helm/software/matita/contribs/dama/dama_duality/divisible_group.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15
  16
  17 include "nat/orders.ma".
  18 include "group.ma".
  19
  20 let rec gpow (G : abelian_group) (x : G) (n : nat) on n : G ≝
  21   match n with [ O ⇒ 0 | S m ⇒ x + gpow ? x m].
  22
  23 interpretation "additive abelian group pow" 'times n x = (gpow ? x n).
  24
  25 record dgroup : Type ≝ {
  26   dg_carr:> abelian_group;
  27   dg_prop: ∀x:dg_carr.∀n:nat.∃y.S n * y ≈ x
  28 }.
  29
  30 lemma divide: ∀G:dgroup.G → nat → G.
  31 intros (G x n); cases (dg_prop G x n); apply w;
  32 qed.
  33
  34 interpretation "divisible group divide" 'divide x n = (divide ? x n).
  35
  36 lemma divide_divides:
  37   ∀G:dgroup.∀x:G.∀n. S n * (x / n) ≈ x.
  38 intro G; cases G; unfold divide; intros (x n); simplify;
  39 cases (f x n); simplify; exact H;
  40 qed.
  41
  42 lemma feq_mul: ∀G:dgroup.∀x,y:G.∀n.x≈y → n * x ≈ n * y.
  43 intros (G x y n H); elim n; [apply eq_reflexive]
  44 simplify; apply (Eq≈ (x + (n1 * y)) H1);
  45 apply (Eq≈ (y+n1*y) H (eq_reflexive ??));
  46 qed.
  47
  48 lemma div1: ∀G:dgroup.∀x:G.x/O ≈ x.
  49 intro G; cases G; unfold divide; intros; simplify;
  50 cases (f x O); simplify; simplify in H; intro; apply H;
  51 apply (Ap≪ ? (plus_comm ???));
  52 apply (Ap≪ w (zero_neutral ??)); assumption;
  53 qed.
  54
  55 lemma apmul_ap: ∀G:dgroup.∀x,y:G.∀n.S n * x # S n * y → x # y.
  56 intros 4 (G x y n); elim n; [2:
  57   simplify in a;
  58   cases (applus ????? a); [assumption]
  59   apply f; assumption;]
  60 apply (plus_cancr_ap ??? 0); assumption;
  61 qed.
  62
  63 lemma plusmul: ∀G:dgroup.∀x,y:G.∀n.n * (x+y) ≈ n * x + n * y.
  64 intros (G x y n); elim n; [
  65   simplify; apply (Eq≈ 0 ? (zero_neutral ? 0)); apply eq_reflexive]
  66 simplify; apply eq_sym; apply (Eq≈ (x+y+(n1*x+n1*y))); [
  67   apply (Eq≈ (x+(n1*x+(y+(n1*y))))); [
  68     apply eq_sym; apply plus_assoc;]
  69   apply (Eq≈ (x+((n1*x+y+(n1*y))))); [
  70     apply feq_plusl; apply plus_assoc;]
  71   apply (Eq≈ (x+(y+n1*x+n1*y))); [
  72     apply feq_plusl; apply feq_plusr; apply plus_comm;]
  73   apply (Eq≈ (x+(y+(n1*x+n1*y)))); [
  74     apply feq_plusl; apply eq_sym; apply plus_assoc;]
  75   apply plus_assoc;]
  76 apply feq_plusl; apply eq_sym; assumption;
  77 qed.
  78
  79 lemma mulzero: ∀G:dgroup.∀n.n*0 ≈ 0. [2: apply dg_carr; apply G]
  80 intros; elim n; [simplify; apply eq_reflexive]
  81 simplify; apply (Eq≈ ? (zero_neutral ??)); assumption;
  82 qed.
  83
  84 let rec gpowS (G : abelian_group) (x : G) (n : nat) on n : G ≝
  85   match n with [ O ⇒ x | S m ⇒ gpowS ? x m + x].
  86
  87 lemma gpowS_gpow: ∀G:dgroup.∀e:G.∀n. S n * e ≈ gpowS ? e n.
  88 intros (G e n); elim n; simplify; [
  89   apply (Eq≈ ? (plus_comm ???));apply zero_neutral]
  90 apply (Eq≈ ?? (plus_comm ???));
  91 apply (Eq≈ (e+S n1*e) ? H); clear H; simplify; apply eq_reflexive;
  92 qed.
  93
  94 lemma divpow: ∀G:dgroup.∀e:G.∀n. e ≈ gpowS ? (e/n) n.
  95 intros (G e n); apply (Eq≈ ?? (gpowS_gpow ?(e/n) n));
  96 apply eq_sym; apply divide_divides;
  97 qed.