helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/formal_topologies.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_topologies.ma".
  16
  17
  18 definition downarrow: ∀S:BTop. unary_morphism (Ω \sup S) (Ω \sup S).
  19  intros; constructor 1;
  20   [ apply (λU:Ω \sup S.{a | ∃b:carrbt S. b ∈ U ∧ a ∈ A ? (singleton ? b)});
  21     intros; simplify; split; intro; cases H1; cases x; exists [1,3: apply w]
  22     split; try assumption; [ apply (. H‡#) | apply (. H \sup -1‡#) ] assumption
  23   | intros; split; intros 2; cases f; exists; [1,3: apply w] cases x; split;
  24     try assumption; [ apply (. #‡H) | apply (. #‡H \sup -1)] assumption]
  25 qed.
  26
  27 interpretation "downarrow" 'downarrow a = (fun_1 ?? (downarrow ?) a).
  28
  29 definition ffintersects: ∀S:BTop. binary_morphism1 (Ω \sup S) (Ω \sup S) (Ω \sup S).
  30  intros; constructor 1;
  31   [ apply (λU,V. ↓U ∩ ↓V);
  32   | intros; apply (.= (†H)‡(†H1)); apply refl1]
  33 qed.
  34
  35 interpretation "ffintersects" 'fintersects U V = (fun1 ??? (ffintersects ?) U V).
  36
  37 record formal_topology: Type ≝
  38  { bt:> BTop;
  39    converges: ∀U,V: Ω \sup bt. A ? (U ↓ V) = A ? U ∩ A ? V
  40  }.
  41
  42
  43 definition ffintersects': ∀S:BTop. binary_morphism1 S S (Ω \sup S).
  44  intros; constructor 1;
  45   [ apply (λb,c:S. (singleton S b) ↓ (singleton S c));
  46   | intros; apply (.= (†H)‡(†H1)); apply refl1]
  47 qed.
  48
  49 interpretation "ffintersects'" 'fintersects U V = (fun1 ??? (ffintersects' ?) U V).
  50
  51 record formal_map (S,T: formal_topology) : Type ≝
  52  { cr:> continuous_relation_setoid S T;
  53    C1: ∀b,c. extS ?? cr (b ↓ c) = ext ?? cr b ↓ ext ?? cr c;
  54    C2: extS ?? cr T = S
  55  }.
  56
  57 definition formal_map_setoid: formal_topology → formal_topology → setoid1.
  58  intros (S T); constructor 1;
  59   [ apply (formal_map S T);
  60   | constructor 1;
  61      [ apply (λf,f1: formal_map S T.f=f1);
  62      | simplify; intros 1; apply refl1
  63      | simplify; intros 2; apply sym1
  64      | simplify; intros 3; apply trans1]]
  65 qed.
  66
  67 axiom C1':
  68  ∀S,T: formal_topology.∀f:formal_map_setoid S T.∀U,V: Ω \sup T.
  69   extS ?? f (U ↓ V) = extS ?? f U ↓ extS ?? f V.
  70
  71 definition formal_map_composition:
  72  ∀o1,o2,o3: formal_topology.
  73   binary_morphism1
  74    (formal_map_setoid o1 o2)
  75    (formal_map_setoid o2 o3)
  76    (formal_map_setoid o1 o3).
  77  intros; constructor 1;
  78   [ intros; whd in c c1; constructor 1;
  79      [ apply (comp1 BTop ??? c c1);
  80      | intros;
  81        apply (.= (extS_com ??? c c1 ?));
  82        apply (.= †(C1 ?????));
  83        apply (.= (C1' ?????));
  84        apply (.= ((†((extS_singleton ????) \sup -1))‡(†((extS_singleton ????) \sup -1))));
  85        apply (.= (extS_com ??????)\sup -1 ‡ (extS_com ??????) \sup -1);
  86        apply (.= (extS_singleton ????)‡(extS_singleton ????));
  87        apply refl1;
  88      | apply (.= (extS_com ??? c c1 ?));
  89        apply (.= (†(C2 ???)));
  90        apply (.= (C2 ???));
  91        apply refl1;]
  92   | intros; simplify;
  93     change with (comp1 BTop ??? a b = comp1 BTop ??? a' b');
  94     apply prop1; assumption]
  95 qed.
  96