helm/software/matita/contribs/ng_TPTP/GRP002-2.ma

   1 include "logic/equality.ma".
   2
   3 (* Inclusion of: GRP002-2.p *)
   4
   5 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
   6
   7 (*  File     : GRP002-2 : TPTP v3.7.0. Bugfixed v1.2.1. *)
   8
   9 (*  Domain   : Group Theory *)
  10
  11 (*  Problem  : Commutator equals identity in groups of order 3 *)
  12
  13 (*  Version  : [MOW76] (equality) axioms. *)
  14
  15 (*  English  : In a group, if (for all x) the cube of x is the identity  *)
  16
  17 (*             (i.e. a group of order 3), then the equation [[x,y],y]=  *)
  18
  19 (*             identity holds, where [x,y] is the product of x, y, the  *)
  20
  21 (*             inverse of x and the inverse of y (i.e. the commutator  *)
  22
  23 (*             of x and y). *)
  24
  25 (*  Refs     : [MOW76] McCharen et al. (1976), Problems and Experiments for a *)
  26
  27 (*  Source   : [ANL] *)
  28
  29 (*  Names    : commutator.ver2.in [ANL] *)
  30
  31 (*  Status   : Unsatisfiable *)
  32
  33 (*  Rating   : 0.11 v3.4.0, 0.12 v3.3.0, 0.00 v2.2.1, 0.22 v2.2.0, 0.29 v2.1.0, 0.29 v2.0.0 *)
  34
  35 (*  Syntax   : Number of clauses     :   12 (   0 non-Horn;  12 unit;   6 RR) *)
  36
  37 (*             Number of atoms       :   12 (  12 equality) *)
  38
  39 (*             Maximal clause size   :    1 (   1 average) *)
  40
  41 (*             Number of predicates  :    1 (   0 propositional; 2-2 arity) *)
  42
  43 (*             Number of functors    :   10 (   8 constant; 0-2 arity) *)
  44
  45 (*             Number of variables   :    8 (   0 singleton) *)
  46
  47 (*             Maximal term depth    :    3 (   2 average) *)
  48
  49 (*  Comments :  *)
  50
  51 (*  Bugfixes : v1.2.1 - Clause x_cubed_is_identity fixed. *)
  52
  53 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
  54
  55 (* Inclusion of: Axioms/GRP004-0.ax *)
  56
  57 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
  58
  59 (*  File     : GRP004-0 : TPTP v3.7.0. Released v1.0.0. *)
  60
  61 (*  Domain   : Group Theory *)
  62
  63 (*  Axioms   : Group theory (equality) axioms *)
  64
  65 (*  Version  : [MOW76] (equality) axioms :  *)
  66
  67 (*             Reduced > Complete. *)
  68
  69 (*  English  :  *)
  70
  71 (*  Refs     : [MOW76] McCharen et al. (1976), Problems and Experiments for a *)
  72
  73 (*           : [Wos88] Wos (1988), Automated Reasoning - 33 Basic Research Pr *)
  74
  75 (*  Source   : [ANL] *)
  76
  77 (*  Names    :  *)
  78
  79 (*  Status   :  *)
  80
  81 (*  Syntax   : Number of clauses    :    3 (   0 non-Horn;   3 unit;   0 RR) *)
  82
  83 (*             Number of atoms      :    3 (   3 equality) *)
  84
  85 (*             Maximal clause size  :    1 (   1 average) *)
  86
  87 (*             Number of predicates :    1 (   0 propositional; 2-2 arity) *)
  88
  89 (*             Number of functors   :    3 (   1 constant; 0-2 arity) *)
  90
  91 (*             Number of variables  :    5 (   0 singleton) *)
  92
  93 (*             Maximal term depth   :    3 (   2 average) *)
  94
  95 (*  Comments : [MOW76] also contains redundant right_identity and *)
  96
  97 (*             right_inverse axioms. *)
  98
  99 (*           : These axioms are also used in [Wos88] p.186, also with *)
 100
 101 (*             right_identity and right_inverse. *)
 102
 103 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
 104
 105 (* ----For any x and y in the group x*y is also in the group. No clause  *)
 106
 107 (* ----is needed here since this is an instance of reflexivity  *)
 108
 109 (* ----There exists an identity element  *)
 110
 111 (* ----For any x in the group, there exists an element y such that x*y = y*x  *)
 112
 113 (* ----= identity. *)
 114
 115 (* ----The operation '*' is associative  *)
 116
 117 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
 118
 119 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
 120
 121 (* ----Redundant two axioms, but established in standard axiomatizations. *)
 122
 123 (* ----This hypothesis is omitted in the ANL source version  *)
 124 ntheorem prove_k_times_inverse_b_is_e:
 125  (∀Univ:Type.∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.
 126 ∀a:Univ.
 127 ∀b:Univ.
 128 ∀c:Univ.
 129 ∀d:Univ.
 130 ∀h:Univ.
 131 ∀identity:Univ.
 132 ∀inverse:∀_:Univ.Univ.
 133 ∀j:Univ.
 134 ∀k:Univ.
 135 ∀multiply:∀_:Univ.∀_:Univ.Univ.
 136 ∀H0:eq Univ (multiply j (inverse h)) k.
 137 ∀H1:eq Univ (multiply h b) j.
 138 ∀H2:eq Univ (multiply d (inverse b)) h.
 139 ∀H3:eq Univ (multiply c (inverse a)) d.
 140 ∀H4:eq Univ (multiply a b) c.
 141 ∀H5:∀X:Univ.eq Univ (multiply X (multiply X X)) identity.
 142 ∀H6:∀X:Univ.eq Univ (multiply X (inverse X)) identity.
 143 ∀H7:∀X:Univ.eq Univ (multiply X identity) X.
 144 ∀H8:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (multiply (multiply X Y) Z) (multiply X (multiply Y Z)).
 145 ∀H9:∀X:Univ.eq Univ (multiply (inverse X) X) identity.
 146 ∀H10:∀X:Univ.eq Univ (multiply identity X) X.eq Univ (multiply k (inverse b)) identity)
 147 .
 148 #Univ ##.
 149 #X ##.
 150 #Y ##.
 151 #Z ##.
 152 #a ##.
 153 #b ##.
 154 #c ##.
 155 #d ##.
 156 #h ##.
 157 #identity ##.
 158 #inverse ##.
 159 #j ##.
 160 #k ##.
 161 #multiply ##.
 162 #H0 ##.
 163 #H1 ##.
 164 #H2 ##.
 165 #H3 ##.
 166 #H4 ##.
 167 #H5 ##.
 168 #H6 ##.
 169 #H7 ##.
 170 #H8 ##.
 171 #H9 ##.
 172 #H10 ##.
 173 nauto by H0,H1,H2,H3,H4,H5,H6,H7,H8,H9,H10 ##;
 174 ntry (nassumption) ##;
 175 nqed.
 176
 177 (* -------------------------------------------------------------------------- *)