helm/papers/system_T/t.tex

   1 \documentclass[a4paper]{article}
   2 \pagestyle{headings}
   3 %\usepackage{graphicx}
   4 \usepackage{amssymb,amsmath,mathrsfs}
   5 %\usepackage{hyperref}
   6 %\usepackage{picins}
   7
   8 \newcommand{\sem}[1]{[\![ #1 ]\!]}
   9 \newcommand{\R}{\;\mathscr{R}\;}
  10 \newcommand{\N}{\,\mathbb{N}\,}
  11 \newcommand{\NT}{\,\mathbb{N}\,}
  12 \newcommand{\NH}{\,\mathbb{N}\,}
  13 \title{...}
  14 \author{...}
  15
  16
  17 \begin{document}
  18 \maketitle
  19
  20 \begin{abstract}
  21 ...
  22 \end{abstract}
  23
  24 \section{Heyting's arithmetics}
  25
  26 {\bf Axioms}
  27
  28 \begin{itemize}
  29
  30 \item $nat\_ind: P(0) \to (\forall x.P(x) \to P(S(x))) \to \forall x.P(x)$
  31 \item $ex\_ind: (\forall x.P(x) \to Q) \to \exists x.P(x) \to Q$
  32 \item $ex\_intro: \forall x.(P \to \exists x.P)$
  33 \item $fst: P \land Q \to P$
  34 \item $snd: P \land Q \to Q$
  35 \item $conj: P \to Q \to P \land Q$
  36 \item $false\_ind: \bot \to Q$
  37 \item $discriminate:\forall x.0 = S(x) \to \bot$
  38 \item $injS: \forall x,y.S(x) = S(y) \to x=y$
  39 \item $plus\_O:\forall x.x+0=x$
  40 \item $plus\_S:\forall x,y.x+S(y)=S(x+y)$
  41 \item $times\_O:\forall x.x*0=0$
  42 \item $times\_S:\forall x,y.x*S(y)=x+(x*y)$
  43 \end{itemize}
  44
  45 \noindent
  46 {\bf Inference Rules}
  47
  48 \[
  49    (\to_i)\frac{\Gamma,x:A \vdash M:Q}{\Gamma \vdash \lambda x:A.M: A \to Q} \hspace{2cm}
  50    (\to_e)\frac{\Gamma \vdash M: A \to Q \hspace{1cm}\Gamma \vdash N: A}
  51     {\Gamma \vdash M N: Q}
  52 \]
  53
  54 %\[
  55 %   (\land_i)\frac{\Gamma \vdash M:A \hspace{1cm}\Gamma \vdash N:B}
  56 %   {\Gamma \vdash <M,N> : A \land B}
  57 %\hspace{2cm}
  58 %   (\land_{el})\frac{\Gamma \vdash A \land B}{\Gamma \vdash A}
  59 %\hspace{2cm}
  60 %   (\land_{er})\frac{\Gamma \vdash A \land B}{\Gamma \vdash B}
  61 %\]
  62
  63 \[
  64    (\forall_i)\frac{\Gamma \vdash M:P}{\Gamma \vdash
  65    \lambda x:\N.M: \forall x.P}(*) \hspace{2cm}
  66    (\forall_e)\frac{\Gamma \vdash M :\forall x.P}{\Gamma \vdash M t: P[t/x]}
  67 \]
  68
  69
  70 %\[
  71 %   (\exists_i)\frac{\Gamma \vdash P[t/x]}{\Gamma \vdash \exists x.P}\hspace{2cm}
  72 %   (\exists_e)\frac{\Gamma \vdash \exists x.P\hspace{1cm}\Gamma \vdash \forall x.P \to Q}
  73 %{\Gamma \vdash Q}
  74 %\]
  75
  76 \section{Extraction}
  77
  78 \begin{itemize}
  79 \item $\sem{A} = 1$ if A is atomic
  80 \item $\sem{A \land B} = \sem{A}\times \sem{B}$
  81 \item $\sem{A \to B} = \sem{A}\to \sem{B}$
  82 \item $\sem{\forall x.P} = \N \to \sem{P}$
  83 \item $\sem{\exists x.P} = \N \times \sem{P}$
  84 \end{itemize}
  85
  86 definition.
  87 For any type T of system T $\bot_T: 1 \to T$  is inuctively defined as follows:
  88 \begin{enumerate}
  89 \item $\bot_1 = \lambda x:1.x$
  90 \item $\bot_N = \lambda x:1.0$
  91 \item $\bot_{U\times V} = \lambda x:1.<\bot_{U} x,\bot_{V} x>$
  92 \item $\bot_{U\to V} = \lambda x:1.\lambda \_:U. \bot_{V} x$
  93 \end{enumerate}
  94
  95 \begin{itemize}
  96 \item $\sem{nat\_ind} = R$
  97 \item $\sem{ex\_ind} = (\lambda f:(\N \to \sem{P} \to \sem{Q}).
  98 \lambda p:\N\times \sem{P}.f (fst \,p) (snd \,p)$.
  99 \item $\sem{ex\_intro} = \lambda x:\N.\lambda f:\sem{P}.<x,f>$
 100 \item $\sem{fst} = fst$
 101 \item $\sem{snd} = snd$
 102 \item $\sem{conj} = \lambda x:\sem{P}.\lambda y:\sem{Q}.<x,y>$
 103 \item $\sem{false\_ind} = \bot_{\sem{Q}}$
 104 \item $\sem{discriminate} = \lambda \_:\N.\lambda \_:1.*$
 105 \item $\sem{injS}= \lambda \_:\N. \lambda \_:\N.\lambda \_:1.*$
 106 \item $\sem{plus\_O} = \sem{times\_O} = \lambda \_:\N.*$
 107 \item $\sem{plus\_S} = \sem{times_S} = \lambda \_:\N. \lambda \_:\N.*$
 108 \end{itemize}
 109
 110 In the case of structured proofs:
 111 \begin{itemize}
 112 \item $\sem{M N} = \sem{M} \sem{N}$
 113 \item $\sem{\lambda x:A.M} = \lambda x:\sem{A}.\sem{M}$
 114 \item $\sem{\lambda x:\N.M} = \lambda x:\N.\sem{M}$
 115 \item $\sem{M t} = \sem{M} \sem{t}$
 116 \end{itemize}
 117
 118 \section{Realizability}
 119 The realizability relation is a relation $f \R P$ where $f: \sem{P}$.
 120 In particular:
 121 \begin{itemize}
 122 \item $\neg (* \R \bot)$
 123 \item $* \R (t_1=t_2)$ iff $t_1=t_2$ is true ...
 124 \item $<f,g> \R (P\land Q)$ iff $f \R P$ and $g \R Q$
 125 \item $f \R (P\to Q)$ iff for any $m$ such that $m \R P$, $(f \,m) \R Q$
 126 \item $f \R (\forall x.P)$ iff for any natural number $n$ $(f n) \R P[\underline{n}/x]$
 127 \item $<n,g> \R (\exists x.P)$ iff $g \R P[\underline{n}/x]$
 128 \end{itemize}
 129
 130 \noindent
 131 We proceed to prove that all axioms $ax:Ax$ are realized by $\sem{ax}$.
 132
 133 \begin{itemize}
 134 \item $nat\_ind$.
 135   We must prove that the recursion schema $R$ realizes the induction principle.
 136   To this aim we must prove that for any $a$ and $f$ such that $a \R P(0)$ and
 137   $f \R \forall x.(P(x) \to P(S(x)))$, and any natural number $n$, $(R \,a \,f
 138   \,n) \R P(\underline{n})$.\\
 139   We proceed by induction on n.\\
 140   If $n=O$, $(R \,a \,f \,O) = a$ and by hypothesis $a \R P(0)$.\\
 141   Suppose by induction that
 142   $(R \,a \,f \,n) \R P(\underline{n})$, and let us prove that the relation
 143   still holds for $n+1$.  By definition
 144   $(R \,a \,f \,(n+1)) = f \,n \,(R \,a \,f \,n)$,
 145   and since $f \R \forall x.(P(x) \to P(S(x)))$,
 146   $(f n (R a f n)) \R P(S(\underline{n}))=P(\underline{n+1})$.
 147
 148 \item $ex\_ind$.
 149   We must prove that $$\underline{ex\_ind} \R (\forall x:(P x)
 150   \to Q) \to (\exists x:(P x)) \to Q$$ Following the definition of $\R$ we have
 151   to prove that given\\ $f~\R~\forall~x:((P~x)~\to~Q)$ and
 152   $p~\R~\exists~x:(P~x)$, then $\underline{ex\_ind}~f~p \R Q$.\\
 153   $p$ is a couple $<n_p,g_p>$ such that $g_p \R P[\underline{n_p}/x]$, while
 154   $f$ is a function such that forall $n$ and for all $m \R P[\underline{n}/x]$
 155   then $f~n~m \R Q$.  Exapanding the definition of $\underline{ex\_ind}$, $fst$
 156   and $snd$ we obtain $f~n_p~g_p$ that we know is in relation $\R$ with $Q$
 157   since $g_p \R P[\underline{n_p}/x]$.
 158
 159 \item $false\_ind$.
 160   We have to prove that $\bot_{\sem{Q}} \R \bot \to Q$.
 161   Trivial, since there is no $m \R \bot$.
 162
 163 \item $discriminate$.
 164   Since there is no $n$ such that $0 = S n$ is true... \\
 165   $\underline{discriminate}~n \R 0 = S~\underline{n} \to \bot$ for each n.
 166
 167 \end{itemize}
 168
 169 \begin{thebibliography}{}
 170
 171
 172 \end{thebibliography}
 173
 174 \end{document}
 175