helm/software/matita/contribs/ng_TPTP/RNG008-4.ma

   1 include "logic/equality.ma".
   2
   3 (* Inclusion of: RNG008-4.p *)
   4
   5 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
   6
   7 (*  File     : RNG008-4 : TPTP v3.7.0. Released v1.0.0. *)
   8
   9 (*  Domain   : Ring Theory *)
  10
  11 (*  Problem  : Boolean rings are commutative *)
  12
  13 (*  Version  : [PS81] (equality) axioms. *)
  14
  15 (*             Theorem formulation : Equality. *)
  16
  17 (*  English  : Given a ring in which for all x, x * x = x, prove that for  *)
  18
  19 (*             all x and y, x * y = y * x. *)
  20
  21 (*  Refs     : [MOW76] McCharen et al. (1976), Problems and Experiments for a *)
  22
  23 (*           : [PS81]  Peterson & Stickel (1981), Complete Sets of Reductions *)
  24
  25 (*  Source   : [TPTP] *)
  26
  27 (*  Names    :  *)
  28
  29 (*  Status   : Unsatisfiable *)
  30
  31 (*  Rating   : 0.00 v3.3.0, 0.07 v3.1.0, 0.11 v2.7.0, 0.00 v2.2.1, 0.22 v2.2.0, 0.29 v2.1.0, 0.25 v2.0.0 *)
  32
  33 (*  Syntax   : Number of clauses     :   17 (   0 non-Horn;  17 unit;   3 RR) *)
  34
  35 (*             Number of atoms       :   17 (  17 equality) *)
  36
  37 (*             Maximal clause size   :    1 (   1 average) *)
  38
  39 (*             Number of predicates  :    1 (   0 propositional; 2-2 arity) *)
  40
  41 (*             Number of functors    :    7 (   4 constant; 0-2 arity) *)
  42
  43 (*             Number of variables   :   26 (   2 singleton) *)
  44
  45 (*             Maximal term depth    :    3 (   2 average) *)
  46
  47 (*  Comments :  *)
  48
  49 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
  50
  51 (* ----Include ring theory axioms  *)
  52
  53 (* Inclusion of: Axioms/RNG002-0.ax *)
  54
  55 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
  56
  57 (*  File     : RNG002-0 : TPTP v3.7.0. Released v1.0.0. *)
  58
  59 (*  Domain   : Ring Theory *)
  60
  61 (*  Axioms   : Ring theory (equality) axioms *)
  62
  63 (*  Version  : [PS81] (equality) axioms : *)
  64
  65 (*             Reduced & Augmented > Complete. *)
  66
  67 (*  English  :  *)
  68
  69 (*  Refs     : [PS81]  Peterson & Stickel (1981), Complete Sets of Reductions *)
  70
  71 (*  Source   : [ANL] *)
  72
  73 (*  Names    :  *)
  74
  75 (*  Status   :  *)
  76
  77 (*  Syntax   : Number of clauses    :   14 (   0 non-Horn;  14 unit;   1 RR) *)
  78
  79 (*             Number of atoms      :   14 (  14 equality) *)
  80
  81 (*             Maximal clause size  :    1 (   1 average) *)
  82
  83 (*             Number of predicates :    1 (   0 propositional; 2-2 arity) *)
  84
  85 (*             Number of functors   :    4 (   1 constant; 0-2 arity) *)
  86
  87 (*             Number of variables  :   25 (   2 singleton) *)
  88
  89 (*             Maximal term depth   :    3 (   2 average) *)
  90
  91 (*  Comments : Not sure if these are complete. I don't know if the reductions *)
  92
  93 (*             given in [PS81] are suitable for ATP. *)
  94
  95 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
  96
  97 (* ----Existence of left identity for addition  *)
  98
  99 (* ----Existence of left additive additive_inverse  *)
 100
 101 (* ----Distributive property of product over sum  *)
 102
 103 (* ----Inverse of identity is identity, stupid  *)
 104
 105 (* ----Inverse of additive_inverse of X is X  *)
 106
 107 (* ----Behavior of 0 and the multiplication operation  *)
 108
 109 (* ----Inverse of (x + y) is additive_inverse(x) + additive_inverse(y)  *)
 110
 111 (* ----x * additive_inverse(y) = additive_inverse (x * y)  *)
 112
 113 (* ----Associativity of addition  *)
 114
 115 (* ----Commutativity of addition  *)
 116
 117 (* ----Associativity of product  *)
 118
 119 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
 120
 121 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
 122 ntheorem prove_commutativity:
 123  (∀Univ:Type.∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.
 124 ∀a:Univ.
 125 ∀add:∀_:Univ.∀_:Univ.Univ.
 126 ∀additive_identity:Univ.
 127 ∀additive_inverse:∀_:Univ.Univ.
 128 ∀b:Univ.
 129 ∀c:Univ.
 130 ∀multiply:∀_:Univ.∀_:Univ.Univ.
 131 ∀H0:eq Univ (multiply a b) c.
 132 ∀H1:∀X:Univ.eq Univ (multiply X X) X.
 133 ∀H2:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (multiply (multiply X Y) Z) (multiply X (multiply Y Z)).
 134 ∀H3:∀X:Univ.∀Y:Univ.eq Univ (add X Y) (add Y X).
 135 ∀H4:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (add (add X Y) Z) (add X (add Y Z)).
 136 ∀H5:∀X:Univ.∀Y:Univ.eq Univ (multiply (additive_inverse X) Y) (additive_inverse (multiply X Y)).
 137 ∀H6:∀X:Univ.∀Y:Univ.eq Univ (multiply X (additive_inverse Y)) (additive_inverse (multiply X Y)).
 138 ∀H7:∀X:Univ.∀Y:Univ.eq Univ (additive_inverse (add X Y)) (add (additive_inverse X) (additive_inverse Y)).
 139 ∀H8:∀X:Univ.eq Univ (multiply additive_identity X) additive_identity.
 140 ∀H9:∀X:Univ.eq Univ (multiply X additive_identity) additive_identity.
 141 ∀H10:∀X:Univ.eq Univ (additive_inverse (additive_inverse X)) X.
 142 ∀H11:eq Univ (additive_inverse additive_identity) additive_identity.
 143 ∀H12:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (multiply (add X Y) Z) (add (multiply X Z) (multiply Y Z)).
 144 ∀H13:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (multiply X (add Y Z)) (add (multiply X Y) (multiply X Z)).
 145 ∀H14:∀X:Univ.eq Univ (add (additive_inverse X) X) additive_identity.
 146 ∀H15:∀X:Univ.eq Univ (add additive_identity X) X.eq Univ (multiply b a) c)
 147 .
 148 #Univ ##.
 149 #X ##.
 150 #Y ##.
 151 #Z ##.
 152 #a ##.
 153 #add ##.
 154 #additive_identity ##.
 155 #additive_inverse ##.
 156 #b ##.
 157 #c ##.
 158 #multiply ##.
 159 #H0 ##.
 160 #H1 ##.
 161 #H2 ##.
 162 #H3 ##.
 163 #H4 ##.
 164 #H5 ##.
 165 #H6 ##.
 166 #H7 ##.
 167 #H8 ##.
 168 #H9 ##.
 169 #H10 ##.
 170 #H11 ##.
 171 #H12 ##.
 172 #H13 ##.
 173 #H14 ##.
 174 #H15 ##.
 175 nauto by H0,H1,H2,H3,H4,H5,H6,H7,H8,H9,H10,H11,H12,H13,H14,H15 ##;
 176 ntry (nassumption) ##;
 177 nqed.
 178
 179 (* -------------------------------------------------------------------------- *)