helm/software/matita/contribs/ng_TPTP/GRP114-1.ma

   1 include "logic/equality.ma".
   2
   3 (* Inclusion of: GRP114-1.p *)
   4
   5 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
   6
   7 (*  File     : GRP114-1 : TPTP v3.7.0. Released v1.2.0. *)
   8
   9 (*  Domain   : Group Theory *)
  10
  11 (*  Problem  : Product of positive and negative parts of X equals X *)
  12
  13 (*  Version  : [MOW76] (equality) axioms : Augmented. *)
  14
  15 (*  English  : Prove that for each element X in a group, X is equal to the  *)
  16
  17 (*             product of its positive part (the union with the identity)  *)
  18
  19 (*             and its negative part (the intersection with the identity). *)
  20
  21 (*  Refs     : [Wos94] Wos (1994), Challenge in Group Theory *)
  22
  23 (*  Source   : [Wos94] *)
  24
  25 (*  Names    : - [Wos94] *)
  26
  27 (*  Status   : Unsatisfiable *)
  28
  29 (*  Rating   : 0.33 v3.4.0, 0.25 v3.3.0, 0.29 v3.1.0, 0.22 v2.7.0, 0.36 v2.6.0, 0.17 v2.5.0, 0.00 v2.4.0, 0.00 v2.2.1, 0.44 v2.2.0, 0.57 v2.1.0, 0.86 v2.0.0 *)
  30
  31 (*  Syntax   : Number of clauses     :   21 (   0 non-Horn;  21 unit;   2 RR) *)
  32
  33 (*             Number of atoms       :   21 (  21 equality) *)
  34
  35 (*             Maximal clause size   :    1 (   1 average) *)
  36
  37 (*             Number of predicates  :    1 (   0 propositional; 2-2 arity) *)
  38
  39 (*             Number of functors    :    8 (   2 constant; 0-2 arity) *)
  40
  41 (*             Number of variables   :   38 (   2 singleton) *)
  42
  43 (*             Maximal term depth    :    3 (   2 average) *)
  44
  45 (*  Comments : I know some of the axioms are redundant, and have put comments *)
  46
  47 (*             to that effect. However, I don't know how to make a complete *)
  48
  49 (*             standard axiomatisation for the union and intersection axioms. *)
  50
  51 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
  52
  53 (* ----Include the axioms for named groups  *)
  54
  55 (* Inclusion of: Axioms/GRP004-0.ax *)
  56
  57 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
  58
  59 (*  File     : GRP004-0 : TPTP v3.7.0. Released v1.0.0. *)
  60
  61 (*  Domain   : Group Theory *)
  62
  63 (*  Axioms   : Group theory (equality) axioms *)
  64
  65 (*  Version  : [MOW76] (equality) axioms :  *)
  66
  67 (*             Reduced > Complete. *)
  68
  69 (*  English  :  *)
  70
  71 (*  Refs     : [MOW76] McCharen et al. (1976), Problems and Experiments for a *)
  72
  73 (*           : [Wos88] Wos (1988), Automated Reasoning - 33 Basic Research Pr *)
  74
  75 (*  Source   : [ANL] *)
  76
  77 (*  Names    :  *)
  78
  79 (*  Status   :  *)
  80
  81 (*  Syntax   : Number of clauses    :    3 (   0 non-Horn;   3 unit;   0 RR) *)
  82
  83 (*             Number of atoms      :    3 (   3 equality) *)
  84
  85 (*             Maximal clause size  :    1 (   1 average) *)
  86
  87 (*             Number of predicates :    1 (   0 propositional; 2-2 arity) *)
  88
  89 (*             Number of functors   :    3 (   1 constant; 0-2 arity) *)
  90
  91 (*             Number of variables  :    5 (   0 singleton) *)
  92
  93 (*             Maximal term depth   :    3 (   2 average) *)
  94
  95 (*  Comments : [MOW76] also contains redundant right_identity and *)
  96
  97 (*             right_inverse axioms. *)
  98
  99 (*           : These axioms are also used in [Wos88] p.186, also with *)
 100
 101 (*             right_identity and right_inverse. *)
 102
 103 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
 104
 105 (* ----For any x and y in the group x*y is also in the group. No clause  *)
 106
 107 (* ----is needed here since this is an instance of reflexivity  *)
 108
 109 (* ----There exists an identity element  *)
 110
 111 (* ----For any x in the group, there exists an element y such that x*y = y*x  *)
 112
 113 (* ----= identity. *)
 114
 115 (* ----The operation '*' is associative  *)
 116
 117 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
 118
 119 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
 120
 121 (* ----This axiom is a lemma  *)
 122
 123 (* ----This axiom is a lemma  *)
 124
 125 (* ----This axiom is a lemma  *)
 126 ntheorem prove_product:
 127  (∀Univ:Type.∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.
 128 ∀a:Univ.
 129 ∀identity:Univ.
 130 ∀intersection:∀_:Univ.∀_:Univ.Univ.
 131 ∀inverse:∀_:Univ.Univ.
 132 ∀multiply:∀_:Univ.∀_:Univ.Univ.
 133 ∀negative_part:∀_:Univ.Univ.
 134 ∀positive_part:∀_:Univ.Univ.
 135 ∀union:∀_:Univ.∀_:Univ.Univ.
 136 ∀H0:∀X:Univ.eq Univ (negative_part X) (intersection X identity).
 137 ∀H1:∀X:Univ.eq Univ (positive_part X) (union X identity).
 138 ∀H2:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (multiply (intersection Y Z) X) (intersection (multiply Y X) (multiply Z X)).
 139 ∀H3:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (multiply (union Y Z) X) (union (multiply Y X) (multiply Z X)).
 140 ∀H4:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (multiply X (intersection Y Z)) (intersection (multiply X Y) (multiply X Z)).
 141 ∀H5:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (multiply X (union Y Z)) (union (multiply X Y) (multiply X Z)).
 142 ∀H6:∀X:Univ.∀Y:Univ.eq Univ (intersection (union X Y) Y) Y.
 143 ∀H7:∀X:Univ.∀Y:Univ.eq Univ (union (intersection X Y) Y) Y.
 144 ∀H8:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (union X (union Y Z)) (union (union X Y) Z).
 145 ∀H9:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (intersection X (intersection Y Z)) (intersection (intersection X Y) Z).
 146 ∀H10:∀X:Univ.∀Y:Univ.eq Univ (union X Y) (union Y X).
 147 ∀H11:∀X:Univ.∀Y:Univ.eq Univ (intersection X Y) (intersection Y X).
 148 ∀H12:∀X:Univ.eq Univ (union X X) X.
 149 ∀H13:∀X:Univ.eq Univ (intersection X X) X.
 150 ∀H14:∀X:Univ.∀Y:Univ.eq Univ (inverse (multiply X Y)) (multiply (inverse Y) (inverse X)).
 151 ∀H15:∀X:Univ.eq Univ (inverse (inverse X)) X.
 152 ∀H16:eq Univ (inverse identity) identity.
 153 ∀H17:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (multiply (multiply X Y) Z) (multiply X (multiply Y Z)).
 154 ∀H18:∀X:Univ.eq Univ (multiply (inverse X) X) identity.
 155 ∀H19:∀X:Univ.eq Univ (multiply identity X) X.eq Univ (multiply (positive_part a) (negative_part a)) a)
 156 .
 157 #Univ ##.
 158 #X ##.
 159 #Y ##.
 160 #Z ##.
 161 #a ##.
 162 #identity ##.
 163 #intersection ##.
 164 #inverse ##.
 165 #multiply ##.
 166 #negative_part ##.
 167 #positive_part ##.
 168 #union ##.
 169 #H0 ##.
 170 #H1 ##.
 171 #H2 ##.
 172 #H3 ##.
 173 #H4 ##.
 174 #H5 ##.
 175 #H6 ##.
 176 #H7 ##.
 177 #H8 ##.
 178 #H9 ##.
 179 #H10 ##.
 180 #H11 ##.
 181 #H12 ##.
 182 #H13 ##.
 183 #H14 ##.
 184 #H15 ##.
 185 #H16 ##.
 186 #H17 ##.
 187 #H18 ##.
 188 #H19 ##.
 189 nauto by H0,H1,H2,H3,H4,H5,H6,H7,H8,H9,H10,H11,H12,H13,H14,H15,H16,H17,H18,H19 ##;
 190 ntry (nassumption) ##;
 191 nqed.
 192
 193 (* -------------------------------------------------------------------------- *)