helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/cprop_connectives.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "logic/connectives.ma".
  16
  17 definition Type4 : Type := Type.
  18 definition Type3 : Type4 := Type.
  19 definition Type2 : Type3 := Type.
  20 definition Type1 : Type2 := Type.
  21 definition Type0 : Type1 := Type.
  22
  23 definition Type_of_Type0: Type0 → Type := λx.x.
  24 definition Type_of_Type1: Type1 → Type := λx.x.
  25 definition Type_of_Type2: Type2 → Type := λx.x.
  26 definition Type_of_Type3: Type3 → Type := λx.x.
  27 definition Type_of_Type4: Type4 → Type := λx.x.
  28 coercion Type_of_Type0.
  29 coercion Type_of_Type1.
  30 coercion Type_of_Type2.
  31 coercion Type_of_Type3.
  32 coercion Type_of_Type4.
  33
  34 definition CProp0 : Type1 := Type0.
  35 definition CProp1 : Type2 := Type1.
  36 definition CProp2 : Type3 := Type2.
  37 definition CProp3 : Type4 := Type3.
  38 definition CProp_of_CProp0: CProp0 → CProp ≝ λx.x.
  39 definition CProp_of_CProp1: CProp1 → CProp ≝ λx.x.
  40 definition CProp_of_CProp2: CProp2 → CProp ≝ λx.x.
  41 definition CProp_of_CProp3: CProp3 → CProp ≝ λx.x.
  42 coercion CProp_of_CProp0.
  43 coercion CProp_of_CProp1.
  44 coercion CProp_of_CProp2.
  45 coercion CProp_of_CProp3.
  46
  47 inductive Or (A,B:CProp0) : CProp0 ≝
  48  | Left : A → Or A B
  49  | Right : B → Or A B.
  50
  51 interpretation "constructive or" 'or x y = (Or x y).
  52
  53 inductive Or3 (A,B,C:CProp0) : CProp0 ≝
  54  | Left3 : A → Or3 A B C
  55  | Middle3 : B → Or3 A B C
  56  | Right3 : C → Or3 A B C.
  57
  58 interpretation "constructive ternary or" 'or3 x y z= (Or3 x y z).
  59
  60 notation < "hvbox(a break ∨ b break ∨ c)" with precedence 35 for @{'or3 $a $b $c}.
  61
  62 inductive Or4 (A,B,C,D:CProp0) : CProp0 ≝
  63  | Left3 : A → Or4 A B C D
  64  | Middle3 : B → Or4 A B C D
  65  | Right3 : C → Or4 A B C D
  66  | Extra3: D → Or4 A B C D.
  67
  68 interpretation "constructive ternary or" 'or4 x y z t = (Or4 x y z t).
  69
  70 notation < "hvbox(a break ∨ b break ∨ c break ∨ d)" with precedence 35 for @{'or4 $a $b $c $d}.
  71
  72 inductive And (A,B:CProp0) : CProp0 ≝
  73  | Conj : A → B → And A B.
  74
  75 interpretation "constructive and" 'and x y = (And x y).
  76
  77 inductive And3 (A,B,C:CProp0) : CProp0 ≝
  78  | Conj3 : A → B → C → And3 A B C.
  79
  80 notation < "hvbox(a break ∧ b break ∧ c)" with precedence 35 for @{'and3 $a $b $c}.
  81
  82 interpretation "constructive ternary and" 'and3 x y z = (And3 x y z).
  83
  84 inductive And42 (A,B,C,D:CProp2) : CProp2 ≝
  85  | Conj42 : A → B → C → D → And42 A B C D.
  86
  87 notation < "hvbox(a break ∧ b break ∧ c break ∧ d)" with precedence 35 for @{'and4 $a $b $c $d}.
  88
  89 interpretation "constructive quaternary and2" 'and4 x y z t = (And42 x y z t).
  90
  91 record Iff (A,B:CProp0) : CProp0 ≝
  92  { if: A → B;
  93    fi: B → A
  94  }.
  95
  96 record Iff1 (A,B:CProp1) : CProp1 ≝
  97  { if1: A → B;
  98    fi1: B → A
  99  }.
 100
 101 notation "hvbox(a break ⇔ b)" right associative with precedence 25 for @{'iff1 $a $b}.
 102 interpretation "logical iff" 'iff x y = (Iff x y).
 103 interpretation "logical iff type1" 'iff1 x y = (Iff1 x y).
 104
 105 inductive exT22 (A:Type2) (P:A→CProp2) : CProp2 ≝
 106   ex_introT22: ∀w:A. P w → exT22 A P.
 107
 108 interpretation "CProp2 exists" 'exists \eta.x = (exT22 ? x).
 109
 110 definition pi1exT22 ≝ λA,P.λx:exT22 A P.match x with [ex_introT22 x _ ⇒ x].
 111 definition pi2exT22 ≝
 112   λA,P.λx:exT22 A P.match x return λx.P (pi1exT22 ?? x) with [ex_introT22 _ p ⇒ p].
 113
 114 interpretation "exT22 \fst" 'pi1 = (pi1exT22 ? ?).
 115 interpretation "exT22 \snd" 'pi2 = (pi2exT22 ? ?).
 116 interpretation "exT22 \fst a" 'pi1a x = (pi1exT22 ? ? x).
 117 interpretation "exT22 \snd a" 'pi2a x = (pi2exT22 ? ? x).
 118 interpretation "exT22 \fst b" 'pi1b x y = (pi1exT22 ? ? x y).
 119 interpretation "exT22 \snd b" 'pi2b x y = (pi2exT22 ? ? x y).
 120
 121 inductive exT (A:Type0) (P:A→CProp0) : CProp0 ≝
 122   ex_introT: ∀w:A. P w → exT A P.
 123
 124 interpretation "CProp exists" 'exists \eta.x = (exT ? x).
 125
 126 notation "\ll term 19 a, break term 19 b \gg"
 127 with precedence 90 for @{'dependent_pair $a $b}.
 128 interpretation "dependent pair" 'dependent_pair a b =
 129   (ex_introT ? ? a b).
 130
 131
 132 definition pi1exT ≝ λA,P.λx:exT A P.match x with [ex_introT x _ ⇒ x].
 133 definition pi2exT ≝
 134   λA,P.λx:exT A P.match x return λx.P (pi1exT ?? x) with [ex_introT _ p ⇒ p].
 135
 136 interpretation "exT \fst" 'pi1 = (pi1exT ? ?).
 137 interpretation "exT \fst a" 'pi1a x = (pi1exT ? ? x).
 138 interpretation "exT \fst b" 'pi1b x y = (pi1exT ? ? x y).
 139 interpretation "exT \snd" 'pi2 = (pi2exT ? ?).
 140 interpretation "exT \snd a" 'pi2a x = (pi2exT ? ? x).
 141 interpretation "exT \snd b" 'pi2b x y = (pi2exT ? ? x y).
 142
 143 inductive exT23 (A:Type0) (P:A→CProp0) (Q:A→CProp0) (R:A→A→CProp0) : CProp0 ≝
 144   ex_introT23: ∀w,p:A. P w → Q p → R w p → exT23 A P Q R.
 145
 146 definition pi1exT23 ≝
 147   λA,P,Q,R.λx:exT23 A P Q R.match x with [ex_introT23 x _ _ _ _ ⇒ x].
 148 definition pi2exT23 ≝
 149   λA,P,Q,R.λx:exT23 A P Q R.match x with [ex_introT23 _ x _ _ _ ⇒ x].
 150
 151 interpretation "exT2 \fst" 'pi1 = (pi1exT23 ? ? ? ?).
 152 interpretation "exT2 \snd" 'pi2 = (pi2exT23 ? ? ? ?).
 153 interpretation "exT2 \fst a" 'pi1a x = (pi1exT23 ? ? ? ? x).
 154 interpretation "exT2 \snd a" 'pi2a x = (pi2exT23 ? ? ? ? x).
 155 interpretation "exT2 \fst b" 'pi1b x y = (pi1exT23 ? ? ? ? x y).
 156 interpretation "exT2 \snd b" 'pi2b x y = (pi2exT23 ? ? ? ? x y).
 157
 158 inductive exT2 (A:Type0) (P,Q:A→CProp0) : CProp0 ≝
 159   ex_introT2: ∀w:A. P w → Q w → exT2 A P Q.
 160
 161
 162 definition Not : CProp0 → Prop ≝ λx:CProp.x → False.
 163
 164 interpretation "constructive not" 'not x = (Not x).
 165
 166 definition cotransitive: ∀C:Type0. ∀lt:C→C→CProp0.CProp0 ≝
 167  λC:Type0.λlt:C→C→CProp0.∀x,y,z:C. lt x y → lt x z ∨ lt z y.
 168
 169 definition coreflexive: ∀C:Type0. ∀lt:C→C→CProp0.CProp0 ≝
 170  λC:Type0.λlt:C→C→CProp0. ∀x:C. ¬ (lt x x).
 171
 172 definition symmetric: ∀C:Type0. ∀lt:C→C→CProp0.CProp0 ≝
 173  λC:Type0.λlt:C→C→CProp0. ∀x,y:C.lt x y → lt y x.
 174
 175 definition antisymmetric: ∀A:Type0. ∀R:A→A→CProp0. ∀eq:A→A→Prop.CProp0 ≝
 176  λA:Type0.λR:A→A→CProp0.λeq:A→A→Prop.∀x:A.∀y:A.R x y→R y x→eq x y.
 177
 178 definition reflexive: ∀C:Type0. ∀lt:C→C→CProp0.CProp0 ≝ λA:Type0.λR:A→A→CProp0.∀x:A.R x x.
 179
 180 definition transitive: ∀C:Type0. ∀lt:C→C→CProp0.CProp0 ≝ λA:Type0.λR:A→A→CProp0.∀x,y,z:A.R x y → R y z → R x z.
 181
 182 definition reflexive1: ∀A:Type1.∀R:A→A→CProp1.CProp1 ≝ λA:Type1.λR:A→A→CProp1.∀x:A.R x x.
 183 definition symmetric1: ∀A:Type1.∀R:A→A→CProp1.CProp1 ≝ λC:Type1.λlt:C→C→CProp1. ∀x,y:C.lt x y → lt y x.
 184 definition transitive1: ∀A:Type1.∀R:A→A→CProp1.CProp1 ≝ λA:Type1.λR:A→A→CProp1.∀x,y,z:A.R x y → R y z → R x z.
 185
 186 definition reflexive2: ∀A:Type2.∀R:A→A→CProp2.CProp2 ≝ λA:Type2.λR:A→A→CProp2.∀x:A.R x x.
 187 definition symmetric2: ∀A:Type2.∀R:A→A→CProp2.CProp2 ≝ λC:Type2.λlt:C→C→CProp2. ∀x,y:C.lt x y → lt y x.
 188 definition transitive2: ∀A:Type2.∀R:A→A→CProp2.CProp2 ≝ λA:Type2.λR:A→A→CProp2.∀x,y,z:A.R x y → R y z → R x z.
 189
 190 definition reflexive3: ∀A:Type3.∀R:A→A→CProp3.CProp3 ≝ λA:Type3.λR:A→A→CProp3.∀x:A.R x x.
 191 definition symmetric3: ∀A:Type3.∀R:A→A→CProp3.CProp3 ≝ λC:Type3.λlt:C→C→CProp3. ∀x,y:C.lt x y → lt y x.
 192 definition transitive3: ∀A:Type3.∀R:A→A→CProp3.CProp3 ≝ λA:Type3.λR:A→A→CProp3.∀x,y,z:A.R x y → R y z → R x z.