helm/software/matita/contribs/ng_TPTP/GRP024-5.ma

   1 include "logic/equality.ma".
   2
   3 (* Inclusion of: GRP024-5.p *)
   4
   5 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
   6
   7 (*  File     : GRP024-5 : TPTP v3.7.0. Released v2.2.0. *)
   8
   9 (*  Domain   : Group Theory *)
  10
  11 (*  Problem  : Levi commutator problem. *)
  12
  13 (*  Version  : [McC98] (equality) axioms. *)
  14
  15 (*  English  : In group theory, if the commutator [x,y] is associative, *)
  16
  17 (*             then x*[y,z] = [y,z]*x. *)
  18
  19 (*  Refs     : [McC98] McCune (1998), Email to G. Sutcliffe *)
  20
  21 (*           : [ML92]  McCune & Lusk (1992), A Challenging Theorem of Levi *)
  22
  23 (*           : [Kur56] Kurosh (1956), The Theory of Groups *)
  24
  25 (*  Source   : [McC98] *)
  26
  27 (*  Names    : *)
  28
  29 (*  Status   : Unsatisfiable *)
  30
  31 (*  Rating   : 0.33 v3.4.0, 0.38 v3.3.0, 0.57 v3.2.0, 0.50 v3.1.0, 0.44 v2.7.0, 0.64 v2.6.0, 0.33 v2.5.0, 0.00 v2.4.0, 0.33 v2.3.0, 0.67 v2.2.1 *)
  32
  33 (*  Syntax   : Number of clauses     :    6 (   0 non-Horn;   6 unit;   1 RR) *)
  34
  35 (*             Number of atoms       :    6 (   6 equality) *)
  36
  37 (*             Maximal clause size   :    1 (   1 average) *)
  38
  39 (*             Number of predicates  :    1 (   0 propositional; 2-2 arity) *)
  40
  41 (*             Number of functors    :    7 (   4 constant; 0-2 arity) *)
  42
  43 (*             Number of variables   :   10 (   0 singleton) *)
  44
  45 (*             Maximal term depth    :    4 (   3 average) *)
  46
  47 (*  Comments : *)
  48
  49 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
  50
  51 (* ----Include group theory axioms *)
  52
  53 (* Inclusion of: Axioms/GRP004-0.ax *)
  54
  55 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
  56
  57 (*  File     : GRP004-0 : TPTP v3.7.0. Released v1.0.0. *)
  58
  59 (*  Domain   : Group Theory *)
  60
  61 (*  Axioms   : Group theory (equality) axioms *)
  62
  63 (*  Version  : [MOW76] (equality) axioms :  *)
  64
  65 (*             Reduced > Complete. *)
  66
  67 (*  English  :  *)
  68
  69 (*  Refs     : [MOW76] McCharen et al. (1976), Problems and Experiments for a *)
  70
  71 (*           : [Wos88] Wos (1988), Automated Reasoning - 33 Basic Research Pr *)
  72
  73 (*  Source   : [ANL] *)
  74
  75 (*  Names    :  *)
  76
  77 (*  Status   :  *)
  78
  79 (*  Syntax   : Number of clauses    :    3 (   0 non-Horn;   3 unit;   0 RR) *)
  80
  81 (*             Number of atoms      :    3 (   3 equality) *)
  82
  83 (*             Maximal clause size  :    1 (   1 average) *)
  84
  85 (*             Number of predicates :    1 (   0 propositional; 2-2 arity) *)
  86
  87 (*             Number of functors   :    3 (   1 constant; 0-2 arity) *)
  88
  89 (*             Number of variables  :    5 (   0 singleton) *)
  90
  91 (*             Maximal term depth   :    3 (   2 average) *)
  92
  93 (*  Comments : [MOW76] also contains redundant right_identity and *)
  94
  95 (*             right_inverse axioms. *)
  96
  97 (*           : These axioms are also used in [Wos88] p.186, also with *)
  98
  99 (*             right_identity and right_inverse. *)
 100
 101 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
 102
 103 (* ----For any x and y in the group x*y is also in the group. No clause  *)
 104
 105 (* ----is needed here since this is an instance of reflexivity  *)
 106
 107 (* ----There exists an identity element  *)
 108
 109 (* ----For any x in the group, there exists an element y such that x*y = y*x  *)
 110
 111 (* ----= identity. *)
 112
 113 (* ----The operation '*' is associative  *)
 114
 115 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
 116
 117 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
 118
 119 (* ----Definition of commutator: *)
 120
 121 (* ----Theorem: commutator is associative implies x*[y,z] = [y,z]*x. *)
 122
 123 (* ----Hypothesis: *)
 124
 125 (* ----Denial of conclusion: *)
 126 ntheorem prove_center:
 127  (∀Univ:Type.∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.
 128 ∀a:Univ.
 129 ∀b:Univ.
 130 ∀c:Univ.
 131 ∀commutator:∀_:Univ.∀_:Univ.Univ.
 132 ∀identity:Univ.
 133 ∀inverse:∀_:Univ.Univ.
 134 ∀multiply:∀_:Univ.∀_:Univ.Univ.
 135 ∀H0:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (commutator (commutator X Y) Z) (commutator X (commutator Y Z)).
 136 ∀H1:∀X:Univ.∀Y:Univ.eq Univ (commutator X Y) (multiply (inverse X) (multiply (inverse Y) (multiply X Y))).
 137 ∀H2:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (multiply (multiply X Y) Z) (multiply X (multiply Y Z)).
 138 ∀H3:∀X:Univ.eq Univ (multiply (inverse X) X) identity.
 139 ∀H4:∀X:Univ.eq Univ (multiply identity X) X.eq Univ (multiply a (commutator b c)) (multiply (commutator b c) a))
 140 .
 141 #Univ ##.
 142 #X ##.
 143 #Y ##.
 144 #Z ##.
 145 #a ##.
 146 #b ##.
 147 #c ##.
 148 #commutator ##.
 149 #identity ##.
 150 #inverse ##.
 151 #multiply ##.
 152 #H0 ##.
 153 #H1 ##.
 154 #H2 ##.
 155 #H3 ##.
 156 #H4 ##.
 157 nauto by H0,H1,H2,H3,H4 ##;
 158 ntry (nassumption) ##;
 159 nqed.
 160
 161 (* -------------------------------------------------------------------------- *)