helm/papers/system_T/t.tex

   1 \documentclass[a4paper]{article}
   2 \pagestyle{headings}
   3 %\usepackage{graphicx}
   4 \usepackage{amssymb,amsmath,mathrsfs}
   5 %\usepackage{hyperref}
   6 %\usepackage{picins}
   7
   8 \newcommand{\sem}[1]{[\![ #1 ]\!]}
   9 \newcommand{\R}{\,\mathscr{R}\,}
  10 \title{...}
  11 \author{...}
  12
  13
  14 \begin{document}
  15 \maketitle
  16
  17 \begin{abstract}
  18 ...
  19 \end{abstract}
  20
  21 \section{Heyting's arithmetics}
  22
  23 {\bf Axioms}
  24
  25 \begin{itemize}
  26
  27 \item $nat\_ind: P(0) \to (\forall x.P(x) \to P(S(x))) \to \forall x.P(x)$
  28 \item $ex\_ind: (\forall x.P(x) \to Q) \to \exists x.P(x) \to Q$
  29 \item $ex\_intro: \forall x.(P \to \exists x.P)$
  30 \item $fst: P \land Q \to P$
  31 \item $snd: P \land Q \to Q$
  32 \item $conj: P \to Q \to P \land Q$
  33 \item $false\_ind: \bot \to Q$
  34 \item $discriminate:\forall x.0 = S(x) \to \bot$
  35 \item $injS: \forall x,y.S(x) = S(y) \to x=y$
  36 \item $plus\_O:\forall x.x+0=x$
  37 \item $plus\_S:\forall x,y.x+S(y)=S(x+y)$
  38 \item $times\_O:\forall x.x*0=0$
  39 \item $timies\_S:\forall x,y.x*S(y)=x+(x*y)$
  40 \end{itemize}
  41
  42 \noindent
  43 {\bf Inference Rules}
  44
  45 \[
  46    (\to_i)\frac{\Gamma,x:A \vdash M:Q}{\Gamma \vdash \lambda x:A.M: A \to Q} \hspace{2cm}
  47    (\to_e)\frac{\Gamma \vdash M: A \to Q \hspace{1cm}\Gamma \vdash N: A}
  48     {\Gamma \vdash M N: Q}
  49 \]
  50
  51 %\[
  52 %   (\land_i)\frac{\Gamma \vdash M:A \hspace{1cm}\Gamma \vdash N:B}
  53 %   {\Gamma \vdash <M,N> : A \land B}
  54 %\hspace{2cm}
  55 %   (\land_{el})\frac{\Gamma \vdash A \land B}{\Gamma \vdash A}
  56 %\hspace{2cm}
  57 %   (\land_{er})\frac{\Gamma \vdash A \land B}{\Gamma \vdash B}
  58 %\]
  59
  60 \[
  61    (\forall_i)\frac{\Gamma \vdash M:P}{\Gamma \vdash
  62    \lambda x:N.M: \forall x.P}(*) \hspace{2cm}
  63    (\forall_e)\frac{\Gamma \vdash M :\forall x.P}{\Gamma \vdash M t: P[t/x]}
  64 \]
  65
  66
  67 %\[
  68 %   (\exists_i)\frac{\Gamma \vdash P[t/x]}{\Gamma \vdash \exists x.P}\hspace{2cm}
  69 %   (\exists_e)\frac{\Gamma \vdash \exists x.P\hspace{1cm}\Gamma \vdash \forall x.P \to Q}
  70 %{\Gamma \vdash Q}
  71 %\]
  72
  73 \section{Extraction}
  74
  75 \begin{itemize}
  76 \item $\sem{A} = 1$ if A is atomic
  77 \item $\sem{A \land B} = \sem{A}\times \sem{B}$
  78 \item $\sem{A \to B} = \sem{A}\to \sem{B}$
  79 \item $\sem{\forall x.P} = N \to \sem{P}$
  80 \item $\sem{\exists x.P} = N \times \sem{P}$
  81 \end{itemize}
  82
  83 definition.
  84 For any type T of system T $\bot_T: 1 \to T$  is inuctively defined as follows:
  85 \begin{enumerate}
  86 \item $\bot_1 = \lambda x:1.x$
  87 \item $\bot_N = \lambda x:1.0$
  88 \item $\bot_{U\times V} = \lambda x:1.<\bot_{U} x,\bot_{V} x>$
  89 \item $\bot_{U\to V} = \lambda x:1.\lambda \_:U. \bot_{V} x$
  90 \end{enumerate}
  91
  92 \begin{itemize}
  93 \item $\sem{nat\_ind} = R$
  94 \item $\sem{ex\_ind} = (\lambda f:(N \to \sem{P} \to \sem{Q}).
  95 \lambda p:N\times \sem{P}.f (fst \,p) (snd \,p)$.
  96 \item $\sem{ex\_intro} = \lambda x:N.\lambda f:\sem{P}.<x,f>$
  97 \item $\sem{fst} = fst$
  98 \item $\sem{snd} = snd$
  99 \item $\sem{conj} = \lambda x:\sem{P}.\lambda y:\sem{Q}.<x,y>$
 100 \item $\sem{false\_ind} = \bot_{\sem{Q}}$
 101 \item $\sem{discriminate} = \lambda \_:N.\lambda \_:1.*$
 102 \item $\sem{injS}= \lambda \_:N. \lambda \_:N.\lambda \_:1.*$
 103 \item $\sem{plus\_O} = \sem{times\_O} = \lambda \_:N.*$
 104 \item $\sem{plus\_S} = \sem{times_S} = \lambda \_:N. \lambda \_:N.*$
 105 \end{itemize}
 106
 107 In the case of structured proofs:
 108 \begin{itemize}
 109 \item $\sem{M N} = \sem{M} \sem{N}$
 110 \item $\sem{\lambda x:A.M} = \lambda x:\sem{A}.\sem{M}$
 111 \item $\sem{\lambda x:N.M} = \lambda x:N.\sem{M}$
 112 \item $\sem{M t} = \sem{M} \sem{t}$
 113 \end{itemize}
 114
 115 \section{Realizability}
 116 The realizability relation is a relation $f \R P$ where $f: \sem{P}$.
 117 In particular:
 118 \begin{itemize}
 119 \item $\neg (* \R \bot)$
 120 \item $* \R (t_1=t_2)$ iff $t_1=t_2$ is true ...
 121 \item $<f,g> \R (P\land Q)$ iff $f \R P$ and $g \R Q$
 122 \item $f \R (P\to Q)$ iff for any $m$ such that $m \R P$, $(f \,m) \R Q$
 123 \item $f \R (\forall x.P)$ iff for any natural number $n$ $(f n) \R P[\underline{n}/x]$
 124 \item $<n,g> \R (\exists x.P)$ iff $g \R P[\underline{n}/x]$
 125 \end{itemize}
 126
 127 \noindent
 128 We proceed to prove that alla axioms $ax:Ax$ are realized by $\sem{ax}$.
 129
 130 \begin{itemize}
 131 \item $nat\_ind$. We must prove that the recursion schema $R$ realizes the
 132 induction principle. To this aim we must prove that for any $a$ and $f$ such that
 133 $a \R P(0)$ and  $f \R \forall x.(P(x) \to P(S(x)))$, and any natural number
 134 $n$, $(R \,a \,f \,n) \R P(\underline{n})$.\\
 135 We proceed by induction on n.\\
 136 If $n=O$, $(R \,a \,f \,O) = a$ and by hypothesis $a \R P(0)$.\\
 137 Suppose by induction that $(R \,a \,f \,n) \R P(\underline{n})$, and let us prove that
 138 the relation still holds for $n+1$.
 139 By definition $(R \,a \,f \,(n+1)) = f \,n \,(R \,a \,f \,n)$,
 140 and since $f \R \forall x.(P(x) \to P(S(x)))$,
 141 $(f n (R a f n)) \R P(S(\underline{n}))=P(\underline{n+1})$.
 142 \end{itemize}
 143
 144 \begin{thebibliography}{}
 145
 146
 147 \end{thebibliography}
 148
 149 \end{document}
 150