helm/software/matita/contribs/RELATIONAL/NLE/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/RELATIONAL/NLE/props".
  16
  17 include "NLE/fwd.ma".
  18
  19 theorem nle_zero_1: \forall q. zero <= q.
  20  intros. auto.
  21 qed.
  22
  23 theorem nle_succ_succ: \forall p,q. p <= q \to succ p <= succ q.
  24  intros. elim H. clear H. auto.
  25 qed.
  26
  27 theorem nle_ind: \forall P:(Nat \to Nat \to Prop).
  28                  (\forall n:Nat.P zero n) \to
  29                  (\forall n,n1:Nat.
  30                   n <= n1 \to P n n1 \to P (succ n) (succ n1)
  31                  ) \to
  32                 \forall n,n1:Nat. n <= n1 \to P n n1.
  33  intros 4. elim n; clear n;
  34  [ auto
  35  | lapply linear nle_inv_succ_1 to H3. decompose; subst.
  36    auto
  37  ].
  38 qed.
  39
  40 theorem nle_refl: \forall x. x <= x.
  41  intros 1; elim x; clear x; intros; auto.
  42 qed.
  43
  44 theorem nle_trans_succ: \forall x,y. x <= y \to x <= succ y.
  45  intros. elim H using nle_ind; clear H x y; auto.
  46 qed.
  47
  48 theorem nle_false: \forall x,y. x <= y \to y < x \to False.
  49  intros 3; elim H using nle_ind; clear H x y; auto.
  50 qed.
  51
  52 theorem nle_trans: \forall x,y. x <= y \to
  53                    \forall z. y <= z \to x <= z.
  54  intros 3. elim H using nle_ind; clear H x y;
  55  [ auto
  56  | lapply linear nle_inv_succ_1 to H3. decompose. subst.
  57    auto
  58  ].
  59 qed.
  60
  61 theorem nle_lt_or_eq: \forall y,x. x <= y \to x < y \lor x = y.
  62  intros. elim H using nle_ind; clear H x y;
  63  [ elim n; clear n; auto
  64  | decompose; subst; auto
  65  ].
  66 qed.