helm/software/matita/contribs/ng_TPTP/GRP012-4.ma

   1 include "logic/equality.ma".
   2
   3 (* Inclusion of: GRP012-4.p *)
   4
   5 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
   6
   7 (*  File     : GRP012-4 : TPTP v3.7.0. Released v1.0.0. *)
   8
   9 (*  Domain   : Group Theory *)
  10
  11 (*  Problem  : Inverse of products = Product of inverses *)
  12
  13 (*  Version  : [MOW76] (equality) axioms : Augmented. *)
  14
  15 (*  English  : The inverse of products equals the product of the inverse,  *)
  16
  17 (*             in opposite order *)
  18
  19 (*  Refs     : [MOW76] McCharen et al. (1976), Problems and Experiments for a *)
  20
  21 (*  Source   : [ANL] *)
  22
  23 (*  Names    : - [ANL] *)
  24
  25 (*  Status   : Unsatisfiable *)
  26
  27 (*  Rating   : 0.00 v2.2.1, 0.22 v2.2.0, 0.29 v2.1.0, 0.25 v2.0.0 *)
  28
  29 (*  Syntax   : Number of clauses     :    6 (   0 non-Horn;   6 unit;   1 RR) *)
  30
  31 (*             Number of atoms       :    6 (   6 equality) *)
  32
  33 (*             Maximal clause size   :    1 (   1 average) *)
  34
  35 (*             Number of predicates  :    1 (   0 propositional; 2-2 arity) *)
  36
  37 (*             Number of functors    :    5 (   3 constant; 0-2 arity) *)
  38
  39 (*             Number of variables   :    7 (   0 singleton) *)
  40
  41 (*             Maximal term depth    :    3 (   2 average) *)
  42
  43 (*  Comments : In Lemmas.eq.clauses of [ANL] *)
  44
  45 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
  46
  47 (* ----Include equality group theory axioms  *)
  48
  49 (* Inclusion of: Axioms/GRP004-0.ax *)
  50
  51 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
  52
  53 (*  File     : GRP004-0 : TPTP v3.7.0. Released v1.0.0. *)
  54
  55 (*  Domain   : Group Theory *)
  56
  57 (*  Axioms   : Group theory (equality) axioms *)
  58
  59 (*  Version  : [MOW76] (equality) axioms :  *)
  60
  61 (*             Reduced > Complete. *)
  62
  63 (*  English  :  *)
  64
  65 (*  Refs     : [MOW76] McCharen et al. (1976), Problems and Experiments for a *)
  66
  67 (*           : [Wos88] Wos (1988), Automated Reasoning - 33 Basic Research Pr *)
  68
  69 (*  Source   : [ANL] *)
  70
  71 (*  Names    :  *)
  72
  73 (*  Status   :  *)
  74
  75 (*  Syntax   : Number of clauses    :    3 (   0 non-Horn;   3 unit;   0 RR) *)
  76
  77 (*             Number of atoms      :    3 (   3 equality) *)
  78
  79 (*             Maximal clause size  :    1 (   1 average) *)
  80
  81 (*             Number of predicates :    1 (   0 propositional; 2-2 arity) *)
  82
  83 (*             Number of functors   :    3 (   1 constant; 0-2 arity) *)
  84
  85 (*             Number of variables  :    5 (   0 singleton) *)
  86
  87 (*             Maximal term depth   :    3 (   2 average) *)
  88
  89 (*  Comments : [MOW76] also contains redundant right_identity and *)
  90
  91 (*             right_inverse axioms. *)
  92
  93 (*           : These axioms are also used in [Wos88] p.186, also with *)
  94
  95 (*             right_identity and right_inverse. *)
  96
  97 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
  98
  99 (* ----For any x and y in the group x*y is also in the group. No clause  *)
 100
 101 (* ----is needed here since this is an instance of reflexivity  *)
 102
 103 (* ----There exists an identity element  *)
 104
 105 (* ----For any x in the group, there exists an element y such that x*y = y*x  *)
 106
 107 (* ----= identity. *)
 108
 109 (* ----The operation '*' is associative  *)
 110
 111 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
 112
 113 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
 114
 115 (* ----Redundant two axioms *)
 116 ntheorem prove_inverse_of_product_is_product_of_inverses:
 117  (∀Univ:Type.∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.
 118 ∀a:Univ.
 119 ∀b:Univ.
 120 ∀identity:Univ.
 121 ∀inverse:∀_:Univ.Univ.
 122 ∀multiply:∀_:Univ.∀_:Univ.Univ.
 123 ∀H0:∀X:Univ.eq Univ (multiply X (inverse X)) identity.
 124 ∀H1:∀X:Univ.eq Univ (multiply X identity) X.
 125 ∀H2:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (multiply (multiply X Y) Z) (multiply X (multiply Y Z)).
 126 ∀H3:∀X:Univ.eq Univ (multiply (inverse X) X) identity.
 127 ∀H4:∀X:Univ.eq Univ (multiply identity X) X.eq Univ (inverse (multiply a b)) (multiply (inverse b) (inverse a)))
 128 .
 129 #Univ ##.
 130 #X ##.
 131 #Y ##.
 132 #Z ##.
 133 #a ##.
 134 #b ##.
 135 #identity ##.
 136 #inverse ##.
 137 #multiply ##.
 138 #H0 ##.
 139 #H1 ##.
 140 #H2 ##.
 141 #H3 ##.
 142 #H4 ##.
 143 nauto by H0,H1,H2,H3,H4 ##;
 144 ntry (nassumption) ##;
 145 nqed.
 146
 147 (* -------------------------------------------------------------------------- *)