helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/basic_pairs_to_o-basic_pairs.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_pairs.ma".
  16 include "o-basic_pairs.ma".
  17 include "relations_to_o-algebra.ma".
  18
  19 (* Qui, per fare le cose per bene, ci serve la nozione di funtore categorico *)
  20 definition o_basic_pair_of_basic_pair: basic_pair → Obasic_pair.
  21  intro b;
  22  constructor 1;
  23   [ apply (map_objs2 ?? POW (concr b));
  24   | apply (map_objs2 ?? POW (form b));
  25   | apply (map_arrows2 ?? POW (concr b) (form b) (rel b)); ]
  26 qed.
  27
  28 definition o_relation_pair_of_relation_pair:
  29  ∀BP1,BP2. relation_pair BP1 BP2 →
  30   Orelation_pair (o_basic_pair_of_basic_pair BP1) (o_basic_pair_of_basic_pair BP2).
  31  intros;
  32  constructor 1;
  33   [ apply (map_arrows2 ?? POW (concr BP1) (concr BP2) (r \sub \c));
  34   | apply (map_arrows2 ?? POW (form BP1) (form BP2) (r \sub \f));
  35   | apply (.= (respects_comp2 ?? POW (concr BP1) (concr BP2) (form BP2)  r\sub\c (⊩\sub BP2) )^-1);
  36     cut ( ⊩ \sub BP2 ∘ r \sub \c =_12 r\sub\f ∘ ⊩ \sub BP1) as H;
  37     [ apply (.= †H);
  38       apply (respects_comp2 ?? POW (concr BP1) (form BP1) (form BP2) (⊩\sub BP1) r\sub\f);
  39     | apply commute;]]
  40 qed.
  41
  42 lemma o_relation_pair_of_relation_pair_is_morphism :
  43   ∀S,T:category2_of_category1 BP.
  44   ∀a,b:arrows2 (category2_of_category1 BP) S T.a=b →
  45    (eq2 (arrows2 OBP (o_basic_pair_of_basic_pair S) (o_basic_pair_of_basic_pair T)))
  46     (o_relation_pair_of_relation_pair S T a) (o_relation_pair_of_relation_pair S T b).
  47 intros 2 (S T);
  48       intros (a b Eab); split; unfold o_relation_pair_of_relation_pair; simplify;
  49        unfold o_basic_pair_of_basic_pair; simplify;
  50        [ change in match or_f_minus_star_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_minus_star q w) x);
  51        | change in match or_f_minus_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_minus q w) x);
  52        | change in match or_f_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f q w) x);
  53        | change in match or_f_star_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_star q w) x);]
  54        simplify;
  55        apply (prop12);
  56        apply (.= (respects_comp2 ?? POW (concr S) (concr T) (form T) (a\sub\c) (⊩\sub T))^-1);
  57        apply sym2;
  58        apply (.= (respects_comp2 ?? POW (concr S) (concr T) (form T) (b\sub\c) (⊩\sub T))^-1);
  59        apply sym2;
  60        apply prop12;
  61        apply Eab;
  62 qed.
  63
  64 lemma o_relation_pair_of_relation_pair_morphism :
  65   ∀S,T:category2_of_category1 BP.
  66   unary_morphism2 (arrows2 (category2_of_category1 BP) S T)
  67    (arrows2 OBP (o_basic_pair_of_basic_pair S) (o_basic_pair_of_basic_pair T)).
  68 intros (S T);
  69    constructor 1;
  70      [ apply (o_relation_pair_of_relation_pair S T);
  71      | apply (o_relation_pair_of_relation_pair_is_morphism S T)]
  72 qed.
  73
  74 lemma o_relation_pair_of_relation_pair_morphism_respects_id:
  75  ∀o:category2_of_category1 BP.
  76   o_relation_pair_of_relation_pair_morphism o o (id2 (category2_of_category1 BP) o)
  77   = id2 OBP (o_basic_pair_of_basic_pair o).
  78    simplify; intros; whd; split;
  79        [ change in match or_f_minus_star_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_minus_star q w) x);
  80        | change in match or_f_minus_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_minus q w) x);
  81        | change in match or_f_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f q w) x);
  82        | change in match or_f_star_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_star q w) x);]
  83     simplify;
  84     apply prop12;
  85     apply prop22;[2,4,6,8: apply rule #;]
  86     apply (respects_id2 ?? POW (concr o));
  87 qed.
  88
  89 lemma o_relation_pair_of_relation_pair_morphism_respects_comp:
  90   ∀o1,o2,o3:category2_of_category1 BP.
  91   ∀f1:arrows2 (category2_of_category1 BP) o1 o2.
  92   ∀f2:arrows2 (category2_of_category1 BP) o2 o3.
  93   (eq2 (arrows2 OBP (o_basic_pair_of_basic_pair o1) (o_basic_pair_of_basic_pair o3)))
  94     (o_relation_pair_of_relation_pair_morphism o1 o3 (f2 ∘ f1))
  95     (comp2 OBP ???
  96       (o_relation_pair_of_relation_pair_morphism o1 o2 f1)
  97       (o_relation_pair_of_relation_pair_morphism o2 o3 f2)).
  98    simplify; intros; whd; split;
  99        [ change in match or_f_minus_star_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_minus_star q w) x);
 100        | change in match or_f_minus_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_minus q w) x);
 101        | change in match or_f_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f q w) x);
 102        | change in match or_f_star_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_star q w) x);]
 103     simplify;
 104     apply prop12;
 105     apply prop22;[2,4,6,8: apply rule #;]
 106     apply (respects_comp2 ?? POW (concr o1) (concr o2) (concr o3) f1\sub\c f2\sub\c);
 107 qed.
 108
 109 definition BP_to_OBP: carr3 (arrows3 CAT2 (category2_of_category1 BP) OBP).
 110  constructor 1;
 111   [ apply o_basic_pair_of_basic_pair;
 112   | intros; apply o_relation_pair_of_relation_pair_morphism;
 113   | apply o_relation_pair_of_relation_pair_morphism_respects_id;
 114   | apply o_relation_pair_of_relation_pair_morphism_respects_comp;]
 115 qed.
 116
 117 theorem BP_to_OBP_faithful:
 118  ∀S,T.∀f,g:arrows2 (category2_of_category1 BP) S T.
 119   map_arrows2 ?? BP_to_OBP ?? f = map_arrows2 ?? BP_to_OBP ?? g → f=g.
 120  intros; change with ( (⊩) ∘ f \sub \c = (⊩) ∘ g \sub \c);
 121  apply (POW_faithful);
 122  apply (.= respects_comp2 ?? POW (concr S) (concr T) (form T) f \sub \c (⊩ \sub T));
 123  apply sym2;
 124  apply (.= respects_comp2 ?? POW (concr S) (concr T) (form T) g \sub \c (⊩ \sub T));
 125  apply sym2;
 126  apply e;
 127 qed.
 128
 129 theorem BP_to_OBP_full:
 130    ∀S,T.∀f. exT22 ? (λg. map_arrows2 ?? BP_to_OBP S T g = f).
 131  intros;
 132  cases (POW_full (concr S) (concr T) (Oconcr_rel ?? f)) (gc Hgc);
 133  cases (POW_full (form S) (form T) (Oform_rel ?? f)) (gf Hgf);
 134  exists[
 135    constructor 1; [apply gc|apply gf]
 136    apply (POW_faithful);
 137    apply (let xxxx ≝POW in .= respects_comp2 ?? POW (concr S) (concr T) (form T) gc (rel T));
 138    apply rule (.= Hgc‡#);
 139    apply (.= Ocommute ?? f);
 140    apply (.= #‡Hgf^-1);
 141    apply (let xxxx ≝POW in (respects_comp2 ?? POW (concr S) (form S) (form T) (rel S) gf)^-1)]
 142  split;
 143   [ change in match or_f_minus_star_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_minus_star q w) x);
 144   | change in match or_f_minus_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_minus q w) x);
 145   | change in match or_f_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f q w) x);
 146   | change in match or_f_star_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_star q w) x);]
 147  simplify; apply (†(Hgc‡#));
 148 qed.