helm/software/matita/contribs/ng_TPTP/CASC_2008/RNG009-7.ma

   1 include "logic/equality.ma".
   2
   3 (* Inclusion of: RNG009-7.p *)
   4
   5 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
   6
   7 (*  File     : RNG009-7 : TPTP v3.7.0. Released v1.0.0. *)
   8
   9 (*  Domain   : Ring Theory *)
  10
  11 (*  Problem  : If X*X*X = X then the ring is commutative *)
  12
  13 (*  Version  : [LW91] (equality) axioms. *)
  14
  15 (*  English  : Given a ring in which for all x, x * x * x = x, prove that  *)
  16
  17 (*             for all x and y, x * y = y * x. *)
  18
  19 (*  Refs     : [LO85]  Lusk & Overbeek (1985), Reasoning about Equality *)
  20
  21 (*           : [LW91]  Lusk & Wos (1991), Benchmark Problems in Which Equalit *)
  22
  23 (*  Source   : [LW91] *)
  24
  25 (*  Names    : Problem 6 [LO85] *)
  26
  27 (*           : RT2 [LW91] *)
  28
  29 (*  Status   : Unsatisfiable *)
  30
  31 (*  Rating   : 0.56 v3.4.0, 0.62 v3.3.0, 0.50 v3.1.0, 0.33 v2.7.0, 0.36 v2.6.0, 0.17 v2.5.0, 0.25 v2.4.0, 0.00 v2.2.1, 0.56 v2.2.0, 0.71 v2.1.0, 1.00 v2.0.0 *)
  32
  33 (*  Syntax   : Number of clauses     :   12 (   0 non-Horn;  12 unit;   2 RR) *)
  34
  35 (*             Number of atoms       :   12 (  12 equality) *)
  36
  37 (*             Maximal clause size   :    1 (   1 average) *)
  38
  39 (*             Number of predicates  :    1 (   0 propositional; 2-2 arity) *)
  40
  41 (*             Number of functors    :    7 (   4 constant; 0-2 arity) *)
  42
  43 (*             Number of variables   :   19 (   0 singleton) *)
  44
  45 (*             Maximal term depth    :    3 (   2 average) *)
  46
  47 (*  Comments :  *)
  48
  49 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
  50
  51 (* ----Include ring theory axioms  *)
  52
  53 (* Inclusion of: Axioms/RNG005-0.ax *)
  54
  55 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
  56
  57 (*  File     : RNG005-0 : TPTP v3.7.0. Released v1.0.0. *)
  58
  59 (*  Domain   : Ring Theory  *)
  60
  61 (*  Axioms   : Ring theory (equality) axioms *)
  62
  63 (*  Version  : [LW92] (equality) axioms. *)
  64
  65 (*  English  :  *)
  66
  67 (*  Refs     : [Wos88] Wos (1988), Automated Reasoning - 33 Basic Research Pr *)
  68
  69 (*           : [LW92]  Lusk & Wos (1992), Benchmark Problems in Which Equalit *)
  70
  71 (*  Source   : [LW92] *)
  72
  73 (*  Names    :  *)
  74
  75 (*  Status   :  *)
  76
  77 (*  Syntax   : Number of clauses    :    9 (   0 non-Horn;   9 unit;   0 RR) *)
  78
  79 (*             Number of atoms      :    9 (   9 equality) *)
  80
  81 (*             Maximal clause size  :    1 (   1 average) *)
  82
  83 (*             Number of predicates :    1 (   0 propositional; 2-2 arity) *)
  84
  85 (*             Number of functors   :    4 (   1 constant; 0-2 arity) *)
  86
  87 (*             Number of variables  :   18 (   0 singleton) *)
  88
  89 (*             Maximal term depth   :    3 (   2 average) *)
  90
  91 (*  Comments : These axioms are used in [Wos88] p.203. *)
  92
  93 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
  94
  95 (* ----There exists an additive identity element  *)
  96
  97 (* ----Existence of left additive additive_inverse  *)
  98
  99 (* ----Associativity for addition  *)
 100
 101 (* ----Commutativity for addition  *)
 102
 103 (* ----Associativity for multiplication  *)
 104
 105 (* ----Distributive property of product over sum  *)
 106
 107 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
 108
 109 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
 110 ntheorem prove_commutativity:
 111  (∀Univ:Type.∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.
 112 ∀a:Univ.
 113 ∀add:∀_:Univ.∀_:Univ.Univ.
 114 ∀additive_identity:Univ.
 115 ∀additive_inverse:∀_:Univ.Univ.
 116 ∀b:Univ.
 117 ∀c:Univ.
 118 ∀multiply:∀_:Univ.∀_:Univ.Univ.
 119 ∀H0:eq Univ (multiply a b) c.
 120 ∀H1:∀X:Univ.eq Univ (multiply X (multiply X X)) X.
 121 ∀H2:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (multiply (add X Y) Z) (add (multiply X Z) (multiply Y Z)).
 122 ∀H3:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (multiply X (add Y Z)) (add (multiply X Y) (multiply X Z)).
 123 ∀H4:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (multiply X (multiply Y Z)) (multiply (multiply X Y) Z).
 124 ∀H5:∀X:Univ.∀Y:Univ.eq Univ (add X Y) (add Y X).
 125 ∀H6:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (add X (add Y Z)) (add (add X Y) Z).
 126 ∀H7:∀X:Univ.eq Univ (add X (additive_inverse X)) additive_identity.
 127 ∀H8:∀X:Univ.eq Univ (add (additive_inverse X) X) additive_identity.
 128 ∀H9:∀X:Univ.eq Univ (add X additive_identity) X.
 129 ∀H10:∀X:Univ.eq Univ (add additive_identity X) X.eq Univ (multiply b a) c)
 130 .
 131 #Univ ##.
 132 #X ##.
 133 #Y ##.
 134 #Z ##.
 135 #a ##.
 136 #add ##.
 137 #additive_identity ##.
 138 #additive_inverse ##.
 139 #b ##.
 140 #c ##.
 141 #multiply ##.
 142 #H0 ##.
 143 #H1 ##.
 144 #H2 ##.
 145 #H3 ##.
 146 #H4 ##.
 147 #H5 ##.
 148 #H6 ##.
 149 #H7 ##.
 150 #H8 ##.
 151 #H9 ##.
 152 #H10 ##.
 153 nauto by H0,H1,H2,H3,H4,H5,H6,H7,H8,H9,H10 ##;
 154 ntry (nassumption) ##;
 155 nqed.
 156
 157 (* -------------------------------------------------------------------------- *)