helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/basic_topologies.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "relations.ma".
  16 include "saturations.ma".
  17
  18 record basic_topology: Type1 ≝
  19  { carrbt:> REL;
  20    A: unary_morphism1 (Ω \sup carrbt) (Ω \sup carrbt);
  21    J: unary_morphism1 (Ω \sup carrbt) (Ω \sup carrbt);
  22    A_is_saturation: is_saturation ? A;
  23    J_is_reduction: is_reduction ? J;
  24    compatibility: ∀U,V. (A U ≬ J V) = (U ≬ J V)
  25  }.
  26
  27 record continuous_relation (S,T: basic_topology) : Type1 ≝
  28  { cont_rel:> arrows1 ? S T;
  29    reduced: ∀U. U = J ? U → image ?? cont_rel U = J ? (image ?? cont_rel U);
  30    saturated: ∀U. U = A ? U → minus_star_image ?? cont_rel U = A ? (minus_star_image ?? cont_rel U)
  31  }.
  32 (*
  33 definition continuous_relation_setoid: basic_topology → basic_topology → setoid1.
  34  intros (S T); constructor 1;
  35   [ apply (continuous_relation S T)
  36   | constructor 1;
  37      [ apply (λr,s:continuous_relation S T.∀b. A ? (ext ?? r b) = A ? (ext ?? s b));
  38      | simplify; intros; apply refl1;
  39      | simplify; intros; apply sym1; apply H
  40      | simplify; intros; apply trans1; [2: apply H |3: apply H1; |1: skip]]]
  41 qed.
  42
  43 theorem continuous_relation_eq':
  44  ∀o1,o2.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
  45   a = a' → ∀X.minus_star_image ?? a (A o1 X) = minus_star_image ?? a' (A o1 X).
  46  intros; split; intro; unfold minus_star_image; simplify; intros;
  47   [ cut (ext ?? a a1 ⊆ A ? X); [2: intros 2; apply (H1 a2); cases f1; assumption;]
  48     lapply (if ?? (A_is_saturation ???) Hcut); clear Hcut;
  49     cut (A ? (ext ?? a' a1) ⊆ A ? X); [2: apply (. (H ?)‡#); assumption]
  50     lapply (fi ?? (A_is_saturation ???) Hcut);
  51     apply (Hletin1 x); change with (x ∈ ext ?? a' a1); split; simplify;
  52      [ apply I | assumption ]
  53   | cut (ext ?? a' a1 ⊆ A ? X); [2: intros 2; apply (H1 a2); cases f1; assumption;]
  54     lapply (if ?? (A_is_saturation ???) Hcut); clear Hcut;
  55     cut (A ? (ext ?? a a1) ⊆ A ? X); [2: apply (. (H ?)\sup -1‡#); assumption]
  56     lapply (fi ?? (A_is_saturation ???) Hcut);
  57     apply (Hletin1 x); change with (x ∈ ext ?? a a1); split; simplify;
  58      [ apply I | assumption ]]
  59 qed.
  60
  61 theorem continuous_relation_eq_inv':
  62  ∀o1,o2.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
  63   (∀X.minus_star_image ?? a (A o1 X) = minus_star_image ?? a' (A o1 X)) → a=a'.
  64  intros 6;
  65  cut (∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
  66   (∀X.minus_star_image ?? a (A o1 X) = minus_star_image ?? a' (A o1 X)) →
  67    ∀V:o2. A ? (ext ?? a' V) ⊆ A ? (ext ?? a V));
  68   [2: clear b H a' a; intros;
  69       lapply depth=0 (λV.saturation_expansive ??? (extS ?? a V)); [2: apply A_is_saturation;|skip]
  70        (* fundamental adjunction here! to be taken out *)
  71        cut (∀V:Ω \sup o2.V ⊆ minus_star_image ?? a (A ? (extS ?? a V)));
  72         [2: intro; intros 2; unfold minus_star_image; simplify; intros;
  73             apply (Hletin V1 x); whd; split; [ exact I | exists; [apply a1] split; assumption]]
  74        clear Hletin;
  75        cut (∀V:Ω \sup o2.V ⊆ minus_star_image ?? a' (A ? (extS ?? a V)));
  76         [2: intro; apply (. #‡(H ?)); apply Hcut] clear H Hcut;
  77        (* second half of the fundamental adjunction here! to be taken out too *)
  78       intro; lapply (Hcut1 (singleton ? V)); clear Hcut1;
  79       unfold minus_star_image in Hletin; unfold singleton in Hletin; simplify in Hletin;
  80       whd in Hletin; whd in Hletin:(?→?→%); simplify in Hletin;
  81       apply (if ?? (A_is_saturation ???));
  82       intros 2 (x H); lapply (Hletin V ? x ?);
  83        [ apply refl | cases H; assumption; ]
  84       change with (x ∈ A ? (ext ?? a V));
  85       apply (. #‡(†(extS_singleton ????)));
  86       assumption;]
  87  split; apply Hcut; [2: assumption | intro; apply sym1; apply H]
  88 qed.
  89
  90 definition continuous_relation_comp:
  91  ∀o1,o2,o3.
  92   continuous_relation_setoid o1 o2 →
  93    continuous_relation_setoid o2 o3 →
  94     continuous_relation_setoid o1 o3.
  95  intros (o1 o2 o3 r s); constructor 1;
  96   [ apply (s ∘ r)
  97   | intros;
  98     apply sym1;
  99     apply (.= †(image_comp ??????));
 100     apply (.= (reduced ?????)\sup -1);
 101      [ apply (.= (reduced ?????)); [ assumption | apply refl1 ]
 102      | apply (.= (image_comp ??????)\sup -1);
 103        apply refl1]
 104      | intros;
 105        apply sym1;
 106        apply (.= †(minus_star_image_comp ??????));
 107        apply (.= (saturated ?????)\sup -1);
 108         [ apply (.= (saturated ?????)); [ assumption | apply refl1 ]
 109         | apply (.= (minus_star_image_comp ??????)\sup -1);
 110           apply refl1]]
 111 qed.
 112
 113 definition BTop: category1.
 114  constructor 1;
 115   [ apply basic_topology
 116   | apply continuous_relation_setoid
 117   | intro; constructor 1;
 118      [ apply id1
 119      | intros;
 120        apply (.= (image_id ??));
 121        apply sym1;
 122        apply (.= †(image_id ??));
 123        apply sym1;
 124        assumption
 125      | intros;
 126        apply (.= (minus_star_image_id ??));
 127        apply sym1;
 128        apply (.= †(minus_star_image_id ??));
 129        apply sym1;
 130        assumption]
 131   | intros; constructor 1;
 132      [ apply continuous_relation_comp;
 133      | intros; simplify; intro x; simplify;
 134        lapply depth=0 (continuous_relation_eq' ???? H) as H';
 135        lapply depth=0 (continuous_relation_eq' ???? H1) as H1';
 136        letin K ≝ (λX.H1' (minus_star_image ?? a (A ? X))); clearbody K;
 137        cut (∀X:Ω \sup o1.
 138               minus_star_image o2 o3 b (A o2 (minus_star_image o1 o2 a (A o1 X)))
 139             = minus_star_image o2 o3 b' (A o2 (minus_star_image o1 o2 a' (A o1 X))));
 140         [2: intro; apply sym1; apply (.= #‡(†((H' ?)\sup -1))); apply sym1; apply (K X);]
 141        clear K H' H1';
 142        cut (∀X:Ω \sup o1.
 143               minus_star_image o1 o3 (b ∘ a) (A o1 X) = minus_star_image o1 o3 (b'∘a') (A o1 X));
 144         [2: intro;
 145             apply (.= (minus_star_image_comp ??????));
 146             apply (.= #‡(saturated ?????));
 147              [ apply ((saturation_idempotent ????) \sup -1); apply A_is_saturation ]
 148             apply sym1;
 149             apply (.= (minus_star_image_comp ??????));
 150             apply (.= #‡(saturated ?????));
 151              [ apply ((saturation_idempotent ????) \sup -1); apply A_is_saturation ]
 152            apply ((Hcut X) \sup -1)]
 153        clear Hcut; generalize in match x; clear x;
 154        apply (continuous_relation_eq_inv');
 155        apply Hcut1;]
 156   | intros; simplify; intro; do 2 (unfold continuous_relation_comp); simplify;
 157     apply (.= †(ASSOC1‡#));
 158     apply refl1
 159   | intros; simplify; intro; unfold continuous_relation_comp; simplify;
 160     apply (.= †((id_neutral_right1 ????)‡#));
 161     apply refl1
 162   | intros; simplify; intro; simplify;
 163     apply (.= †((id_neutral_left1 ????)‡#));
 164     apply refl1]
 165 qed.
 166
 167 (*
 168 (*CSC: unused! *)
 169 (* this proof is more logic-oriented than set/lattice oriented *)
 170 theorem continuous_relation_eqS:
 171  ∀o1,o2:basic_topology.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
 172   a = a' → ∀X. A ? (extS ?? a X) = A ? (extS ?? a' X).
 173  intros;
 174  cut (∀a: arrows1 ? o1 ?.∀x. x ∈ extS ?? a X → ∃y:o2.y ∈ X ∧ x ∈ ext ?? a y);
 175   [2: intros; cases f; clear f; cases H1; exists [apply w] cases x1; split;
 176       try assumption; split; assumption]
 177  cut (∀a,a':continuous_relation_setoid o1 o2.eq1 ? a a' → ∀x. x ∈ extS ?? a X → ∃y:o2. y ∈ X ∧ x ∈ A ? (ext ?? a' y));
 178   [2: intros; cases (Hcut ?? f); exists; [apply w] cases x1; split; try assumption;
 179       apply (. #‡(H1 ?));
 180       apply (saturation_expansive ?? (A_is_saturation o1) (ext ?? a1 w) x);
 181       assumption;] clear Hcut;
 182  split; apply (if ?? (A_is_saturation ???)); intros 2;
 183   [lapply (Hcut1 a a' H a1 f) | lapply (Hcut1 a' a (H \sup -1) a1 f)]
 184   cases Hletin; clear Hletin; cases x; clear x;
 185  cut (∀a: arrows1 ? o1 ?. ext ?? a w ⊆ extS ?? a X);
 186   [2,4: intros 3; cases f3; clear f3; simplify in f5; split; try assumption;
 187       exists [1,3: apply w] split; assumption;]
 188  cut (∀a. A ? (ext o1 o2 a w) ⊆ A ? (extS o1 o2 a X));
 189   [2,4: intros; apply saturation_monotone; try (apply A_is_saturation); apply Hcut;]
 190  apply Hcut2; assumption.
 191 qed.
 192 *)
 193 *)