helm/software/matita/contribs/dama/dama/models/q_bars.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "dama/nat_ordered_set.ma".
  16 include "models/q_support.ma".
  17 include "models/list_support.ma".
  18 include "logic/cprop_connectives.ma".
  19
  20 definition bar ≝ ℚ × (ℚ × ℚ).
  21
  22 notation < "\rationals \sup 2" non associative with precedence 90 for @{'q2}.
  23 interpretation "Q x Q" 'q2 = (Prod Q Q).
  24
  25 definition empty_bar : bar ≝ 〈Qpos one,〈OQ,OQ〉〉.
  26 notation "\rect" with precedence 90 for @{'empty_bar}.
  27 interpretation "q0" 'empty_bar = empty_bar.
  28
  29 notation < "\ldots\rect\square\EmptySmallSquare\ldots" with precedence 90 for @{'lq2}.
  30 interpretation "lq2" 'lq2 = (list bar).
  31
  32 definition q2_lt := mk_rel bar (λx,y:bar.\fst x < \fst y).
  33
  34 interpretation "bar lt" 'lt x y = (rel_op ? q2_lt x y).
  35
  36 lemma q2_trans : ∀a,b,c:bar. a < b → b < c → a < c.
  37 intros 3; cases a; cases b; cases c; unfold q2_lt; simplify; intros;
  38 apply (q_lt_trans ??? H H1);
  39 qed.
  40
  41 definition q2_trel := mk_trans_rel bar q2_lt q2_trans.
  42
  43 interpretation "bar lt" 'lt x y = (FunClass_2_OF_trans_rel q2_trel x y).
  44
  45 definition canonical_q_lt : rel bar → trans_rel ≝ λx:rel bar.q2_trel.
  46
  47 coercion canonical_q_lt with nocomposites.
  48
  49 interpretation "bar lt" 'lt x y = (FunClass_2_OF_trans_rel (canonical_q_lt ?) x y).
  50
  51 definition nth_base ≝ λf,n. \fst (\nth f ▭ n).
  52 definition nth_height ≝ λf,n. \snd (\nth f ▭ n).
  53
  54 record q_f : Type ≝ {
  55  bars: list bar;
  56  bars_sorted : sorted q2_lt bars;
  57  bars_begin_OQ : nth_base bars O = OQ;
  58  bars_end_OQ : nth_height bars (pred (\len bars)) = 〈OQ,OQ〉
  59 }.
  60
  61 lemma len_bases_gt_O: ∀f.O < \len (bars f).
  62 intros; generalize in match (bars_begin_OQ f); cases (bars f); intros;
  63 [2: simplify; apply le_S_S; apply le_O_n;
  64 |1: normalize in H; destruct H;]
  65 qed.
  66
  67 lemma all_bases_positive : ∀f:q_f.∀i. OQ < nth_base (bars f) (S i).
  68 intro f; generalize in match (bars_begin_OQ f); generalize in match (bars_sorted f);
  69 cases (len_gt_non_empty ?? (len_bases_gt_O f)); intros;
  70 cases (cmp_nat (\len l) i);
  71 [2: lapply (sorted_tail_bigger q2_lt ?? ▭ H ? H2) as K;
  72     simplify in H1; rewrite < H1; apply K;
  73 |1: simplify; elim l in i H2;[simplify; rewrite > nth_nil; apply (q_pos_OQ one)]
  74     cases n in H3; intros; [simplify in H3; cases (not_le_Sn_O ? H3)]
  75     apply (H2 n1); simplify in H3; apply (le_S_S_to_le ?? H3);]
  76 qed.
  77
  78 alias symbol "lt" (instance 9) = "Q less than".
  79 alias symbol "lt" (instance 7) = "natural 'less than'".
  80 alias symbol "lt" (instance 6) = "natural 'less than'".
  81 alias symbol "lt" (instance 5) = "Q less than".
  82 alias symbol "lt" (instance 4) = "natural 'less than'".
  83 alias symbol "lt" (instance 2) = "natural 'less than'".
  84 alias symbol "leq" = "Q less or equal than".
  85 coinductive value_spec (f : list bar) (i : ℚ) : ℚ × ℚ → CProp ≝
  86 | value_of : ∀j,q.
  87     nth_height f j = q →  nth_base f j < i → j < \len f →
  88     (∀n.n<j → nth_base f n < i) →
  89     (∀n.j < n → n < \len f → i ≤ nth_base f n) → value_spec f i q.
  90
  91 definition match_pred ≝
  92  λi.λx:bar.match q_cmp (Qpos i) (\fst x) with[ q_leq _ ⇒ true| q_gt _ ⇒ false].
  93
  94 definition match_domain ≝
  95   λf: list bar.λi:ratio. pred (find ? (match_pred i) f ▭).
  96
  97 definition value_simple ≝
  98   λf: list bar.λi:ratio. nth_height f (match_domain f i).
  99
 100 alias symbol "lt" (instance 5) = "Q less than".
 101 alias symbol "lt" (instance 6) = "natural 'less than'".
 102 definition value_lemma :
 103   ∀f:list bar.sorted q2_lt f → O < length bar f →
 104   ∀i:ratio.nth_base f O  < Qpos i → ∃p:ℚ×ℚ.value_spec f (Qpos i) p.
 105 intros (f bars_sorted_f len_bases_gt_O_f i bars_begin_OQ_f);
 106 exists [apply (value_simple f i);]
 107 apply (value_of ?? (match_domain f i));
 108 [1: reflexivity
 109 |2: unfold match_domain; cases (cases_find bar (match_pred i) f ▭);
 110     [1: cases i1 in H H1 H2 H3; simplify; intros;
 111         [1: generalize in match (bars_begin_OQ_f);
 112             cases (len_gt_non_empty ?? (len_bases_gt_O_f)); simplify; intros;
 113             assumption;
 114         |2: cases (len_gt_non_empty ?? (len_bases_gt_O_f)) in H3;
 115             intros; lapply (H3 n (le_n ?)) as K; unfold match_pred in K;
 116             cases (q_cmp (Qpos i) (\fst (\nth (x::l) ▭ n))) in K;
 117             simplify; intros; [destruct H5] assumption]
 118     |2: destruct H; cases (len_gt_non_empty ?? (len_bases_gt_O_f)) in H2;
 119         simplify; intros; lapply (H (\len l) (le_n ?)) as K; clear H;
 120         unfold match_pred in K; cases (q_cmp (Qpos i) (\fst (\nth (x::l) ▭ (\len l)))) in K;
 121         simplify; intros; [destruct H2] assumption;]
 122 |5: intro; unfold match_domain; cases (cases_find bar (match_pred i) f ▭); intros;
 123     [1: generalize in match (bars_sorted_f);
 124         cases (list_break ??? H) in H1; rewrite > H6;
 125         rewrite < H1; simplify; rewrite > nth_len; unfold match_pred;
 126         cases (q_cmp (Qpos i) (\fst x)); simplify;
 127         intros (X Hs); [2: destruct X] clear X;
 128         cases (sorted_pivot q2_lt ??? ▭ Hs);
 129         cut (\len l1 ≤ n) as Hn; [2:
 130           rewrite > H1;  cases i1 in H4; simplify; intro X; [2: assumption]
 131           apply lt_to_le; assumption;]
 132         unfold nth_base; rewrite > (nth_append_ge_len ????? Hn);
 133         cut (n - \len l1 < \len (x::l2)) as K; [2:
 134           simplify; rewrite > H1; rewrite > (?:\len l2 = \len f - \len (l1 @ [x]));[2:
 135             rewrite > H6; repeat rewrite > len_append; simplify;
 136             repeat rewrite < plus_n_Sm; rewrite < plus_n_O; simplify;
 137             rewrite > sym_plus; rewrite < minus_plus_m_m; reflexivity;]
 138           rewrite > len_append; rewrite > H1; simplify; rewrite < plus_n_SO;
 139           apply le_S_S; clear H1 H6 H7 Hs H8 H9 Hn x l2 l1 H4 H3 H2 H;
 140           elim (\len f) in i1 n H5; [cases (not_le_Sn_O ? H);]
 141           simplify; cases n2; [ repeat rewrite < minus_n_O; apply le_S_S_to_le; assumption]
 142           cases n1 in H1; [intros; rewrite > eq_minus_n_m_O; apply le_O_n]
 143           intros; simplify; apply H; apply le_S_S_to_le; assumption;]
 144         cases (n - \len l1) in K; simplify; intros; [ assumption]
 145         lapply (H9 ? (le_S_S_to_le ?? H10)) as W; apply (q_le_trans ??? H7);
 146         apply q_lt_to_le; apply W;
 147     |2: cases (not_le_Sn_n i1); rewrite > H in ⊢ (??%);
 148         apply (trans_le ??? ? H4); cases i1 in H3; intros; apply le_S_S;
 149         [ apply le_O_n; | assumption]]
 150 |3: unfold match_domain; cases (cases_find bar (match_pred i) f ▭); [
 151       cases i1 in H; intros; simplify; [assumption]
 152       apply lt_S_to_lt; assumption;]
 153     rewrite > H; cases (\len f) in len_bases_gt_O_f; intros; [cases (not_le_Sn_O ? H3)]
 154     simplify; apply le_n;
 155 |4: intros; unfold match_domain in H; cases (cases_find bar (match_pred i) f ▭) in H; simplify; intros;
 156     [1: lapply (H3 n); [2: cases i1 in H4; intros [assumption] apply le_S; assumption;]
 157         unfold match_pred in Hletin; cases (q_cmp (Qpos i) (\fst (\nth f ▭ n))) in Hletin;
 158         simplify; intros; [destruct H6] assumption;
 159     |2: destruct H; cases f in len_bases_gt_O_f H2 H3; clear H1; simplify; intros;
 160         [cases (not_le_Sn_O ? H)] lapply (H1 n); [2: apply le_S; assumption]
 161         unfold match_pred in Hletin; cases (q_cmp (Qpos i) (\fst (\nth (b::l) ▭ n))) in Hletin;
 162         simplify; intros; [destruct H4] assumption;]]
 163 qed.
 164
 165 lemma bars_begin_lt_Qpos : ∀q,r. nth_base (bars q) O<Qpos r.
 166 intros; rewrite > bars_begin_OQ; apply q_pos_OQ;
 167 qed.
 168
 169 lemma value : q_f → ratio → ℚ × ℚ.
 170 intros; cases (value_lemma (bars q) ?? r);
 171 [ apply bars_sorted.
 172 | apply len_bases_gt_O;
 173 | apply w;
 174 | apply bars_begin_lt_Qpos;]
 175 qed.
 176
 177 lemma cases_value : ∀f,i. value_spec (bars f) (Qpos i) (value f i).
 178 intros; unfold value;
 179 cases (value_lemma (bars f) (bars_sorted f) (len_bases_gt_O f) i (bars_begin_lt_Qpos f i));
 180 assumption;
 181 qed.
 182
 183 definition same_values ≝ λl1,l2:q_f.∀input. value l1 input = value l2 input.
 184
 185 definition same_bases ≝ λl1,l2:list bar. ∀i.\fst (\nth l1 ▭ i) = \fst (\nth l2 ▭ i).
 186
 187 lemma same_bases_cons: ∀a,b,l1,l2.
 188   same_bases l1 l2 → \fst a = \fst b → same_bases (a::l1) (b::l2).
 189 intros; intro; cases i; simplify; [assumption;] apply (H n);
 190 qed.
 191
 192 alias symbol "lt" = "Q less than".
 193 lemma unpos: ∀x:ℚ.OQ < x → ∃r:ratio.Qpos r = x.
 194 intro; cases x; intros; [2:exists [apply r] reflexivity]
 195 cases (?:False);
 196 [ apply (q_lt_corefl ? H)| cases (q_lt_le_incompat ?? (q_neg_gt ?) (q_lt_to_le ?? H))]
 197 qed.
 198
 199 notation < "x \blacksquare" non associative with precedence 50 for @{'unpos $x}.
 200 interpretation "hide unpos proof" 'unpos x = (unpos x ?).
 201