helm/software/matita/contribs/RELATIONAL/NPlus/monoid.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/RELATIONAL/NPlus/monoid".
  16
  17 include "NPlus/fun.ma".
  18
  19 (* Monoidal properties ******************************************************)
  20
  21 theorem nplus_zero_1: \forall q. zero + q == q.
  22  intros. elim q; clear q; auto.
  23 qed.
  24
  25 theorem nplus_succ_1: \forall p,q,r. (p + q == r) \to
  26                       (succ p) + q == (succ r).
  27  intros. elim H; clear H q r; auto.
  28 qed.
  29
  30 theorem nplus_comm: \forall p, q, x. (p + q == x) \to
  31                     \forall y. (q + p == y) \to x = y.
  32  intros 4; elim H; clear H q x;
  33  [ lapply linear nplus_inv_zero_1 to H1
  34  | lapply linear nplus_inv_succ_1 to H3. decompose
  35  ]; subst; auto.
  36 qed.
  37
  38 theorem nplus_comm_rew: \forall p,q,r. (p + q == r) \to q + p == r.
  39  intros. elim H; clear H q r; auto.
  40 qed.
  41
  42 (* Corollaries of functional properties **************************************)
  43
  44 theorem nplus_inj_2: \forall p, q1, r. (p + q1 == r) \to
  45                      \forall q2. (p + q2 == r) \to q1 = q2.
  46  intros. auto.
  47 qed.
  48
  49 (* Corollaries of nonoidal properties ***************************************)
  50
  51 theorem nplus_comm_1: \forall p1, q, r1. (p1 + q == r1) \to
  52                       \forall p2, r2. (p2 + q == r2) \to
  53                       \forall x. (p2 + r1 == x) \to
  54                       \forall y. (p1 + r2 == y) \to
  55                       x = y.
  56  intros 4. elim H; clear H q r1;
  57  [ lapply linear nplus_inv_zero_2 to H1
  58  | lapply linear nplus_inv_succ_2 to H3.
  59    lapply linear nplus_inv_succ_2 to H4. decompose. subst.
  60    lapply linear nplus_inv_succ_2 to H5. decompose
  61  ]; subst; auto.
  62 qed.
  63
  64 theorem nplus_comm_1_rew: \forall p1,q,r1. (p1 + q == r1) \to
  65                           \forall p2,r2. (p2 + q == r2) \to
  66                           \forall s. (p1 + r2 == s) \to (p2 + r1 == s).
  67  intros 4. elim H; clear H q r1;
  68  [ lapply linear nplus_inv_zero_2 to H1. subst
  69  | lapply linear nplus_inv_succ_2 to H3. decompose. subst.
  70    lapply linear nplus_inv_succ_2 to H4. decompose. subst
  71  ]; auto.
  72 qed.
  73
  74 (*
  75 theorem nplus_shift_succ_sx: \forall p,q,r.
  76                              (p + (succ q) == r) \to (succ p) + q == r.
  77  intros.
  78  lapply linear nplus_inv_succ_2 to H as H0.
  79  decompose. subst. auto new timeout=100.
  80 qed.
  81
  82 theorem nplus_shift_succ_dx: \forall p,q,r.
  83                              ((succ p) + q == r) \to p + (succ q) == r.
  84  intros.
  85  lapply linear nplus_inv_succ_1 to H as H0.
  86  decompose. subst. auto new timeout=100.
  87 qed.
  88
  89 theorem nplus_trans_1: \forall p,q1,r1. (p + q1 == r1) \to
  90                        \forall q2,r2. (r1 + q2 == r2) \to
  91                        \exists q. (q1 + q2 == q) \land p + q == r2.
  92  intros 2; elim q1; clear q1; intros;
  93  [ lapply linear nplus_inv_zero_2 to H as H0.
  94    subst.
  95  | lapply linear nplus_inv_succ_2 to H1 as H0.
  96    decompose. subst.
  97    lapply linear nplus_inv_succ_1 to H2 as H0.
  98    decompose. subst.
  99    lapply linear H to H4, H3 as H0.
 100    decompose.
 101  ]; apply ex_intro; [| auto new timeout=100 || auto new timeout=100 ]. (**)
 102 qed.
 103
 104 theorem nplus_trans_2: \forall p1,q,r1. (p1 + q == r1) \to
 105                        \forall p2,r2. (p2 + r1 == r2) \to
 106                        \exists p. (p1 + p2 == p) \land p + q == r2.
 107  intros 2; elim q; clear q; intros;
 108  [ lapply linear nplus_inv_zero_2 to H as H0.
 109    subst
 110  | lapply linear nplus_inv_succ_2 to H1 as H0.
 111    decompose. subst.
 112    lapply linear nplus_inv_succ_2 to H2 as H0.
 113    decompose. subst.
 114    lapply linear H to H4, H3 as H0.
 115    decompose.
 116  ]; apply ex_intro; [| auto new timeout=100 || auto new timeout=100 ]. (**)
 117 qed.
 118 *)