helm/matita/library/nat/times.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/times.ma".
  16
  17 include "logic/equality.ma".
  18 include "nat/nat.ma".
  19 include "nat/plus.ma".
  20
  21 let rec times n m \def
  22  match n with
  23  [ O \Rightarrow O
  24  | (S p) \Rightarrow (plus m (times p m)) ].
  25
  26 theorem times_n_O: \forall n:nat. eq nat O (times n O).
  27 intros.elim n.
  28 simplify.reflexivity.
  29 simplify.assumption.
  30 qed.
  31
  32 theorem times_n_Sm :
  33 \forall n,m:nat. eq nat (plus n (times n  m)) (times n (S m)).
  34 intros.elim n.
  35 simplify.reflexivity.
  36 simplify.apply eq_f.rewrite < H.
  37 transitivity (plus (plus e1 m) (times e1 m)).symmetry.apply assoc_plus.
  38 transitivity (plus (plus m e1) (times e1 m)).
  39 apply eq_f2.
  40 apply sym_plus.
  41 reflexivity.
  42 apply assoc_plus.
  43 qed.
  44
  45 (* same problem with symmetric: see plus
  46 theorem symmetric_times : symmetric nat times. *)
  47
  48 theorem sym_times :
  49 \forall n,m:nat. eq nat (times n m) (times m n).
  50 intros.elim n.
  51 simplify.apply times_n_O.
  52 simplify.rewrite > H.apply times_n_Sm.
  53 qed.
  54
  55 theorem times_plus_distr: \forall n,m,p:nat.
  56 eq nat (times n (plus m p)) (plus (times n m) (times n p)).
  57 intros.elim n.
  58 simplify.reflexivity.
  59 simplify.rewrite > H. rewrite > assoc_plus.rewrite > assoc_plus.
  60 apply eq_f.rewrite < assoc_plus. rewrite < sym_plus ? p.
  61 rewrite > assoc_plus.reflexivity.
  62 qed.