helm/software/matita/contribs/library_auto/auto/nat/div_and_mod.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/library_autobatch/nat/div_and_mod".
  16
  17 include "datatypes/constructors.ma".
  18 include "auto/nat/minus.ma".
  19
  20 let rec mod_aux p m n: nat \def
  21 match (leb m n) with
  22 [ true \Rightarrow m
  23 | false \Rightarrow
  24   match p with
  25   [O \Rightarrow m
  26   |(S q) \Rightarrow mod_aux q (m-(S n)) n]].
  27
  28 definition mod : nat \to nat \to nat \def
  29 \lambda n,m.
  30 match m with
  31 [O \Rightarrow m
  32 | (S p) \Rightarrow mod_aux n n p].
  33
  34 interpretation "natural remainder" 'module x y = (mod x y).
  35
  36 let rec div_aux p m n : nat \def
  37 match (leb m n) with
  38 [ true \Rightarrow O
  39 | false \Rightarrow
  40   match p with
  41   [O \Rightarrow O
  42   |(S q) \Rightarrow S (div_aux q (m-(S n)) n)]].
  43
  44 definition div : nat \to nat \to nat \def
  45 \lambda n,m.
  46 match m with
  47 [O \Rightarrow S n
  48 | (S p) \Rightarrow div_aux n n p].
  49
  50 interpretation "natural divide" 'divide x y = (div x y).
  51
  52 theorem le_mod_aux_m_m:
  53 \forall p,n,m. n \leq p \to (mod_aux p n m) \leq m.
  54 intro.
  55 elim p
  56 [ apply (le_n_O_elim n H (\lambda n.(mod_aux O n m) \leq m)).
  57   autobatch
  58   (*simplify.
  59   apply le_O_n*)
  60 | simplify.
  61   apply (leb_elim n1 m);simplify;intro
  62   [ assumption
  63   | apply H.
  64     cut (n1 \leq (S n) \to n1-(S m) \leq n)
  65     [ autobatch
  66       (*apply Hcut.
  67       assumption*)
  68     | elim n1;simplify;autobatch
  69       (*[ apply le_O_n.
  70       | apply (trans_le ? n2 n)
  71         [ apply le_minus_m
  72         | apply le_S_S_to_le.
  73           assumption
  74         ]
  75       ]*)
  76     ]
  77   ]
  78 ]
  79 qed.
  80
  81 theorem lt_mod_m_m: \forall n,m. O < m \to (n \mod m) < m.
  82 intros 2.
  83 elim m
  84 [ apply False_ind.
  85   apply (not_le_Sn_O O H)
  86 | simplify.
  87   autobatch
  88   (*unfold lt.
  89   apply le_S_S.
  90   apply le_mod_aux_m_m.
  91   apply le_n*)
  92 ]
  93 qed.
  94
  95 theorem div_aux_mod_aux: \forall p,n,m:nat.
  96 (n=(div_aux p n m)*(S m) + (mod_aux p n m)).
  97 intro.
  98 elim p;simplify
  99 [ elim (leb n m);autobatch
 100     (*simplify;apply refl_eq.*)
 101 | apply (leb_elim n1 m);simplify;intro
 102   [ apply refl_eq
 103   | rewrite > assoc_plus.
 104     elim (H (n1-(S m)) m).
 105     change with (n1=(S m)+(n1-(S m))).
 106     rewrite < sym_plus.
 107     autobatch
 108     (*apply plus_minus_m_m.
 109     change with (m < n1).
 110     apply not_le_to_lt.
 111     exact H1*)
 112   ]
 113 ]
 114 qed.
 115
 116 theorem div_mod: \forall n,m:nat. O < m \to n=(n / m)*m+(n \mod m).
 117 intros 2.
 118 elim m
 119 [ elim (not_le_Sn_O O H)
 120 | simplify.
 121   apply div_aux_mod_aux
 122 ]
 123 qed.
 124
 125 inductive div_mod_spec (n,m,q,r:nat) : Prop \def
 126 div_mod_spec_intro: r < m \to n=q*m+r \to (div_mod_spec n m q r).
 127
 128 (*
 129 definition div_mod_spec : nat \to nat \to nat \to nat \to Prop \def
 130 \lambda n,m,q,r:nat.r < m \land n=q*m+r).
 131 *)
 132
 133 theorem div_mod_spec_to_not_eq_O: \forall n,m,q,r.(div_mod_spec n m q r) \to m \neq O.
 134 intros 4.
 135 unfold Not.
 136 intros.
 137 elim H.
 138 absurd (le (S r) O);autobatch.
 139 (*[ rewrite < H1.
 140   assumption
 141 | exact (not_le_Sn_O r).
 142 ]*)
 143 qed.
 144
 145 theorem div_mod_spec_div_mod:
 146 \forall n,m. O < m \to (div_mod_spec n m (n / m) (n \mod m)).
 147 intros.
 148 autobatch.
 149 (*apply div_mod_spec_intro
 150 [ apply lt_mod_m_m.
 151   assumption
 152 | apply div_mod.
 153   assumption
 154 ]*)
 155 qed.
 156
 157 theorem div_mod_spec_to_eq :\forall a,b,q,r,q1,r1.
 158 (div_mod_spec a b q r) \to (div_mod_spec a b q1 r1) \to
 159 (eq nat q q1).
 160 intros.
 161 elim H.
 162 elim H1.
 163 apply (nat_compare_elim q q1)
 164 [ intro.
 165   apply False_ind.
 166   cut (eq nat ((q1-q)*b+r1) r)
 167   [ cut (b \leq (q1-q)*b+r1)
 168     [ cut (b \leq r)
 169       [ apply (lt_to_not_le r b H2 Hcut2)
 170       | elim Hcut.
 171         assumption
 172       ]
 173     | apply (trans_le ? ((q1-q)*b));autobatch
 174       (*[ apply le_times_n.
 175         apply le_SO_minus.
 176         exact H6
 177       | rewrite < sym_plus.
 178         apply le_plus_n
 179       ]*)
 180     ]
 181   | rewrite < sym_times.
 182     rewrite > distr_times_minus.
 183     rewrite > plus_minus;autobatch
 184     (*[ rewrite > sym_times.
 185       rewrite < H5.
 186       rewrite < sym_times.
 187       apply plus_to_minus.
 188       apply H3
 189     | apply le_times_r.
 190       apply lt_to_le.
 191       apply H6
 192     ]*)
 193   ]
 194 | (* eq case *)
 195   autobatch
 196   (*intros.
 197   assumption*)
 198 | (* the following case is symmetric *)
 199   intro.
 200   apply False_ind.
 201   cut (eq nat ((q-q1)*b+r) r1)
 202   [ cut (b \leq (q-q1)*b+r)
 203     [ cut (b \leq r1)
 204       [ apply (lt_to_not_le r1 b H4 Hcut2)
 205       | elim Hcut.
 206         assumption
 207       ]
 208     | apply (trans_le ? ((q-q1)*b));autobatch
 209       (*[ apply le_times_n.
 210         apply le_SO_minus.
 211         exact H6
 212       | rewrite < sym_plus.
 213         apply le_plus_n
 214       ]*)
 215     ]
 216   | rewrite < sym_times.
 217     rewrite > distr_times_minus.
 218     rewrite > plus_minus;autobatch
 219     (*[ rewrite > sym_times.
 220       rewrite < H3.
 221       rewrite < sym_times.
 222       apply plus_to_minus.
 223       apply H5
 224     | apply le_times_r.
 225       apply lt_to_le.
 226       apply H6
 227     ]*)
 228   ]
 229 ]
 230 qed.
 231
 232 theorem div_mod_spec_to_eq2 :\forall a,b,q,r,q1,r1.
 233 (div_mod_spec a b q r) \to (div_mod_spec a b q1 r1) \to
 234 (eq nat r r1).
 235 intros.
 236 elim H.
 237 elim H1.
 238 apply (inj_plus_r (q*b)).
 239 rewrite < H3.
 240 rewrite > (div_mod_spec_to_eq a b q r q1 r1 H H1).
 241 assumption.
 242 qed.
 243
 244 theorem div_mod_spec_times : \forall n,m:nat.div_mod_spec ((S n)*m) (S n) m O.
 245 intros.
 246 autobatch.
 247 (*constructor 1
 248 [ unfold lt.
 249   apply le_S_S.
 250   apply le_O_n
 251 | rewrite < plus_n_O.
 252   rewrite < sym_times.
 253   reflexivity
 254 ]*)
 255 qed.
 256
 257
 258 (*il corpo del seguente teorema non e' stato strutturato *)
 259 (* some properties of div and mod *)
 260 theorem div_times: \forall n,m:nat. ((S n)*m) / (S n) = m.
 261 intros.
 262 apply (div_mod_spec_to_eq ((S n)*m) (S n) ? ? ? O);
 263 [2: apply div_mod_spec_div_mod.autobatch.
 264 | skip
 265 | autobatch
 266 ]
 267 (*unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 268 apply div_mod_spec_times.*)
 269 qed.
 270
 271 theorem div_n_n: \forall n:nat. O < n \to n / n = S O.
 272 intros.
 273 apply (div_mod_spec_to_eq n n (n / n) (n \mod n) (S O) O);autobatch.
 274 (*[ apply div_mod_spec_div_mod.
 275   assumption
 276 | constructor 1
 277   [ assumption
 278   | rewrite < plus_n_O.
 279     simplify.
 280     rewrite < plus_n_O.
 281     reflexivity
 282   ]
 283 ] *)
 284 qed.
 285
 286 theorem eq_div_O: \forall n,m. n < m \to n / m = O.
 287 intros.
 288 apply (div_mod_spec_to_eq n m (n/m) (n \mod m) O n);autobatch.
 289 (*[ apply div_mod_spec_div_mod.
 290   apply (le_to_lt_to_lt O n m)
 291   [ apply le_O_n
 292   | assumption
 293   ]
 294 | constructor 1
 295   [ assumption
 296   | reflexivity
 297   ]
 298 ]*)
 299 qed.
 300
 301 theorem mod_n_n: \forall n:nat. O < n \to n \mod n = O.
 302 intros.
 303 apply (div_mod_spec_to_eq2 n n (n / n) (n \mod n) (S O) O);autobatch.
 304 (*[ apply div_mod_spec_div_mod.
 305   assumption
 306 | constructor 1
 307   [ assumption.
 308   | rewrite < plus_n_O.
 309     simplify.
 310     rewrite < plus_n_O.
 311     reflexivity
 312   ]
 313 ]*)
 314 qed.
 315
 316 theorem mod_S: \forall n,m:nat. O < m \to S (n \mod m) < m \to
 317 ((S n) \mod m) = S (n \mod m).
 318 intros.
 319 apply (div_mod_spec_to_eq2 (S n) m ((S n) / m) ((S n) \mod m) (n / m) (S (n \mod m)))
 320 [ autobatch
 321   (*apply div_mod_spec_div_mod.
 322   assumption*)
 323 | constructor 1
 324   [ assumption
 325   | rewrite < plus_n_Sm.
 326     autobatch
 327     (*apply eq_f.
 328     apply div_mod.
 329     assumption*)
 330   ]
 331 ]
 332 qed.
 333
 334 theorem mod_O_n: \forall n:nat.O \mod n = O.
 335 intro.
 336 elim n;autobatch.
 337   (*simplify;reflexivity*)
 338
 339 qed.
 340
 341 theorem lt_to_eq_mod:\forall n,m:nat. n < m \to n \mod m = n.
 342 intros.
 343 apply (div_mod_spec_to_eq2 n m (n/m) (n \mod m) O n);autobatch.
 344 (*[ apply div_mod_spec_div_mod.
 345   apply (le_to_lt_to_lt O n m)
 346   [ apply le_O_n
 347   | assumption
 348   ]
 349 | constructor 1.
 350   [ assumption
 351   | reflexivity
 352   ]
 353 ]*)
 354 qed.
 355
 356 (* injectivity *)
 357 theorem injective_times_r: \forall n:nat.injective nat nat (\lambda m:nat.(S n)*m).
 358 change with (\forall n,p,q:nat.(S n)*p = (S n)*q \to p=q).
 359 intros.
 360 rewrite < (div_times n).
 361 autobatch.
 362 (*rewrite < (div_times n q).
 363 apply eq_f2
 364 [ assumption
 365 | reflexivity
 366 ]*)
 367 qed.
 368
 369 variant inj_times_r : \forall n,p,q:nat.(S n)*p = (S n)*q \to p=q \def
 370 injective_times_r.
 371
 372 theorem lt_O_to_injective_times_r: \forall n:nat. O < n \to injective nat nat (\lambda m:nat.n*m).
 373 simplify.
 374 intros 4.
 375 apply (lt_O_n_elim n H).
 376 intros.
 377 autobatch.
 378 (*apply (inj_times_r m).
 379 assumption.*)
 380 qed.
 381
 382 variant inj_times_r1:\forall n. O < n \to \forall p,q:nat.n*p = n*q \to p=q
 383 \def lt_O_to_injective_times_r.
 384
 385 theorem injective_times_l: \forall n:nat.injective nat nat (\lambda m:nat.m*(S n)).
 386 simplify.
 387 intros.
 388 autobatch.
 389 (*apply (inj_times_r n x y).
 390 rewrite < sym_times.
 391 rewrite < (sym_times y).
 392 assumption.*)
 393 qed.
 394
 395 variant inj_times_l : \forall n,p,q:nat. p*(S n) = q*(S n) \to p=q \def
 396 injective_times_l.
 397
 398 theorem lt_O_to_injective_times_l: \forall n:nat. O < n \to injective nat nat (\lambda m:nat.m*n).
 399 simplify.
 400 intros 4.
 401 apply (lt_O_n_elim n H).
 402 intros.
 403 autobatch.
 404 (*apply (inj_times_l m).
 405 assumption.*)
 406 qed.
 407
 408 variant inj_times_l1:\forall n. O < n \to \forall p,q:nat.p*n = q*n \to p=q
 409 \def lt_O_to_injective_times_l.
 410
 411 (* n_divides computes the pair (div,mod) *)
 412
 413 (* p is just an upper bound, acc is an accumulator *)
 414 let rec n_divides_aux p n m acc \def
 415   match n \mod m with
 416   [ O \Rightarrow
 417     match p with
 418       [ O \Rightarrow pair nat nat acc n
 419       | (S p) \Rightarrow n_divides_aux p (n / m) m (S acc)]
 420   | (S a) \Rightarrow pair nat nat acc n].
 421
 422 (* n_divides n m = <q,r> if m divides n q times, with remainder r *)
 423 definition n_divides \def \lambda n,m:nat.n_divides_aux n n m O.