helm/matita/tests/fguidi.ma

   1 set "baseuri" "cic:/matita/tests/fguidi/".
   2
   3 alias id "O" = "cic:/Coq/Init/Datatypes/nat.ind#xpointer(1/1/1)".
   4 alias id "nat" = "cic:/Coq/Init/Datatypes/nat.ind#xpointer(1/1)".
   5 alias id "S" = "cic:/Coq/Init/Datatypes/nat.ind#xpointer(1/1/2)".
   6 alias id "le" = "cic:/matita/fguidi/le.ind#xpointer(1/1)".
   7 alias id "False_ind" = "cic:/Coq/Init/Logic/False_ind.con".
   8 alias id "I" = "cic:/Coq/Init/Logic/True.ind#xpointer(1/1/1)".
   9 alias id "ex_intro" = "cic:/Coq/Init/Logic/ex.ind#xpointer(1/1/1)".
  10 alias id "False" = "cic:/Coq/Init/Logic/False.ind#xpointer(1/1)".
  11 alias id "True" = "cic:/Coq/Init/Logic/True.ind#xpointer(1/1)".
  12
  13 alias symbol "and" (instance 0) = "logical and".
  14 alias symbol "eq" (instance 0) = "leibnitz's equality".
  15 alias symbol "exists" (instance 0) = "exists".
  16
  17 definition is_S: nat \to Prop \def
  18    \lambda n. match n with
  19       [ O     \Rightarrow False
  20       | (S n) \Rightarrow True
  21       ].
  22
  23 definition pred: nat \to nat \def
  24    \lambda n. match n with
  25       [ O     \Rightarrow O
  26       | (S n) \Rightarrow n
  27       ].
  28
  29 theorem eq_gen_S_O: \forall x. (S x = O) \to \forall P:Prop. P.
  30 intros. apply False_ind. cut (is_S O). auto. elim H. exact I.
  31 qed.
  32
  33 theorem eq_gen_S_O_cc: (\forall P:Prop. P) \to \forall x. (S x = O).
  34 intros. auto.
  35 qed.
  36
  37 theorem eq_gen_S_S: \forall m,n. (S m) = (S n) \to m = n.
  38 intros. cut (pred (S m)) = (pred (S n)).
  39 assumption. elim H. auto.
  40 qed.
  41
  42 theorem eq_gen_S_S_cc: \forall m,n. m = n \to (S m) = (S n).
  43 intros. elim H. auto.
  44 qed.
  45
  46 inductive le: nat \to nat \to Prop \def
  47      le_zero: \forall n. (le O n)
  48    | le_succ: \forall m, n. (le m n) \to (le (S m) (S n)).
  49
  50 theorem le_refl: \forall x. (le x x).
  51 intros. elim x. auto. auto.
  52 qed.
  53
  54 theorem le_gen_x_O_aux: \forall x, y. (le x y) \to (y =O) \to
  55                         (x = O).
  56 intros 3. elim H. auto. apply eq_gen_S_O. exact x2. auto.
  57 qed.
  58
  59 theorem le_gen_x_O: \forall x. (le x O) \to (x = O).
  60 intros. apply le_gen_x_O_aux. exact O. auto. auto.
  61 qed.
  62
  63 theorem le_gen_x_O_cc: \forall x. (x = O) \to (le x O).
  64 intros. elim H. auto.
  65 qed.
  66
  67 theorem le_gen_S_x_aux: \forall m,x,y. (le y x) \to (y = S m) \to
  68                         (\exists n. x = (S n) \land (le m n)).
  69 intros 4. elim H.
  70 apply eq_gen_S_O. exact m. elim H1. auto.
  71 cut x1 = m. elim Hcut. apply ex_intro. exact x2. auto. auto.
  72 qed.
  73
  74 theorem le_gen_S_x: \forall m,x. (le (S m) x) \to
  75                     (\exists n. x = (S n) \land (le m n)).
  76 intros. apply le_gen_S_x_aux. exact (S m). auto. auto.
  77 qed.
  78
  79 theorem le_gen_S_x_cc: \forall m,x. (\exists n. x = (S n) \land (le m n)) \to
  80                        (le (S m) x).
  81 intros. elim H. elim H1. cut (S x1) = x. elim Hcut. auto. elim H2. auto.
  82 qed.
  83
  84 theorem le_gen_S_S: \forall m,n. (le (S m) (S n)) \to (le m n).
  85 intros.
  86 lapply le_gen_S_x to H using H0. elim H0. elim H1.
  87 lapply eq_gen_S_S to H2 using H4. rewrite > H4. assumption.
  88 qed.
  89
  90 theorem le_gen_S_S_cc: \forall m,n. (le m n) \to (le (S m) (S n)).
  91 intros. auto.
  92 qed.
  93 (*
  94 theorem le_trans: \forall x,y. (le x y) \to \forall z. (le y z) \to (le x z).
  95 intros 1. elim x.
  96 clear x. auto.
  97 clear H. fwd H1 [H]. decompose H.
  98 *)