helm/software/matita/contribs/ng_TPTP/RNG010-7.ma

   1 include "logic/equality.ma".
   2
   3 (* Inclusion of: RNG010-7.p *)
   4
   5 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
   6
   7 (*  File     : RNG010-7 : TPTP v3.7.0. Bugfixed v2.3.0. *)
   8
   9 (*  Domain   : Ring Theory (Right alternative) *)
  10
  11 (*  Problem  : Skew symmetry of the auxilliary function *)
  12
  13 (*  Version  : [Ste87] (equality) axioms : Augmented. *)
  14
  15 (*  English  : The three Moufang identities imply the skew symmetry  *)
  16
  17 (*             of s(W,X,Y,Z) = (W*X,Y,Z) - X*(W,Y,Z) - (X,Y,Z)*W. *)
  18
  19 (*             Recall that skew symmetry means that the function sign  *)
  20
  21 (*             changes when any two arguments are swapped. This problem  *)
  22
  23 (*             proves the case for swapping the first two arguments. *)
  24
  25 (*  Refs     : [Ste87] Stevens (1987), Some Experiments in Nonassociative Rin *)
  26
  27 (*  Source   : [TPTP] *)
  28
  29 (*  Names    :  *)
  30
  31 (*  Status   : Unknown *)
  32
  33 (*  Rating   : 1.00 v2.3.0 *)
  34
  35 (*  Syntax   : Number of clauses     :   27 (   0 non-Horn;  27 unit;   1 RR) *)
  36
  37 (*             Number of atoms       :   27 (  27 equality) *)
  38
  39 (*             Maximal clause size   :    1 (   1 average) *)
  40
  41 (*             Number of predicates  :    1 (   0 propositional; 2-2 arity) *)
  42
  43 (*             Number of functors    :   11 (   5 constant; 0-4 arity) *)
  44
  45 (*             Number of variables   :   58 (   2 singleton) *)
  46
  47 (*             Maximal term depth    :    6 (   3 average) *)
  48
  49 (*  Comments : Extra lemmas added to help the ITP prover. *)
  50
  51 (*  Bugfixes : v2.3.0 - Clause prove_skew_symmetry fixed. *)
  52
  53 (*           : v2.3.0 - Left alternative law added in. *)
  54
  55 (*           : v2.3.0 - Clauses right_moufang and left_moufang fixed. *)
  56
  57 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
  58
  59 (* ----Include nonassociative ring axioms. *)
  60
  61 (* Inclusion of: Axioms/RNG003-0.ax *)
  62
  63 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
  64
  65 (*  File     : RNG003-0 : TPTP v3.7.0. Released v1.0.0. *)
  66
  67 (*  Domain   : Ring Theory (Alternative) *)
  68
  69 (*  Axioms   : Alternative ring theory (equality) axioms *)
  70
  71 (*  Version  : [Ste87] (equality) axioms. *)
  72
  73 (*  English  :  *)
  74
  75 (*  Refs     : [Ste87] Stevens (1987), Some Experiments in Nonassociative Rin *)
  76
  77 (*  Source   : [Ste87] *)
  78
  79 (*  Names    :  *)
  80
  81 (*  Status   :  *)
  82
  83 (*  Syntax   : Number of clauses    :   15 (   0 non-Horn;  15 unit;   0 RR) *)
  84
  85 (*             Number of atoms      :   15 (  15 equality) *)
  86
  87 (*             Maximal clause size  :    1 (   1 average) *)
  88
  89 (*             Number of predicates :    1 (   0 propositional; 2-2 arity) *)
  90
  91 (*             Number of functors   :    6 (   1 constant; 0-3 arity) *)
  92
  93 (*             Number of variables  :   27 (   2 singleton) *)
  94
  95 (*             Maximal term depth   :    5 (   2 average) *)
  96
  97 (*  Comments :  *)
  98
  99 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
 100
 101 (* ----There exists an additive identity element  *)
 102
 103 (* ----Multiplicative zero  *)
 104
 105 (* ----Existence of left additive additive_inverse  *)
 106
 107 (* ----Inverse of additive_inverse of X is X  *)
 108
 109 (* ----Distributive property of product over sum  *)
 110
 111 (* ----Commutativity for addition  *)
 112
 113 (* ----Associativity for addition  *)
 114
 115 (* ----Right alternative law  *)
 116
 117 (* ----Left alternative law  *)
 118
 119 (* ----Associator  *)
 120
 121 (* ----Commutator  *)
 122
 123 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
 124
 125 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
 126
 127 (* ----The next 7 clauses are extra lemmas which Stevens found useful  *)
 128
 129 (* ----Definition of s  *)
 130
 131 (* ----Right Moufang *)
 132
 133 (* ----Left Moufang *)
 134 ntheorem prove_skew_symmetry:
 135  (∀Univ:Type.∀W:Univ.∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.
 136 ∀a:Univ.
 137 ∀add:∀_:Univ.∀_:Univ.Univ.
 138 ∀additive_identity:Univ.
 139 ∀additive_inverse:∀_:Univ.Univ.
 140 ∀associator:∀_:Univ.∀_:Univ.∀_:Univ.Univ.
 141 ∀b:Univ.
 142 ∀c:Univ.
 143 ∀commutator:∀_:Univ.∀_:Univ.Univ.
 144 ∀d:Univ.
 145 ∀multiply:∀_:Univ.∀_:Univ.Univ.
 146 ∀s:∀_:Univ.∀_:Univ.∀_:Univ.∀_:Univ.Univ.
 147 ∀H0:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (multiply (multiply X Y) (multiply Z X)) (multiply (multiply X (multiply Y Z)) X).
 148 ∀H1:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (multiply (multiply X (multiply Y X)) Z) (multiply X (multiply Y (multiply X Z))).
 149 ∀H2:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (multiply Z (multiply X (multiply Y X))) (multiply (multiply (multiply Z X) Y) X).
 150 ∀H3:∀W:Univ.∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (s W X Y Z) (add (add (associator (multiply W X) Y Z) (additive_inverse (multiply X (associator W Y Z)))) (additive_inverse (multiply (associator X Y Z) W))).
 151 ∀H4:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (multiply (add X Y) (additive_inverse Z)) (add (additive_inverse (multiply X Z)) (additive_inverse (multiply Y Z))).
 152 ∀H5:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (multiply (additive_inverse X) (add Y Z)) (add (additive_inverse (multiply X Y)) (additive_inverse (multiply X Z))).
 153 ∀H6:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (multiply (add X (additive_inverse Y)) Z) (add (multiply X Z) (additive_inverse (multiply Y Z))).
 154 ∀H7:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (multiply X (add Y (additive_inverse Z))) (add (multiply X Y) (additive_inverse (multiply X Z))).
 155 ∀H8:∀X:Univ.∀Y:Univ.eq Univ (multiply X (additive_inverse Y)) (additive_inverse (multiply X Y)).
 156 ∀H9:∀X:Univ.∀Y:Univ.eq Univ (multiply (additive_inverse X) Y) (additive_inverse (multiply X Y)).
 157 ∀H10:∀X:Univ.∀Y:Univ.eq Univ (multiply (additive_inverse X) (additive_inverse Y)) (multiply X Y).
 158 ∀H11:∀X:Univ.∀Y:Univ.eq Univ (commutator X Y) (add (multiply Y X) (additive_inverse (multiply X Y))).
 159 ∀H12:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (associator X Y Z) (add (multiply (multiply X Y) Z) (additive_inverse (multiply X (multiply Y Z)))).
 160 ∀H13:∀X:Univ.∀Y:Univ.eq Univ (multiply (multiply X X) Y) (multiply X (multiply X Y)).
 161 ∀H14:∀X:Univ.∀Y:Univ.eq Univ (multiply (multiply X Y) Y) (multiply X (multiply Y Y)).
 162 ∀H15:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (add X (add Y Z)) (add (add X Y) Z).
 163 ∀H16:∀X:Univ.∀Y:Univ.eq Univ (add X Y) (add Y X).
 164 ∀H17:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (multiply (add X Y) Z) (add (multiply X Z) (multiply Y Z)).
 165 ∀H18:∀X:Univ.∀Y:Univ.∀Z:Univ.eq Univ (multiply X (add Y Z)) (add (multiply X Y) (multiply X Z)).
 166 ∀H19:∀X:Univ.eq Univ (additive_inverse (additive_inverse X)) X.
 167 ∀H20:∀X:Univ.eq Univ (add X (additive_inverse X)) additive_identity.
 168 ∀H21:∀X:Univ.eq Univ (add (additive_inverse X) X) additive_identity.
 169 ∀H22:∀X:Univ.eq Univ (multiply X additive_identity) additive_identity.
 170 ∀H23:∀X:Univ.eq Univ (multiply additive_identity X) additive_identity.
 171 ∀H24:∀X:Univ.eq Univ (add X additive_identity) X.
 172 ∀H25:∀X:Univ.eq Univ (add additive_identity X) X.eq Univ (s a b c d) (additive_inverse (s b a c d)))
 173 .
 174 #Univ ##.
 175 #W ##.
 176 #X ##.
 177 #Y ##.
 178 #Z ##.
 179 #a ##.
 180 #add ##.
 181 #additive_identity ##.
 182 #additive_inverse ##.
 183 #associator ##.
 184 #b ##.
 185 #c ##.
 186 #commutator ##.
 187 #d ##.
 188 #multiply ##.
 189 #s ##.
 190 #H0 ##.
 191 #H1 ##.
 192 #H2 ##.
 193 #H3 ##.
 194 #H4 ##.
 195 #H5 ##.
 196 #H6 ##.
 197 #H7 ##.
 198 #H8 ##.
 199 #H9 ##.
 200 #H10 ##.
 201 #H11 ##.
 202 #H12 ##.
 203 #H13 ##.
 204 #H14 ##.
 205 #H15 ##.
 206 #H16 ##.
 207 #H17 ##.
 208 #H18 ##.
 209 #H19 ##.
 210 #H20 ##.
 211 #H21 ##.
 212 #H22 ##.
 213 #H23 ##.
 214 #H24 ##.
 215 #H25 ##.
 216 nauto by H0,H1,H2,H3,H4,H5,H6,H7,H8,H9,H10,H11,H12,H13,H14,H15,H16,H17,H18,H19,H20,H21,H22,H23,H24,H25 ##;
 217 ntry (nassumption) ##;
 218 nqed.
 219
 220 (* -------------------------------------------------------------------------- *)