helm/software/matita/contribs/dama/dama_duality/classical_pointwise/sets.ma

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   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
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  17 include "nat/nat.ma".
  18 include "logic/connectives.ma".
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  20
  21 definition set   ≝   λX:Type.X → Prop.
  22
  23 definition member_of : ∀X.set X → X → Prop≝ λX.λA:set X.λx.A x.
  24
  25 notation "hvbox(x break ∈ A)" with precedence 60
  26 for @{ 'member_of $x $A }.
  27
  28 interpretation "Member of" 'member_of x A = (mk_member_of ? A x).
  29
  30 notation "hvbox(x break ∉ A)" with precedence 60
  31 for @{ 'not_member_of $x $A }.
  32
  33 interpretation "Not member of" 'not_member_of x A = (Not (member_of ? A x)).
  34
  35 definition emptyset : ∀X.set X ≝  λX:Type.λx:X.False.
  36
  37 notation "∅︀" with precedence 100 for @{ 'emptyset }.
  38
  39 interpretation "Emptyset" 'emptyset = (emptyset ?).
  40
  41 definition subset: ∀X. set X → set X → Prop≝ λX.λA,B:set X.∀x. x ∈ A → x ∈ B.
  42
  43 notation "hvbox(A break ⊆ B)" with precedence 60
  44 for @{ 'subset $A $B }.
  45
  46 interpretation "Subset" 'subset A B = (subset ? A B).
  47
  48 definition intersection: ∀X. set X → set X → set X ≝
  49  λX.λA,B:set X.λx. x ∈ A ∧ x ∈ B.
  50
  51 notation "hvbox(A break ∩ B)" with precedence 70
  52 for @{ 'intersection $A $B }.
  53
  54 interpretation "Intersection" 'intersection A B = (intersection ? A B).
  55
  56 definition union: ∀X. set X → set X → set X ≝ λX.λA,B:set X.λx. x ∈ A ∨ x ∈ B.
  57
  58 notation "hvbox(A break ∪ B)" with precedence 65
  59 for @{ 'union $A $B }.
  60
  61 interpretation "Union" 'union A B = (union ? A B).
  62
  63 definition seq ≝ λX:Type.nat → X.
  64
  65 definition nth ≝  λX.λA:seq X.λi.A i.
  66
  67 notation "hvbox(A \sub i)" with precedence 100
  68 for @{ 'nth $A $i }.
  69
  70 interpretation "nth" 'nth A i = (nth ? A i).
  71
  72 definition countable_union: ∀X. seq (set X) → set X ≝
  73  λX.λA:seq (set X).λx.∃j.x ∈ A \sub j.
  74
  75 notation "∪ \sub (ident i opt (: ty)) B" with precedence 65
  76 for @{ 'big_union ${default @{(λ${ident i}:$ty.$B)} @{(λ${ident i}.$B)}}}.
  77
  78 interpretation "countable_union" 'big_union η.t = (countable_union ? t).
  79
  80 definition complement: ∀X. set X \to set X ≝ λX.λA:set X.λx. x ∉ A.
  81
  82 notation "A \sup 'c'" with precedence 100
  83 for @{ 'complement $A }.
  84
  85 interpretation "Complement" 'complement A = (complement ? A).
  86
  87 definition inverse_image: ∀X,Y.∀f: X → Y.set Y → set X ≝
  88  λX,Y,f,B,x. f x ∈ B.
  89
  90 notation "hvbox(f \sup (-1))" with precedence 100
  91 for @{ 'finverse $f }.
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  93 interpretation "Inverse image" 'finverse f = (inverse_image ? ? f).