helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-algebra.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "categories.ma".
  16
  17 inductive bool : Type0 := true : bool | false : bool.
  18
  19 lemma BOOL : objs1 SET.
  20 constructor 1; [apply bool] constructor 1;
  21 [ intros (x y); apply (match x with [ true ⇒ match y with [ true ⇒ True | _ ⇒ False] | false ⇒ match y with [ true ⇒ False | false ⇒ True ]]);
  22 | whd; simplify; intros; cases x; apply I;
  23 | whd; simplify; intros 2; cases x; cases y; simplify; intros; assumption;
  24 | whd; simplify; intros 3; cases x; cases y; cases z; simplify; intros;
  25   try assumption; apply I]
  26 qed.
  27
  28 lemma IF_THEN_ELSE_p :
  29   ∀S:setoid1.∀a,b:S.∀x,y:BOOL.x = y →
  30     (λm.match m with [ true ⇒ a | false ⇒ b ]) x =
  31     (λm.match m with [ true ⇒ a | false ⇒ b ]) y.
  32 whd in ⊢ (?→?→?→%→?);
  33 intros; cases x in e; cases y; simplify; intros; try apply refl1; whd in e; cases e;
  34 qed.
  35
  36 interpretation "unary morphism comprehension with no proof" 'comprehension T P =
  37   (mk_unary_morphism T ? P ?).
  38 interpretation "unary morphism1 comprehension with no proof" 'comprehension T P =
  39   (mk_unary_morphism1 T ? P ?).
  40
  41 notation > "hvbox({ ident i ∈ s | term 19 p | by })" with precedence 90
  42 for @{ 'comprehension_by $s (λ${ident i}. $p) $by}.
  43 notation < "hvbox({ ident i ∈ s | term 19 p })" with precedence 90
  44 for @{ 'comprehension_by $s (λ${ident i}:$_. $p) $by}.
  45
  46 interpretation "unary morphism comprehension with proof" 'comprehension_by s \eta.f p =
  47   (mk_unary_morphism s ? f p).
  48 interpretation "unary morphism1 comprehension with proof" 'comprehension_by s \eta.f p =
  49   (mk_unary_morphism1 s ? f p).
  50
  51 (* per il set-indexing vedere capitolo BPTools (foundational tools), Sect. 0.3.4 complete
  52    lattices, Definizione 0.9 *)
  53 (* USARE L'ESISTENZIALE DEBOLE *)
  54 record OAlgebra : Type2 := {
  55   oa_P :> SET1;
  56   oa_leq : binary_morphism1 oa_P oa_P CPROP;
  57   oa_overlap: binary_morphism1 oa_P oa_P CPROP;
  58   oa_meet: ∀I:SET.unary_morphism2 (I ⇒ oa_P) oa_P;
  59   oa_join: ∀I:SET.unary_morphism2 (I ⇒ oa_P) oa_P;
  60   oa_one: oa_P;
  61   oa_zero: oa_P;
  62   oa_leq_refl: ∀a:oa_P. oa_leq a a;
  63   oa_leq_antisym: ∀a,b:oa_P.oa_leq a b → oa_leq b a → a = b;
  64   oa_leq_trans: ∀a,b,c:oa_P.oa_leq a b → oa_leq b c → oa_leq a c;
  65   oa_overlap_sym: ∀a,b:oa_P.oa_overlap a b → oa_overlap b a;
  66   oa_meet_inf:
  67     ∀I:SET.∀p_i:I ⇒ oa_P.∀p:oa_P.
  68       oa_leq p (oa_meet I p_i) = (∀i:I.oa_leq p (p_i i));
  69   oa_join_sup: ∀I:SET.∀p_i:I ⇒ oa_P.∀p:oa_P.oa_leq (oa_join I p_i) p = (∀i:I.oa_leq (p_i i) p);
  70   oa_zero_bot: ∀p:oa_P.oa_leq oa_zero p;
  71   oa_one_top: ∀p:oa_P.oa_leq p oa_one;
  72   oa_overlap_preserves_meet_:
  73       ∀p,q:oa_P.oa_overlap p q → oa_overlap p
  74        (oa_meet ? { x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ p | false ⇒ q ] | IF_THEN_ELSE_p oa_P p q });
  75   oa_join_split:
  76       ∀I:SET.∀p.∀q:I ⇒ oa_P.
  77        oa_overlap p (oa_join I q) = (∃i:I.oa_overlap p (q i));
  78   (*oa_base : setoid;
  79   1) enum non e' il nome giusto perche' non e' suriettiva
  80   2) manca (vedere altro capitolo) la "suriettivita'" come immagine di insiemi di oa_base
  81   oa_enum : ums oa_base oa_P;
  82   oa_density: ∀p,q.(∀i.oa_overlap p (oa_enum i) → oa_overlap q (oa_enum i)) → oa_leq p q
  83   *)
  84   oa_density:
  85       ∀p,q.(∀r.oa_overlap p r → oa_overlap q r) → oa_leq p q
  86 }.
  87
  88 interpretation "o-algebra leq" 'leq a b = (fun21 ??? (oa_leq ?) a b).
  89
  90 notation "hovbox(a mpadded width -150% (>)< b)" non associative with precedence 45
  91 for @{ 'overlap $a $b}.
  92 interpretation "o-algebra overlap" 'overlap a b = (fun21 ??? (oa_overlap ?) a b).
  93
  94 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∧) \below (\emsp) \nbsp term 90 p)"
  95 non associative with precedence 50 for @{ 'oa_meet $p }.
  96 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∧) \below (ident i ∈  I) break term 90 p)"
  97 non associative with precedence 50 for @{ 'oa_meet_mk (λ${ident i}:$I.$p) }.
  98
  99 notation > "hovbox(∧ f)" non associative with precedence 60
 100 for @{ 'oa_meet $f }.
 101 interpretation "o-algebra meet" 'oa_meet f =
 102   (fun12 ?? (oa_meet ??) f).
 103 interpretation "o-algebra meet with explicit function" 'oa_meet_mk f =
 104   (fun12 ?? (oa_meet ??) (mk_unary_morphism ?? f ?)).
 105
 106 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∨) \below (\emsp) \nbsp term 90 p)"
 107 non associative with precedence 50 for @{ 'oa_join $p }.
 108 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∨) \below (ident i ∈  I) break term 90 p)"
 109 non associative with precedence 50 for @{ 'oa_join_mk (λ${ident i}:$I.$p) }.
 110
 111 notation > "hovbox(∨ f)" non associative with precedence 60
 112 for @{ 'oa_join $f }.
 113 interpretation "o-algebra join" 'oa_join f =
 114   (fun12 ?? (oa_join ??) f).
 115 interpretation "o-algebra join with explicit function" 'oa_join_mk f =
 116   (fun12 ?? (oa_join ??) (mk_unary_morphism ?? f ?)).
 117
 118 definition binary_meet : ∀O:OAlgebra. binary_morphism1 O O O.
 119 intros; split;
 120 [ intros (p q);
 121   apply (∧ { x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ p | false ⇒ q ] | IF_THEN_ELSE_p ? p q });
 122 | intros; lapply (prop12 ? O (oa_meet O BOOL));
 123    [2: apply ({ x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ a | false ⇒ b ] | IF_THEN_ELSE_p ? a b });
 124    |3: apply ({ x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ a' | false ⇒ b' ] | IF_THEN_ELSE_p ? a' b' });
 125    | apply Hletin;]
 126   intro x; simplify; cases x; simplify; assumption;]
 127 qed.
 128
 129 interpretation "o-algebra binary meet" 'and a b =
 130   (fun21 ??? (binary_meet ?) a b).
 131
 132 prefer coercion Type1_OF_OAlgebra.
 133
 134 definition binary_join : ∀O:OAlgebra. binary_morphism1 O O O.
 135 intros; split;
 136 [ intros (p q);
 137   apply (∨ { x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ p | false ⇒ q ] | IF_THEN_ELSE_p ? p q });
 138 | intros; lapply (prop12 ? O (oa_join O BOOL));
 139    [2: apply ({ x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ a | false ⇒ b ] | IF_THEN_ELSE_p ? a b });
 140    |3: apply ({ x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ a' | false ⇒ b' ] | IF_THEN_ELSE_p ? a' b' });
 141    | apply Hletin;]
 142   intro x; simplify; cases x; simplify; assumption;]
 143 qed.
 144
 145 interpretation "o-algebra binary join" 'or a b =
 146   (fun21 ??? (binary_join ?) a b).
 147
 148 lemma oa_overlap_preservers_meet: ∀O:OAlgebra.∀p,q:O.p >< q → p >< (p ∧ q).
 149 (* next change to avoid universe inconsistency *)
 150 change in ⊢ (?→%→%→?) with (Type1_OF_OAlgebra O);
 151 intros;  lapply (oa_overlap_preserves_meet_ O p q f);
 152 lapply (prop21 O O CPROP (oa_overlap O) p p ? (p ∧ q) # ?);
 153 [3: apply (if ?? (Hletin1)); apply Hletin;|skip] apply refl1;
 154 qed.
 155
 156 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∨) \below (\emsp) \nbsp term 90 p)"
 157 non associative with precedence 49 for @{ 'oa_join $p }.
 158 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∨) \below (ident i ∈  I) break term 90 p)"
 159 non associative with precedence 49 for @{ 'oa_join_mk (λ${ident i}:$I.$p) }.
 160 notation < "hovbox(a ∨ b)" left associative with precedence 49
 161 for @{ 'oa_join_mk (λ${ident i}:$_.match $i with [ true ⇒ $a | false ⇒ $b ]) }.
 162
 163 notation > "hovbox(∨ f)" non associative with precedence 59
 164 for @{ 'oa_join $f }.
 165 notation > "hovbox(a ∨ b)" left associative with precedence 49
 166 for @{ 'oa_join (mk_unary_morphism BOOL ? (λx__:bool.match x__ with [ true ⇒ $a | false ⇒ $b ]) (IF_THEN_ELSE_p ? $a $b)) }.
 167
 168 interpretation "o-algebra join" 'oa_join f =
 169   (fun12 ?? (oa_join ??) f).
 170 interpretation "o-algebra join with explicit function" 'oa_join_mk f =
 171   (fun12 ?? (oa_join ??) (mk_unary_morphism ?? f ?)).
 172
 173 record ORelation (P,Q : OAlgebra) : Type2 ≝ {
 174   or_f_ : carr2 (P ⇒ Q);
 175   or_f_minus_star_ : carr2(P ⇒ Q);
 176   or_f_star_ : carr2(Q ⇒ P);
 177   or_f_minus_ : carr2(Q ⇒ P);
 178   or_prop1_ : ∀p,q. (or_f_ p ≤ q) = (p ≤ or_f_star_ q);
 179   or_prop2_ : ∀p,q. (or_f_minus_ p ≤ q) = (p ≤ or_f_minus_star_ q);
 180   or_prop3_ : ∀p,q. (or_f_ p >< q) = (p >< or_f_minus_ q)
 181 }.
 182
 183 definition ORelation_setoid : OAlgebra → OAlgebra → setoid2.
 184 intros (P Q);
 185 constructor 1;
 186 [ apply (ORelation P Q);
 187 | constructor 1;
 188    (* tenere solo una uguaglianza e usare la proposizione 9.9 per
 189       le altre (unicita' degli aggiunti e del simmetrico) *)
 190    [ apply (λp,q. And42
 191              (or_f_minus_star_ ?? p = or_f_minus_star_ ?? q)
 192              (or_f_minus_ ?? p = or_f_minus_ ?? q)
 193              (or_f_ ?? p = or_f_ ?? q)
 194              (or_f_star_ ?? p = or_f_star_ ?? q));
 195    | whd; simplify; intros; repeat split; intros; apply refl2;
 196    | whd; simplify; intros; cases a; clear a; split;
 197      intro a; apply sym1; generalize in match a;assumption;
 198    | whd; simplify; intros; cases a; cases a1; clear a a1; split; intro a;
 199      [ apply (.= (e a)); apply e4;
 200      | apply (.= (e1 a)); apply e5;
 201      | apply (.= (e2 a)); apply e6;
 202      | apply (.= (e3 a)); apply e7;]]]
 203 qed.
 204
 205 definition ORelation_of_ORelation_setoid :
 206   ∀P,Q.ORelation_setoid P Q → ORelation P Q ≝ λP,Q,x.x.
 207 coercion ORelation_of_ORelation_setoid.
 208
 209 definition or_f_minus_star:
 210  ∀P,Q:OAlgebra.unary_morphism2 (ORelation_setoid P Q) (P ⇒ Q).
 211  intros; constructor 1;
 212   [ apply or_f_minus_star_;
 213   | intros; cases e; assumption]
 214 qed.
 215
 216 definition or_f: ∀P,Q:OAlgebra.unary_morphism2 (ORelation_setoid P Q) (P ⇒ Q).
 217  intros; constructor 1;
 218   [ apply or_f_;
 219   | intros; cases e; assumption]
 220 qed.
 221
 222 definition or_f_minus: ∀P,Q:OAlgebra.unary_morphism2 (ORelation_setoid P Q) (Q ⇒ P).
 223  intros; constructor 1;
 224   [ apply or_f_minus_;
 225   | intros; cases e; assumption]
 226 qed.
 227
 228 definition or_f_star: ∀P,Q:OAlgebra.unary_morphism2 (ORelation_setoid P Q) (Q ⇒ P).
 229  intros; constructor 1;
 230   [ apply or_f_star_;
 231   | intros; cases e; assumption]
 232 qed.
 233
 234 lemma arrows1_of_ORelation_setoid : ∀P,Q. ORelation_setoid P Q → (P ⇒ Q).
 235 intros; apply (or_f ?? c);
 236 qed.
 237 coercion arrows1_of_ORelation_setoid.
 238
 239 notation "r \sup *" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_star $r}.
 240 notation > "r *" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_star $r}.
 241
 242 notation "r \sup (⎻* )" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus_star $r}.
 243 notation > "r⎻*" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus_star $r}.
 244
 245 notation "r \sup ⎻" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus $r}.
 246 notation > "r⎻" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus $r}.
 247
 248 interpretation "o-relation f⎻*" 'OR_f_minus_star r = (fun12 ?? (or_f_minus_star ? ?) r).
 249 interpretation "o-relation f⎻" 'OR_f_minus r = (fun12 ?? (or_f_minus ? ?) r).
 250 interpretation "o-relation f*" 'OR_f_star r = (fun12 ?? (or_f_star ? ?) r).
 251
 252 definition or_prop1 : ∀P,Q:OAlgebra.∀F:ORelation_setoid P Q.∀p,q.
 253    (F p ≤ q) = (p ≤ F* q).
 254 intros; apply (or_prop1_ ?? F p q);
 255 qed.
 256
 257 definition or_prop2 : ∀P,Q:OAlgebra.∀F:ORelation_setoid P Q.∀p,q.
 258    (F⎻ p ≤ q) = (p ≤ F⎻* q).
 259 intros; apply (or_prop2_ ?? F p q);
 260 qed.
 261
 262 definition or_prop3 : ∀P,Q:OAlgebra.∀F:ORelation_setoid P Q.∀p,q.
 263    (F p >< q) = (p >< F⎻ q).
 264 intros; apply (or_prop3_ ?? F p q);
 265 qed.
 266
 267 definition ORelation_composition : ∀P,Q,R.
 268   binary_morphism2 (ORelation_setoid P Q) (ORelation_setoid Q R) (ORelation_setoid P R).
 269 intros;
 270 constructor 1;
 271 [ intros (F G);
 272   constructor 1;
 273   [ apply (G ∘ F);
 274   | apply rule (G⎻* ∘ F⎻* );
 275   | apply (F* ∘ G* );
 276   | apply (F⎻ ∘ G⎻);
 277   | intros;
 278     change with ((G (F p) ≤ q) = (p ≤ (F* (G* q))));
 279     apply (.= (or_prop1 :?));
 280     apply (or_prop1 :?);
 281   | intros;
 282     change with ((F⎻ (G⎻ p) ≤ q) = (p ≤ (G⎻* (F⎻* q))));
 283     apply (.= (or_prop2 :?));
 284     apply or_prop2 ;
 285   | intros; change with ((G (F (p)) >< q) = (p >< (F⎻ (G⎻ q))));
 286     apply (.= (or_prop3 :?));
 287     apply or_prop3;
 288   ]
 289 | intros; split; simplify;
 290    [3: unfold arrows1_of_ORelation_setoid; apply ((†e)‡(†e1));
 291    |1: apply ((†e)‡(†e1));
 292    |2,4: apply ((†e1)‡(†e));]]
 293 qed.
 294
 295 definition OA : category2.
 296 split;
 297 [ apply (OAlgebra);
 298 | intros; apply (ORelation_setoid o o1);
 299 | intro O; split;
 300   [1,2,3,4: apply id2;
 301   |5,6,7:intros; apply refl1;]
 302 | apply ORelation_composition;
 303 | intros (P Q R S F G H); split;
 304    [ change with (H⎻* ∘ G⎻* ∘ F⎻* = H⎻* ∘ (G⎻* ∘ F⎻* ));
 305      apply (comp_assoc2 ????? (F⎻* ) (G⎻* ) (H⎻* ));
 306    | apply ((comp_assoc2 ????? (H⎻) (G⎻) (F⎻))^-1);
 307    | apply ((comp_assoc2 ????? F G H)^-1);
 308    | apply ((comp_assoc2 ????? H* G* F* ));]
 309 | intros; split; unfold ORelation_composition; simplify; apply id_neutral_left2;
 310 | intros; split; unfold ORelation_composition; simplify; apply id_neutral_right2;]
 311 qed.
 312
 313 definition OAlgebra_of_objs2_OA: objs2 OA → OAlgebra ≝ λx.x.
 314 coercion OAlgebra_of_objs2_OA.
 315
 316 definition ORelation_setoid_of_arrows2_OA:
 317   ∀P,Q. arrows2 OA P Q → ORelation_setoid P Q ≝ λP,Q,c.c.
 318 coercion ORelation_setoid_of_arrows2_OA.
 319
 320 prefer coercion Type_OF_objs2.
 321
 322 (* alias symbol "eq" = "setoid1 eq". *)
 323
 324 (* qui la notazione non va *)
 325 lemma leq_to_eq_join: ∀S:OA.∀p,q:S. p ≤ q → q = (binary_join ? p q).
 326  intros;
 327  apply oa_leq_antisym;
 328   [ apply oa_density; intros;
 329     apply oa_overlap_sym;
 330     unfold binary_join; simplify;
 331     apply (. (oa_join_split : ?));
 332     exists; [ apply false ]
 333     apply oa_overlap_sym;
 334     assumption
 335   | unfold binary_join; simplify;
 336     apply (. (oa_join_sup : ?)); intro;
 337     cases i; whd in ⊢ (? ? ? ? ? % ?);
 338      [ assumption | apply oa_leq_refl ]]
 339 qed.
 340
 341 lemma overlap_monotone_left: ∀S:OA.∀p,q,r:S. p ≤ q → p >< r → q >< r.
 342  intros;
 343  apply (. (leq_to_eq_join : ?)‡#);
 344   [ apply f;
 345   | skip
 346   | apply oa_overlap_sym;
 347     unfold binary_join; simplify;
 348     apply (. (oa_join_split : ?));
 349     exists [ apply true ]
 350     apply oa_overlap_sym;
 351     assumption; ]
 352 qed.
 353
 354 (* Part of proposition 9.9 *)
 355 lemma f_minus_image_monotone: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p,q. p ≤ q → R⎻ p ≤ R⎻ q.
 356  intros;
 357  apply (. (or_prop2 : ?));
 358  apply oa_leq_trans; [2: apply f; | skip | apply (. (or_prop2 : ?)^ -1); apply oa_leq_refl;]
 359 qed.
 360
 361 (* Part of proposition 9.9 *)
 362 lemma f_minus_star_image_monotone: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p,q. p ≤ q → R⎻* p ≤ R⎻* q.
 363  intros;
 364  apply (. (or_prop2 : ?)^ -1);
 365  apply oa_leq_trans; [3: apply f; | skip | apply (. (or_prop2 : ?)); apply oa_leq_refl;]
 366 qed.
 367
 368 (* Part of proposition 9.9 *)
 369 lemma f_image_monotone: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p,q. p ≤ q → R p ≤ R q.
 370  intros;
 371  apply (. (or_prop1 : ?));
 372  apply oa_leq_trans; [2: apply f; | skip | apply (. (or_prop1 : ?)^ -1); apply oa_leq_refl;]
 373 qed.
 374
 375 (* Part of proposition 9.9 *)
 376 lemma f_star_image_monotone: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p,q. p ≤ q → R* p ≤ R* q.
 377  intros;
 378  apply (. (or_prop1 : ?)^ -1);
 379  apply oa_leq_trans; [3: apply f; | skip | apply (. (or_prop1 : ?)); apply oa_leq_refl;]
 380 qed.
 381
 382 lemma lemma_10_2_a: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. p ≤ R⎻* (R⎻ p).
 383  intros;
 384  apply (. (or_prop2 : ?)^-1);
 385  apply oa_leq_refl.
 386 qed.
 387
 388 lemma lemma_10_2_b: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. R⎻ (R⎻* p) ≤ p.
 389  intros;
 390  apply (. (or_prop2 : ?));
 391  apply oa_leq_refl.
 392 qed.
 393
 394 lemma lemma_10_2_c: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. p ≤ R* (R p).
 395  intros;
 396  apply (. (or_prop1 : ?)^-1);
 397  apply oa_leq_refl.
 398 qed.
 399
 400 lemma lemma_10_2_d: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. R (R* p) ≤ p.
 401  intros;
 402  apply (. (or_prop1 : ?));
 403  apply oa_leq_refl.
 404 qed.
 405
 406 lemma lemma_10_3_a: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. R⎻ (R⎻* (R⎻ p)) = R⎻ p.
 407  intros; apply oa_leq_antisym;
 408   [ apply lemma_10_2_b;
 409   | apply f_minus_image_monotone;
 410     apply lemma_10_2_a; ]
 411 qed.
 412
 413 lemma lemma_10_3_b: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. R* (R (R* p)) = R* p.
 414  intros; apply oa_leq_antisym;
 415   [ apply f_star_image_monotone;
 416     apply (lemma_10_2_d ?? R p);
 417   | apply lemma_10_2_c; ]
 418 qed.
 419
 420 lemma lemma_10_3_c: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. R (R* (R p)) = R p.
 421  intros; apply oa_leq_antisym;
 422   [ apply lemma_10_2_d;
 423   | apply f_image_monotone;
 424     apply (lemma_10_2_c ?? R p); ]
 425 qed.
 426
 427 lemma lemma_10_3_d: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. R⎻* (R⎻ (R⎻* p)) = R⎻* p.
 428  intros; apply oa_leq_antisym;
 429   [ apply f_minus_star_image_monotone;
 430     apply (lemma_10_2_b ?? R p);
 431   | apply lemma_10_2_a; ]
 432 qed.
 433
 434 lemma lemma_10_4_a: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. R⎻* (R⎻ (R⎻* (R⎻ p))) = R⎻* (R⎻ p).
 435  intros; apply (†(lemma_10_3_a ?? R p));
 436 qed.
 437
 438 lemma lemma_10_4_b: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. R (R* (R (R* p))) = R (R* p).
 439 intros; unfold in ⊢ (? ? ? % %); apply (†(lemma_10_3_b ?? R p));
 440 qed.
 441
 442 lemma oa_overlap_sym': ∀o:OA.∀U,V:o. (U >< V) = (V >< U).
 443  intros; split; intro; apply oa_overlap_sym; assumption.
 444 qed.