helm/software/matita/contribs/RELATIONAL/NPlus/monoid.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/RELATIONAL/NPlus/monoid".
  16
  17 include "NPlus/fun.ma".
  18
  19 (* Monoidal properties ******************************************************)
  20
  21 theorem nplus_zero_1: \forall q. zero + q == q.
  22  intros. elim q; clear q; auto.
  23 qed.
  24
  25 theorem nplus_succ_1: \forall p,q,r. NPlus p q r \to
  26                       (succ p) + q == (succ r).
  27  intros. elim H; clear H q r; auto.
  28 qed.
  29
  30 theorem nplus_comm_rew: \forall p,q,r. (p + q == r) \to q + p == r.
  31  intros. elim H; clear H q r; auto.
  32 qed.
  33
  34 (* Corollaries of functional properties **************************************)
  35
  36 theorem nplus_inj_2: \forall p, q1, r. (p + q1 == r) \to
  37                      \forall q2. (p + q2 == r) \to q1 = q2.
  38  intros. auto.
  39 qed.
  40
  41 (* Corollaries of nonoidal properties ***************************************)
  42
  43 theorem nplus_comm_1_rew: \forall p1,q,r1. (p1 + q == r1) \to
  44                           \forall p2,r2. (p2 + q == r2) \to
  45                           \forall s. (p1 + r2 == s) \to (p2 + r1 == s).
  46  intros 4. elim H; clear H q r1;
  47  [ lapply linear nplus_gen_zero_2 to H1. subst
  48  | lapply linear nplus_gen_succ_2 to H3. decompose. subst.
  49    lapply linear nplus_gen_succ_2 to H4. decompose. subst
  50  ]; auto.
  51 qed.
  52
  53 (*
  54 theorem nplus_shift_succ_sx: \forall p,q,r.
  55                              (p + (succ q) == r) \to (succ p) + q == r.
  56  intros.
  57  lapply linear nplus_gen_succ_2 to H as H0.
  58  decompose. subst. auto new timeout=100.
  59 qed.
  60
  61 theorem nplus_shift_succ_dx: \forall p,q,r.
  62                              ((succ p) + q == r) \to p + (succ q) == r.
  63  intros.
  64  lapply linear nplus_gen_succ_1 to H as H0.
  65  decompose. subst. auto new timeout=100.
  66 qed.
  67
  68 theorem nplus_trans_1: \forall p,q1,r1. (p + q1 == r1) \to
  69                        \forall q2,r2. (r1 + q2 == r2) \to
  70                        \exists q. (q1 + q2 == q) \land p + q == r2.
  71  intros 2; elim q1; clear q1; intros;
  72  [ lapply linear nplus_gen_zero_2 to H as H0.
  73    subst.
  74  | lapply linear nplus_gen_succ_2 to H1 as H0.
  75    decompose. subst.
  76    lapply linear nplus_gen_succ_1 to H2 as H0.
  77    decompose. subst.
  78    lapply linear H to H4, H3 as H0.
  79    decompose.
  80  ]; apply ex_intro; [| auto new timeout=100 || auto new timeout=100 ]. (**)
  81 qed.
  82
  83 theorem nplus_trans_2: \forall p1,q,r1. (p1 + q == r1) \to
  84                        \forall p2,r2. (p2 + r1 == r2) \to
  85                        \exists p. (p1 + p2 == p) \land p + q == r2.
  86  intros 2; elim q; clear q; intros;
  87  [ lapply linear nplus_gen_zero_2 to H as H0.
  88    subst
  89  | lapply linear nplus_gen_succ_2 to H1 as H0.
  90    decompose. subst.
  91    lapply linear nplus_gen_succ_2 to H2 as H0.
  92    decompose. subst.
  93    lapply linear H to H4, H3 as H0.
  94    decompose.
  95  ]; apply ex_intro; [| auto new timeout=100 || auto new timeout=100 ]. (**)
  96 qed.
  97 *)
  98