helm/matita/tests/fguidi.ma

   1 alias id "O" = "cic:/Coq/Init/Datatypes/nat.ind#xpointer(1/1/1)".
   2 alias id "nat" = "cic:/Coq/Init/Datatypes/nat.ind#xpointer(1/1)".
   3 alias id "S" = "cic:/Coq/Init/Datatypes/nat.ind#xpointer(1/1/2)".
   4 alias id "le" = "cic:/matita/fguidi/le.ind#xpointer(1/1)".
   5 alias id "False_ind" = "cic:/Coq/Init/Logic/False_ind.con".
   6 alias id "I" = "cic:/Coq/Init/Logic/True.ind#xpointer(1/1/1)".
   7 alias id "ex_intro" = "cic:/Coq/Init/Logic/ex.ind#xpointer(1/1/1)".
   8
   9 alias symbol "and" (instance 0) = "logical and".
  10 alias symbol "eq" (instance 0) = "leibnitz's equality".
  11 alias symbol "exists" (instance 0) = "exists".
  12 alias id "False" = "cic:/Coq/Init/Logic/False.ind#xpointer(1/1)".
  13 alias id "True" = "cic:/Coq/Init/Logic/True.ind#xpointer(1/1)".
  14
  15 definition is_S: nat \to Prop \def
  16    \lambda n. match n with
  17       [ O     \Rightarrow False
  18       | (S n) \Rightarrow True
  19       ].
  20
  21 definition pred: nat \to nat \def
  22    \lambda n. match n with
  23       [ O     \Rightarrow O
  24       | (S n) \Rightarrow n
  25       ].
  26
  27 theorem eq_gen_S_O: \forall x. (S x = O) \to \forall P:Prop. P.
  28 intros. apply False_ind. cut (is_S O). auto. elim H. exact I.
  29 qed.
  30
  31 theorem eq_gen_S_O_cc: (\forall P:Prop. P) \to \forall x. (S x = O).
  32 intros. auto.
  33 qed.
  34
  35 theorem eq_gen_S_S: \forall m,n. (S m) = (S n) \to m = n.
  36 intros. cut (pred (S m)) = (pred (S n)).
  37 assumption. elim H. auto.
  38 qed.
  39
  40 theorem eq_gen_S_S_cc: \forall m,n. m = n \to (S m) = (S n).
  41 intros. elim H. auto.
  42 qed.
  43
  44 inductive le: nat \to nat \to Prop \def
  45      le_zero: \forall n. (le O n)
  46    | le_succ: \forall m, n. (le m n) \to (le (S m) (S n)).
  47
  48 theorem le_refl: \forall x. (le x x).
  49 intros. elim x. auto. auto.
  50 qed.
  51
  52 theorem le_gen_x_O_aux: \forall x, y. (le x y) \to (y =O) \to
  53                         (x = O).
  54 intros 3. elim H. auto. apply eq_gen_S_O. exact x2. auto.
  55 qed.
  56
  57 theorem le_gen_x_O: \forall x. (le x O) \to (x = O).
  58 intros. apply le_gen_x_O_aux. exact O. auto. auto.
  59 qed.
  60
  61 theorem le_gen_x_O_cc: \forall x. (x = O) \to (le x O).
  62 intros. elim H. auto.
  63 qed.
  64
  65 theorem le_gen_S_x_aux: \forall m,x,y. (le y x) \to (y = S m) \to
  66                         (\exists n. x = (S n) \land (le m n)).
  67 intros 4. elim H.
  68 apply eq_gen_S_O. exact m. elim H1. auto.
  69 cut x1 = m. elim Hcut. apply ex_intro. exact x2. auto. auto.
  70 qed.
  71
  72 theorem le_gen_S_x: \forall m,x. (le (S m) x) \to
  73                     (\exists n. x = (S n) \land (le m n)).
  74 intros. apply le_gen_S_x_aux. exact (S m). auto. auto.
  75 qed.
  76
  77 theorem le_gen_S_x_cc: \forall m,x. (\exists n. x = (S n) \land (le m n)) \to
  78                        (le (S m) x).
  79 intros. elim H. elim H1. cut (S x1) = x. elim Hcut. auto. elim H2. auto.
  80 qed.
  81
  82 theorem le_gen_S_S: \forall m,n. (le (S m) (S n)) \to (le m n).
  83 intros. cut (\exists p. (S n) = (S p) \land (le m p)).
  84 elim Hcut. elim H1. cut x = n.
  85 elim Hcut1. auto. symmetry. auto. auto.
  86 qed.
  87
  88 theorem le_gen_S_S_cc: \forall m,n. (le m n) \to (le (S m) (S n)).
  89 intros. auto.
  90 qed.
  91
  92 (* teorema di prova che non compila per via del let *)
  93 theorem le_gen_S_x_2: \forall m,x. (le (S m) x) \to let k \def (S O) in
  94                       (\exists n. x = (S n) \land (le m n) \land k = k).
  95 intros.
  96 lapply le_gen_S_x to H using H0. elim H0. elim H1.
  97 exists. exact x1. auto.
  98 qed.
  99
 100 (* proof of le_gen_S_S with lapply *)
 101 theorem le_gen_S_S_2: \forall m,n. (le (S m) (S n)) \to (le m n).
 102 intros.
 103 lapply le_gen_S_x_2 to H using H0. elim H0. elim H1.
 104 lapply eq_gen_S_S to H2 using H4. rewrite left H4. assumption.
 105 qed.