helm/software/matita/contribs/ng_TPTP/GRP002-4.ma

   1 include "logic/equality.ma".
   2
   3 (* Inclusion of: GRP002-4.p *)
   4
   5 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
   6
   7 (*  File     : GRP002-4 : TPTP v3.7.0. Released v1.0.0. *)
   8
   9 (*  Domain   : Group Theory *)
  10
  11 (*  Problem  : Commutator equals identity in groups of order 3 *)
  12
  13 (*  Version  : [MOW76] (equality) axioms. *)
  14
  15 (*             Theorem formulation : Explicit formulation of the commutator. *)
  16
  17 (*  English  : In a group, if (for all x) the cube of x is the identity  *)
  18
  19 (*             (i.e. a group of order 3), then the equation [[x,y],y]=  *)
  20
  21 (*             identity holds, where [x,y] is the product of x, y, the  *)
  22
  23 (*             inverse of x and the inverse of y (i.e. the commutator  *)
  24
  25 (*             of x and y). *)
  26
  27 (*  Refs     : [MOW76] McCharen et al. (1976), Problems and Experiments for a *)
  28
  29 (*           : [LO85]  Lusk & Overbeek (1985), Reasoning about Equality *)
  30
  31 (*           : [Wos88] Wos (1988), Automated Reasoning - 33 Basic Research Pr *)
  32
  33 (*           : [LW92]  Lusk & Wos (1992), Benchmark Problems in Which Equalit *)
  34
  35 (*  Source   : [TPTP] *)
  36
  37 (*  Names    : Problem 4 [LO85] *)
  38
  39 (*           : Test Problem 2 [Wos88] *)
  40
  41 (*           : Commutator Theorem [Wos88] *)
  42
  43 (*           : GT3 [LW92] *)
  44
  45 (*  Status   : Unsatisfiable *)
  46
  47 (*  Rating   : 0.11 v3.4.0, 0.12 v3.3.0, 0.00 v3.1.0, 0.11 v2.7.0, 0.00 v2.2.1, 0.33 v2.2.0, 0.43 v2.1.0, 0.25 v2.0.0 *)
  48
  49 (*  Syntax   : Number of clauses     :    8 (   0 non-Horn;   8 unit;   1 RR) *)
  50
  51 (*             Number of atoms       :    8 (   8 equality) *)
  52
  53 (*             Maximal clause size   :    1 (   1 average) *)
  54
  55 (*             Number of predicates  :    1 (   0 propositional; 2-2 arity) *)
  56
  57 (*             Number of functors    :    6 (   3 constant; 0-2 arity) *)
  58
  59 (*             Number of variables   :   10 (   0 singleton) *)
  60
  61 (*             Maximal term depth    :    5 (   2 average) *)
  62
  63 (*  Comments :  *)
  64
  65 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
  66
  67 (* ----Include group theory axioms  *)
  68
  69 (* Inclusion of: Axioms/GRP004-0.ax *)
  70
  71 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
  72
  73 (*  File     : GRP004-0 : TPTP v3.7.0. Released v1.0.0. *)
  74
  75 (*  Domain   : Group Theory *)
  76
  77 (*  Axioms   : Group theory (equality) axioms *)
  78
  79 (*  Version  : [MOW76] (equality) axioms :  *)
  80
  81 (*             Reduced > Complete. *)
  82
  83 (*  English  :  *)
  84
  85 (*  Refs     : [MOW76] McCharen et al. (1976), Problems and Experiments for a *)
  86
  87 (*           : [Wos88] Wos (1988), Automated Reasoning - 33 Basic Research Pr *)
  88
  89 (*  Source   : [ANL] *)
  90
  91 (*  Names    :  *)
  92
  93 (*  Status   :  *)
  94
  95 (*  Syntax   : Number of clauses    :    3 (   0 non-Horn;   3 unit;   0 RR) *)
  96
  97 (*             Number of atoms      :    3 (   3 equality) *)
  98
  99 (*             Maximal clause size  :    1 (   1 average) *)
 100
 101 (*             Number of predicates :    1 (   0 propositional; 2-2 arity) *)
 102
 103 (*             Number of functors   :    3 (   1 constant; 0-2 arity) *)
 104
 105 (*             Number of variables  :    5 (   0 singleton) *)
 106
 107 (*             Maximal term depth   :    3 (   2 average) *)
 108
 109 (*  Comments : [MOW76] also contains redundant right_identity and *)
 110
 111 (*             right_inverse axioms. *)
 112
 113 (*           : These axioms are also used in [Wos88] p.186, also with *)
 114
 115 (*             right_identity and right_inverse. *)
 116
 117 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
 118
 119 (* ----For any x and y in the group x*y is also in the group. No clause  *)
 120
 121 (* ----is needed here since this is an instance of reflexivity  *)
 122
 123 (* ----There exists an identity element  *)
 124
 125 (* ----For any x in the group, there exists an element y such that x*y = y*x  *)
 126
 127 (* ----= identity. *)
 128
 129 (* ----The operation '*' is associative  *)
 130
 131 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
 132
 133 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
 134
 135 (* ----Redundant two axioms, but used in established axiomatizations. *)
 136
 137 (* ----Definition of the commutator  *)
 138 ntheorem prove_commutator:
 139  (∀Univ:Type.∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.
 140 ∀a:Univ.
 141 ∀b:Univ.
 142 ∀commutator:∀_:Univ.∀_:Univ.Univ.
 143 ∀identity:Univ.
 144 ∀inverse:∀_:Univ.Univ.
 145 ∀multiply:∀_:Univ.∀_:Univ.Univ.
 146 ∀H0:∀X:Univ.eq Univ (multiply X (multiply X X)) identity.
 147 ∀H1:∀X:Univ.∀Y:Univ.eq Univ (commutator X Y) (multiply X (multiply Y (multiply (inverse X) (inverse Y)))).
 148 ∀H2:∀X:Univ.eq Univ (multiply X (inverse X)) identity.
 149 ∀H3:∀X:Univ.eq Univ (multiply X identity) X.
 150 ∀H4:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (multiply (multiply X Y) Z) (multiply X (multiply Y Z)).
 151 ∀H5:∀X:Univ.eq Univ (multiply (inverse X) X) identity.
 152 ∀H6:∀X:Univ.eq Univ (multiply identity X) X.eq Univ (commutator (commutator a b) b) identity)
 153 .
 154 #Univ ##.
 155 #X ##.
 156 #Y ##.
 157 #Z ##.
 158 #a ##.
 159 #b ##.
 160 #commutator ##.
 161 #identity ##.
 162 #inverse ##.
 163 #multiply ##.
 164 #H0 ##.
 165 #H1 ##.
 166 #H2 ##.
 167 #H3 ##.
 168 #H4 ##.
 169 #H5 ##.
 170 #H6 ##.
 171 nauto by H0,H1,H2,H3,H4,H5,H6 ##;
 172 ntry (nassumption) ##;
 173 nqed.
 174
 175 (* -------------------------------------------------------------------------- *)