helm/software/matita/contribs/ng_TPTP/GRP167-5.ma

   1 include "logic/equality.ma".
   2
   3 (* Inclusion of: GRP167-5.p *)
   4
   5 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
   6
   7 (*  File     : GRP167-5 : TPTP v3.7.0. Bugfixed v1.2.1. *)
   8
   9 (*  Domain   : Group Theory (Lattice Ordered) *)
  10
  11 (*  Problem  : Product of positive and negative parts *)
  12
  13 (*  Version  : [Fuc94] (equality) axioms : Augmented. *)
  14
  15 (*  English  : Each element in a lattice ordered group can be stated as a *)
  16
  17 (*             product of it's positive and it's negative part. *)
  18
  19 (*  Refs     : [Fuc94] Fuchs (1994), The Application of Goal-Orientated Heuri *)
  20
  21 (*           : [Sch95] Schulz (1995), Explanation Based Learning for Distribu *)
  22
  23 (*           : [Dah95] Dahn (1995), Email to G. Sutcliffe *)
  24
  25 (*  Source   : [TPTP] *)
  26
  27 (*  Names    :  *)
  28
  29 (*  Status   : Unsatisfiable *)
  30
  31 (*  Rating   : 0.11 v3.4.0, 0.12 v3.3.0, 0.14 v3.1.0, 0.11 v2.7.0, 0.09 v2.6.0, 0.17 v2.5.0, 0.00 v2.2.1, 0.33 v2.2.0, 0.43 v2.1.0, 0.20 v2.0.0 *)
  32
  33 (*  Syntax   : Number of clauses     :   21 (   0 non-Horn;  21 unit;   1 RR) *)
  34
  35 (*             Number of atoms       :   21 (  21 equality) *)
  36
  37 (*             Maximal clause size   :    1 (   1 average) *)
  38
  39 (*             Number of predicates  :    1 (   0 propositional; 2-2 arity) *)
  40
  41 (*             Number of functors    :    8 (   2 constant; 0-2 arity) *)
  42
  43 (*             Number of variables   :   43 (   2 singleton) *)
  44
  45 (*             Maximal term depth    :    3 (   2 average) *)
  46
  47 (*  Comments : ORDERING LPO inverse > greatest_lower_bound > *)
  48
  49 (*             least_upper_bound > product > negative_part > positive_part >  *)
  50
  51 (*             identity > a *)
  52
  53 (*           : This is a standardized version of the problem that appears in *)
  54
  55 (*             [Sch95]. *)
  56
  57 (*           : [Dah95] suggested the addition of p10 as a useful lemma. *)
  58
  59 (*  Bugfixes : v1.2.1 - Duplicate axioms in GRP004-2.ax removed. *)
  60
  61 (*           : v1.2.1 - Clause p10 fixed. *)
  62
  63 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
  64
  65 (* ----Include equality group theory axioms  *)
  66
  67 (* Inclusion of: Axioms/GRP004-0.ax *)
  68
  69 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
  70
  71 (*  File     : GRP004-0 : TPTP v3.7.0. Released v1.0.0. *)
  72
  73 (*  Domain   : Group Theory *)
  74
  75 (*  Axioms   : Group theory (equality) axioms *)
  76
  77 (*  Version  : [MOW76] (equality) axioms :  *)
  78
  79 (*             Reduced > Complete. *)
  80
  81 (*  English  :  *)
  82
  83 (*  Refs     : [MOW76] McCharen et al. (1976), Problems and Experiments for a *)
  84
  85 (*           : [Wos88] Wos (1988), Automated Reasoning - 33 Basic Research Pr *)
  86
  87 (*  Source   : [ANL] *)
  88
  89 (*  Names    :  *)
  90
  91 (*  Status   :  *)
  92
  93 (*  Syntax   : Number of clauses    :    3 (   0 non-Horn;   3 unit;   0 RR) *)
  94
  95 (*             Number of atoms      :    3 (   3 equality) *)
  96
  97 (*             Maximal clause size  :    1 (   1 average) *)
  98
  99 (*             Number of predicates :    1 (   0 propositional; 2-2 arity) *)
 100
 101 (*             Number of functors   :    3 (   1 constant; 0-2 arity) *)
 102
 103 (*             Number of variables  :    5 (   0 singleton) *)
 104
 105 (*             Maximal term depth   :    3 (   2 average) *)
 106
 107 (*  Comments : [MOW76] also contains redundant right_identity and *)
 108
 109 (*             right_inverse axioms. *)
 110
 111 (*           : These axioms are also used in [Wos88] p.186, also with *)
 112
 113 (*             right_identity and right_inverse. *)
 114
 115 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
 116
 117 (* ----For any x and y in the group x*y is also in the group. No clause  *)
 118
 119 (* ----is needed here since this is an instance of reflexivity  *)
 120
 121 (* ----There exists an identity element  *)
 122
 123 (* ----For any x in the group, there exists an element y such that x*y = y*x  *)
 124
 125 (* ----= identity. *)
 126
 127 (* ----The operation '*' is associative  *)
 128
 129 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
 130
 131 (* ----Include Lattice ordered group (equality) axioms *)
 132
 133 (* Inclusion of: Axioms/GRP004-2.ax *)
 134
 135 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
 136
 137 (*  File     : GRP004-2 : TPTP v3.7.0. Bugfixed v1.2.0. *)
 138
 139 (*  Domain   : Group Theory (Lattice Ordered) *)
 140
 141 (*  Axioms   : Lattice ordered group (equality) axioms *)
 142
 143 (*  Version  : [Fuc94] (equality) axioms. *)
 144
 145 (*  English  :  *)
 146
 147 (*  Refs     : [Fuc94] Fuchs (1994), The Application of Goal-Orientated Heuri *)
 148
 149 (*           : [Sch95] Schulz (1995), Explanation Based Learning for Distribu *)
 150
 151 (*  Source   : [Sch95] *)
 152
 153 (*  Names    :  *)
 154
 155 (*  Status   :  *)
 156
 157 (*  Syntax   : Number of clauses    :   12 (   0 non-Horn;  12 unit;   0 RR) *)
 158
 159 (*             Number of atoms      :   12 (  12 equality) *)
 160
 161 (*             Maximal clause size  :    1 (   1 average) *)
 162
 163 (*             Number of predicates :    1 (   0 propositional; 2-2 arity) *)
 164
 165 (*             Number of functors   :    3 (   0 constant; 2-2 arity) *)
 166
 167 (*             Number of variables  :   28 (   2 singleton) *)
 168
 169 (*             Maximal term depth   :    3 (   2 average) *)
 170
 171 (*  Comments : Requires GRP004-0.ax *)
 172
 173 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
 174
 175 (* ----Specification of the least upper bound and greatest lower bound *)
 176
 177 (* ----Monotony of multiply *)
 178
 179 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
 180
 181 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
 182
 183 (* ----Extra lemma *)
 184 ntheorem prove_lat4:
 185  (∀Univ:Type.∀A:Univ.∀B:Univ.∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.
 186 ∀a:Univ.
 187 ∀greatest_lower_bound:∀_:Univ.∀_:Univ.Univ.
 188 ∀identity:Univ.
 189 ∀inverse:∀_:Univ.Univ.
 190 ∀least_upper_bound:∀_:Univ.∀_:Univ.Univ.
 191 ∀multiply:∀_:Univ.∀_:Univ.Univ.
 192 ∀negative_part:∀_:Univ.Univ.
 193 ∀positive_part:∀_:Univ.Univ.
 194 ∀H0:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (greatest_lower_bound X (least_upper_bound Y Z)) (least_upper_bound (greatest_lower_bound X Y) (greatest_lower_bound X Z)).
 195 ∀H1:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (least_upper_bound X (greatest_lower_bound Y Z)) (greatest_lower_bound (least_upper_bound X Y) (least_upper_bound X Z)).
 196 ∀H2:∀X:Univ.eq Univ (negative_part X) (greatest_lower_bound X identity).
 197 ∀H3:∀X:Univ.eq Univ (positive_part X) (least_upper_bound X identity).
 198 ∀H4:∀A:Univ.∀B:Univ.eq Univ (inverse (least_upper_bound A B)) (greatest_lower_bound (inverse A) (inverse B)).
 199 ∀H5:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (multiply (greatest_lower_bound Y Z) X) (greatest_lower_bound (multiply Y X) (multiply Z X)).
 200 ∀H6:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (multiply (least_upper_bound Y Z) X) (least_upper_bound (multiply Y X) (multiply Z X)).
 201 ∀H7:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (multiply X (greatest_lower_bound Y Z)) (greatest_lower_bound (multiply X Y) (multiply X Z)).
 202 ∀H8:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (multiply X (least_upper_bound Y Z)) (least_upper_bound (multiply X Y) (multiply X Z)).
 203 ∀H9:∀X:Univ.∀Y:Univ.eq Univ (greatest_lower_bound X (least_upper_bound X Y)) X.
 204 ∀H10:∀X:Univ.∀Y:Univ.eq Univ (least_upper_bound X (greatest_lower_bound X Y)) X.
 205 ∀H11:∀X:Univ.eq Univ (greatest_lower_bound X X) X.
 206 ∀H12:∀X:Univ.eq Univ (least_upper_bound X X) X.
 207 ∀H13:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (least_upper_bound X (least_upper_bound Y Z)) (least_upper_bound (least_upper_bound X Y) Z).
 208 ∀H14:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (greatest_lower_bound X (greatest_lower_bound Y Z)) (greatest_lower_bound (greatest_lower_bound X Y) Z).
 209 ∀H15:∀X:Univ.∀Y:Univ.eq Univ (least_upper_bound X Y) (least_upper_bound Y X).
 210 ∀H16:∀X:Univ.∀Y:Univ.eq Univ (greatest_lower_bound X Y) (greatest_lower_bound Y X).
 211 ∀H17:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (multiply (multiply X Y) Z) (multiply X (multiply Y Z)).
 212 ∀H18:∀X:Univ.eq Univ (multiply (inverse X) X) identity.
 213 ∀H19:∀X:Univ.eq Univ (multiply identity X) X.eq Univ a (multiply (positive_part a) (negative_part a)))
 214 .
 215 #Univ ##.
 216 #A ##.
 217 #B ##.
 218 #X ##.
 219 #Y ##.
 220 #Z ##.
 221 #a ##.
 222 #greatest_lower_bound ##.
 223 #identity ##.
 224 #inverse ##.
 225 #least_upper_bound ##.
 226 #multiply ##.
 227 #negative_part ##.
 228 #positive_part ##.
 229 #H0 ##.
 230 #H1 ##.
 231 #H2 ##.
 232 #H3 ##.
 233 #H4 ##.
 234 #H5 ##.
 235 #H6 ##.
 236 #H7 ##.
 237 #H8 ##.
 238 #H9 ##.
 239 #H10 ##.
 240 #H11 ##.
 241 #H12 ##.
 242 #H13 ##.
 243 #H14 ##.
 244 #H15 ##.
 245 #H16 ##.
 246 #H17 ##.
 247 #H18 ##.
 248 #H19 ##.
 249 nauto by H0,H1,H2,H3,H4,H5,H6,H7,H8,H9,H10,H11,H12,H13,H14,H15,H16,H17,H18,H19 ##;
 250 ntry (nassumption) ##;
 251 nqed.
 252
 253 (* -------------------------------------------------------------------------- *)