_divides_S_fact: \forall n,i:nat.
 265 (S O) < i \to i \le n \to \not (divides i (S (fact n))).
 266 intros.
 267 apply divides_b_false_to_not_divides.
 268 apply trans_lt O (S O).apply le_n (S O).assumption.
 269 change with (eqb (mod (S (fact n)) i) O) = false.
 270 rewrite > mod_S_fact.simplify.reflexivity.
 271 assumption.assumption.
 272 qed.
 273
 274 (* prime *)
 275 definition prime : nat \to  Prop \def
 276 \lambda n:nat. (S O) < n \land
 277 (\forall m:nat. divides m n \to (S O) < m \to  m = n).
 278
 279 theorem not_prime_O: \lnot (prime O).
 280 simplify.intro.elim H.apply not_le_Sn_O (S O) H1.
 281 qed.
 282
 283 theorem not_prime_SO: \lnot (prime (S O)).
 284 simplify.intro.elim H.apply not_le_Sn_n (S O) H1.
 285 qed.
 286
 287 (* smallest factor *)
 288 definition smallest_factor : nat \to nat \def
 289 \lambda n:nat.
 290 match n with
 291 [ O \Rightarrow O
 292 | (S p) \Rightarrow
 293   match p with
 294   [ O \Rightarrow (S O)
 295   | (S q) \Rightarrow min_aux q (S(S q)) (\lambda m.(eqb (mod (S(S q)) m) O))]].
 296
 297 (* it works !
 298 theorem example1 : smallest_prime_factor (S(S(S O))) = (S(S(S O))).
 299 normalize.reflexivity.
 300 qed.
 301
 302 theorem example2: smallest_prime_factor (S(S(S(S O)))) = (S(S O)).
 303 normalize.reflexivity.
 304 qed.
 305
 306 theorem example3 : smallest_prime_factor (S(S(S(S(S(S(S O))))))) = (S(S(S(S(S(S(S O))))))).
 307 simplify.reflexivity.
 308 qed. *)
 309
 310 theorem lt_SO_smallest_factor:
 311 \forall n:nat. (S O) < n \to (S O) < (smallest_factor n).
 312 intro.
 313 apply nat_case n.intro.apply False_ind.apply not_le_Sn_O (S O) H.
 314 intro.apply nat_case m.intro. apply False_ind.apply not_le_Sn_n (S O) H.
 315 intros.
 316 change with
 317 S O < min_aux m1 (S(S m1)) (\lambda m.(eqb (mod (S(S m1)) m) O)).
 318 apply lt_to_le_to_lt ? (S (S O)).
 319 apply le_n (S(S O)).
 320 cut (S(S O)) = (S(S m1)) - m1.
 321 rewrite > Hcut.
 322 apply le_min_aux.
 323 apply sym_eq.apply plus_to_minus.apply le_S.apply le_n_Sn.
 324 rewrite < sym_plus.simplify.reflexivity.
 325 qed.
 326
 327 theorem lt_O_smallest_factor: \forall n:nat. O < n \to O < (smallest_factor n).
 328 intro.
 329 apply nat_case n.intro.apply False_ind.apply not_le_Sn_n O H.
 330 intro.apply nat_case m.intro.
 331 simplify.apply le_n.
 332 intros.apply trans_lt ? (S O).
 333 simplify. apply le_n.
 334 apply lt_SO_smallest_factor.simplify. apply le_S_S.
 335 apply le_S_S.apply le_O_n.
 336 qed.
 337
 338 theorem divides_smallest_factor_n :
 339 \forall n:nat. O < n \to divides (smallest_factor n) n.
 340 intro.
 341 apply nat_case n.intro.apply False_ind.apply not_le_Sn_O O H.
 342 intro.apply nat_case m.intro. simplify.
 343 apply witness ? ? (S O). simplify.reflexivity.
 344 intros.
 345 apply divides_b_true_to_divides.
 346 apply lt_O_smallest_factor ? H.
 347 change with
 348 eqb (mod (S(S m1)) (min_aux m1 (S(S m1))
 349   (\lambda m.(eqb (mod (S(S m1)) m) O)))) O = true.
 350 apply f_min_aux_true.
 351 apply ex_intro nat ? (S(S m1)).
 352 split.split.
 353 apply le_minus_m.apply le_n.
 354 rewrite > mod_n_n.reflexivity.
 355 apply trans_lt ? (S O).apply le_n (S O).simplify.
 356 apply le_S_S.apply le_S_S.apply le_O_n.
 357 qed.
 358
 359 theorem le_smallest_factor_n :
 360 \forall n:nat. smallest_factor n \le n.
 361 intro.apply nat_case n.simplify.reflexivity.
 362 intro.apply nat_case m.simplify.reflexivity.
 363 intro.apply divides_to_le.
 364 simplify.apply le_S_S.apply le_O_n.
 365 apply divides_smallest_factor_n.
 366 simplify.apply le_S_S.apply le_O_n.
 367 qed.
 368
 369 theorem lt_smallest_factor_to_not_divides: \forall n,i:nat.
 370 (S O) < n \to (S O) < i \to i < (smallest_factor n) \to \lnot (divides i n).
 371 intros 2.
 372 apply nat_case n.intro.apply False_ind.apply not_le_Sn_O (S O) H.
 373 intro.apply nat_case m.intro. apply False_ind.apply not_le_Sn_n (S O) H.
 374 intros.
 375 apply divides_b_false_to_not_divides.
 376 apply trans_lt O (S O).apply le_n (S O).assumption.
 377 change with (eqb (mod (S(S m1)) i) O) = false.
 378 apply lt_min_aux_to_false
 379 (\lambda i:nat.eqb (mod (S(S m1)) i) O) (S(S m1)) m1 i.
 380 cut (S(S O)) = (S(S m1)-m1).
 381 rewrite < Hcut.exact H1.
 382 apply sym_eq. apply plus_to_minus.
 383 apply le_S.apply le_n_Sn.
 384 rewrite < sym_plus.simplify.reflexivity.
 385 exact H2.
 386 qed.
 387
 388 theorem prime_smallest_factor_n :
 389 \forall n:nat. (S O) < n \to prime (smallest_factor n).
 390 intro. change with (S(S O)) \le n \to (S O) < (smallest_factor n) \land
 391 (\forall m:nat. divides m (smallest_factor n) \to (S O) < m \to  m = (smallest_factor n)).
 392 intro.split.
 393 apply lt_SO_smallest_factor.assumption.
 394 intros.
 395 cut le m (smallest_factor n).
 396 elim le_to_or_lt_eq m (smallest_factor n) Hcut.
 397 absurd divides m n.
 398 apply transitive_divides m (smallest_factor n).
 399 assumption.
 400 apply divides_smallest_factor_n.
 401 apply trans_lt ? (S O). simplify. apply le_n. exact H.
 402 apply lt_smallest_factor_to_not_divides.
 403 exact H.assumption.assumption.assumption.
 404 apply divides_to_le.
 405 apply trans_lt O (S O).
 406 apply le_n (S O).
 407 apply lt_SO_smallest_factor.
 408 exact H.
 409 assumption.
 410 qed.
 411
 412 theorem prime_to_smallest_factor: \forall n. prime n \to
 413 smallest_factor n = n.
 414 intro.apply nat_case n.intro.apply False_ind.apply not_prime_O H.
 415 intro.apply nat_case m.intro.apply False_ind.apply not_prime_SO H.
 416 intro.
 417 change with
 418 (S O) < (S(S m1)) \land
 419 (\forall m:nat. divides m (S(S m1)) \to (S O) < m \to  m = (S(S m1))) \to
 420 smallest_factor (S(S m1)) = (S(S m1)).
 421 intro.elim H.apply H2.
 422 apply divides_smallest_factor_n.
 423 apply trans_lt ? (S O).simplify. apply le_n.assumption.
 424 apply lt_SO_smallest_factor.
 425 assumption.
 426 qed.
 427
 428 (* a number n > O is prime iff its smallest factor is n *)
 429 definition primeb \def \lambda n:nat.
 430 match n with
 431 [ O \Rightarrow false
 432 | (S p) \Rightarrow
 433   match p with
 434   [ O \Rightarrow false
 435   | (S q) \Rightarrow eqb (smallest_factor (S(S q))) (S(S q))]].
 436
 437 (* it works!
 438 theorem example4 : primeb (S(S(S O))) = true.
 439 normalize.reflexivity.
 440 qed.
 441
 442 theorem example5 : primeb (S(S(S(S(S(S O)))))) = false.
 443 normalize.reflexivity.
 444 qed.
 445
 446 theorem example6 : primeb (S(S(S(S((S(S(S(S(S(S(S O)))))))))))) = true.
 447 normalize.reflexivity.
 448 qed.
 449
 450 theorem example7 : primeb (S(S(S(S(S(S((S(S(S(S((S(S(S(S(S(S(S O))))))))))))))))))) = true.
 451 normalize.reflexivity.
 452 qed. *)
 453
 454 theorem primeb_to_Prop: \forall n.
 455 match primeb n with
 456 [ true \Rightarrow prime n
 457 | false \Rightarrow \not (prime n)].
 458 intro.
 459 apply nat_case n.simplify.intro.elim H.apply not_le_Sn_O (S O) H1.
 460 intro.apply nat_case m.simplify.intro.elim H.apply not_le_Sn_n (S O) H1.
 461 intro.
 462 change with
 463 match eqb (smallest_factor (S(S m1))) (S(S m1)) with
 464 [ true \Rightarrow prime (S(S m1))
 465 | false \Rightarrow \not (prime (S(S m1)))].
 466 apply eqb_elim (smallest_factor (S(S m1))) (S(S m1)).
 467 intro.change with prime (S(S m1)).
 468 rewrite < H.
 469 apply prime_smallest_factor_n.
 470 simplify.apply le_S_S.apply le_S_S.apply le_O_n.
 471 intro.change with \not (prime (S(S m1))).
 472 change with prime (S(S m1)) \to False.
 473 intro.apply H.
 474 apply prime_to_smallest_factor.
 475 assumption.
 476 qed.
 477
 478 theorem primeb_true_to_prime : \forall n:nat.
 479 primeb n = true \to prime n.
 480 intros.change with
 481 match true with
 482 [ true \Rightarrow prime n
 483 | false \Rightarrow \not (prime n)].
 484 rewrite < H.
 485 apply primeb_to_Prop.
 486 qed.
 487
 488 theorem primeb_false_to_not_prime : \forall n:nat.
 489 primeb n = false \to \not (prime n).
 490 intros.change with
 491 match false with
 492 [ true \Rightarrow prime n
 493 | false \Rightarrow \not (prime n)].
 494 rewrite < H.
 495 apply primeb_to_Prop.
 496 qed.
 497
 498 theorem decidable_prime : \forall n:nat.decidable (prime n).
 499 intro.change with (prime n) \lor \not (prime n).
 500 cut
 501 match primeb n with
 502 [ true \Rightarrow prime n
 503 | false \Rightarrow \not (prime n)] \to (prime n) \lor \not (prime n).
 504 apply Hcut.apply primeb_to_Prop.
 505 elim (primeb n).left.apply H.right.apply H.
 506 qed.
 507
 508 theorem prime_to_primeb_true: \forall n:nat.
 509 prime n \to primeb n = true.
 510 intros.
 511 cut match (primeb n) with
 512 [ true \Rightarrow prime n
 513 | false \Rightarrow \not (prime n)] \to ((primeb n) = true).
 514 apply Hcut.apply primeb_to_Prop.
 515 elim primeb n.reflexivity.
 516 absurd (prime n).assumption.assumption.
 517 qed.
 518
 519 theorem not_prime_to_primeb_false: \forall n:nat.
 520 \not(prime n) \to primeb n = false.
 521 intros.
 522 cut match (primeb n) with
 523 [ true \Rightarrow prime n
 524 | false \Rightarrow \not (prime n)] \to ((primeb n) = false).
 525 apply Hcut.apply primeb_to_Prop.
 526 elim primeb n.
 527 absurd (prime n).assumption.assumption.
 528 reflexivity.
 529 qed.
 530