helm/software/matita/contribs/ng_assembly/num/exadecim_lemmas.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* ********************************************************************** *)
  16 (*                          Progetto FreeScale                            *)
  17 (*                                                                        *)
  18 (*   Sviluppato da: Ing. Cosimo Oliboni, oliboni@cs.unibo.it              *)
  19 (*   Ultima modifica: 05/08/2009                                          *)
  20 (*                                                                        *)
  21 (* ********************************************************************** *)
  22
  23 include "num/exadecim.ma".
  24 include "num/bool_lemmas.ma".
  25
  26 (* *********** *)
  27 (* ESADECIMALI *)
  28 (* *********** *)
  29
  30 ndefinition exadecim_destruct_aux ≝
  31 Πe1,e2.ΠP:Prop.ΠH:e1 = e2.
  32  match eq_ex e1 e2 with [ true ⇒ P → P | false ⇒ P ].
  33
  34 ndefinition exadecim_destruct : exadecim_destruct_aux.
  35  #e1; #e2; #P; #H;
  36  nrewrite < H;
  37  nelim e1;
  38  nnormalize;
  39  napply (λx.x).
  40 nqed.
  41
  42 nlemma symmetric_andex : symmetricT exadecim exadecim and_ex.
  43  #e1; #e2;
  44  nelim e1;
  45  nelim e2;
  46  nnormalize;
  47  napply refl_eq.
  48 nqed.
  49
  50 nlemma associative_andex1 : ∀e2,e3.(and_ex (and_ex x0 e2) e3) = (and_ex x0 (and_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  51 nlemma associative_andex2 : ∀e2,e3.(and_ex (and_ex x1 e2) e3) = (and_ex x1 (and_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  52 nlemma associative_andex3 : ∀e2,e3.(and_ex (and_ex x2 e2) e3) = (and_ex x2 (and_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  53 nlemma associative_andex4 : ∀e2,e3.(and_ex (and_ex x3 e2) e3) = (and_ex x3 (and_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  54 nlemma associative_andex5 : ∀e2,e3.(and_ex (and_ex x4 e2) e3) = (and_ex x4 (and_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  55 nlemma associative_andex6 : ∀e2,e3.(and_ex (and_ex x5 e2) e3) = (and_ex x5 (and_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  56 nlemma associative_andex7 : ∀e2,e3.(and_ex (and_ex x6 e2) e3) = (and_ex x6 (and_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  57 nlemma associative_andex8 : ∀e2,e3.(and_ex (and_ex x7 e2) e3) = (and_ex x7 (and_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  58 nlemma associative_andex9 : ∀e2,e3.(and_ex (and_ex x8 e2) e3) = (and_ex x8 (and_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  59 nlemma associative_andex10 : ∀e2,e3.(and_ex (and_ex x9 e2) e3) = (and_ex x9 (and_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  60 nlemma associative_andex11 : ∀e2,e3.(and_ex (and_ex xA e2) e3) = (and_ex xA (and_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  61 nlemma associative_andex12 : ∀e2,e3.(and_ex (and_ex xB e2) e3) = (and_ex xB (and_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  62 nlemma associative_andex13 : ∀e2,e3.(and_ex (and_ex xC e2) e3) = (and_ex xC (and_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  63 nlemma associative_andex14 : ∀e2,e3.(and_ex (and_ex xD e2) e3) = (and_ex xD (and_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  64 nlemma associative_andex15 : ∀e2,e3.(and_ex (and_ex xE e2) e3) = (and_ex xE (and_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  65 nlemma associative_andex16 : ∀e2,e3.(and_ex (and_ex xF e2) e3) = (and_ex xF (and_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  66
  67 nlemma associative_andex : ∀e1,e2,e3.(and_ex (and_ex e1 e2) e3) = (and_ex e1 (and_ex e2 e3)).
  68  #e1; nelim e1;
  69  ##[ ##1: napply  associative_andex1 ##| ##2: napply  associative_andex2
  70  ##| ##3: napply  associative_andex3 ##| ##4: napply  associative_andex4
  71  ##| ##5: napply  associative_andex5 ##| ##6: napply  associative_andex6
  72  ##| ##7: napply  associative_andex7 ##| ##8: napply  associative_andex8
  73  ##| ##9: napply  associative_andex9 ##| ##10: napply  associative_andex10
  74  ##| ##11: napply  associative_andex11 ##| ##12: napply  associative_andex12
  75  ##| ##13: napply  associative_andex13 ##| ##14: napply  associative_andex14
  76  ##| ##15: napply  associative_andex15 ##| ##16: napply  associative_andex16
  77  ##]
  78 nqed.
  79
  80 nlemma symmetric_orex : symmetricT exadecim exadecim or_ex.
  81  #e1; #e2;
  82  nelim e1;
  83  nelim e2;
  84  nnormalize;
  85  napply refl_eq.
  86 nqed.
  87
  88 nlemma associative_orex1 : ∀e2,e3.(or_ex (or_ex x0 e2) e3) = (or_ex x0 (or_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  89 nlemma associative_orex2 : ∀e2,e3.(or_ex (or_ex x1 e2) e3) = (or_ex x1 (or_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  90 nlemma associative_orex3 : ∀e2,e3.(or_ex (or_ex x2 e2) e3) = (or_ex x2 (or_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  91 nlemma associative_orex4 : ∀e2,e3.(or_ex (or_ex x3 e2) e3) = (or_ex x3 (or_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  92 nlemma associative_orex5 : ∀e2,e3.(or_ex (or_ex x4 e2) e3) = (or_ex x4 (or_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  93 nlemma associative_orex6 : ∀e2,e3.(or_ex (or_ex x5 e2) e3) = (or_ex x5 (or_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  94 nlemma associative_orex7 : ∀e2,e3.(or_ex (or_ex x6 e2) e3) = (or_ex x6 (or_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  95 nlemma associative_orex8 : ∀e2,e3.(or_ex (or_ex x7 e2) e3) = (or_ex x7 (or_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  96 nlemma associative_orex9 : ∀e2,e3.(or_ex (or_ex x8 e2) e3) = (or_ex x8 (or_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  97 nlemma associative_orex10 : ∀e2,e3.(or_ex (or_ex x9 e2) e3) = (or_ex x9 (or_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  98 nlemma associative_orex11 : ∀e2,e3.(or_ex (or_ex xA e2) e3) = (or_ex xA (or_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  99 nlemma associative_orex12 : ∀e2,e3.(or_ex (or_ex xB e2) e3) = (or_ex xB (or_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 100 nlemma associative_orex13 : ∀e2,e3.(or_ex (or_ex xC e2) e3) = (or_ex xC (or_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 101 nlemma associative_orex14 : ∀e2,e3.(or_ex (or_ex xD e2) e3) = (or_ex xD (or_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 102 nlemma associative_orex15 : ∀e2,e3.(or_ex (or_ex xE e2) e3) = (or_ex xE (or_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 103 nlemma associative_orex16 : ∀e2,e3.(or_ex (or_ex xF e2) e3) = (or_ex xF (or_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 104
 105 nlemma associative_orex : ∀e1,e2,e3.(or_ex (or_ex e1 e2) e3) = (or_ex e1 (or_ex e2 e3)).
 106  #e1; nelim e1;
 107  ##[ ##1: napply associative_orex1 ##| ##2: napply associative_orex2
 108  ##| ##3: napply associative_orex3 ##| ##4: napply associative_orex4
 109  ##| ##5: napply associative_orex5 ##| ##6: napply associative_orex6
 110  ##| ##7: napply associative_orex7 ##| ##8: napply associative_orex8
 111  ##| ##9: napply associative_orex9 ##| ##10: napply associative_orex10
 112  ##| ##11: napply associative_orex11 ##| ##12: napply associative_orex12
 113  ##| ##13: napply associative_orex13 ##| ##14: napply associative_orex14
 114  ##| ##15: napply associative_orex15 ##| ##16: napply associative_orex16
 115  ##]
 116 nqed.
 117
 118 nlemma symmetric_xorex : symmetricT exadecim exadecim xor_ex.
 119  #e1; #e2;
 120  nelim e1;
 121  nelim e2;
 122  nnormalize;
 123  napply refl_eq.
 124 nqed.
 125
 126 nlemma associative_xorex1 : ∀e2,e3.(xor_ex (xor_ex x0 e2) e3) = (xor_ex x0 (xor_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 127 nlemma associative_xorex2 : ∀e2,e3.(xor_ex (xor_ex x1 e2) e3) = (xor_ex x1 (xor_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 128 nlemma associative_xorex3 : ∀e2,e3.(xor_ex (xor_ex x2 e2) e3) = (xor_ex x2 (xor_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 129 nlemma associative_xorex4 : ∀e2,e3.(xor_ex (xor_ex x3 e2) e3) = (xor_ex x3 (xor_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 130 nlemma associative_xorex5 : ∀e2,e3.(xor_ex (xor_ex x4 e2) e3) = (xor_ex x4 (xor_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 131 nlemma associative_xorex6 : ∀e2,e3.(xor_ex (xor_ex x5 e2) e3) = (xor_ex x5 (xor_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 132 nlemma associative_xorex7 : ∀e2,e3.(xor_ex (xor_ex x6 e2) e3) = (xor_ex x6 (xor_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 133 nlemma associative_xorex8 : ∀e2,e3.(xor_ex (xor_ex x7 e2) e3) = (xor_ex x7 (xor_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 134 nlemma associative_xorex9 : ∀e2,e3.(xor_ex (xor_ex x8 e2) e3) = (xor_ex x8 (xor_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 135 nlemma associative_xorex10 : ∀e2,e3.(xor_ex (xor_ex x9 e2) e3) = (xor_ex x9 (xor_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 136 nlemma associative_xorex11 : ∀e2,e3.(xor_ex (xor_ex xA e2) e3) = (xor_ex xA (xor_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 137 nlemma associative_xorex12 : ∀e2,e3.(xor_ex (xor_ex xB e2) e3) = (xor_ex xB (xor_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 138 nlemma associative_xorex13 : ∀e2,e3.(xor_ex (xor_ex xC e2) e3) = (xor_ex xC (xor_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 139 nlemma associative_xorex14 : ∀e2,e3.(xor_ex (xor_ex xD e2) e3) = (xor_ex xD (xor_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 140 nlemma associative_xorex15 : ∀e2,e3.(xor_ex (xor_ex xE e2) e3) = (xor_ex xE (xor_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 141 nlemma associative_xorex16 : ∀e2,e3.(xor_ex (xor_ex xF e2) e3) = (xor_ex xF (xor_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 142
 143 nlemma associative_xorex : ∀e1,e2,e3.(xor_ex (xor_ex e1 e2) e3) = (xor_ex e1 (xor_ex e2 e3)).
 144  #e1; nelim e1;
 145  ##[ ##1: napply associative_xorex1 ##| ##2: napply associative_xorex2
 146  ##| ##3: napply associative_xorex3 ##| ##4: napply associative_xorex4
 147  ##| ##5: napply associative_xorex5 ##| ##6: napply associative_xorex6
 148  ##| ##7: napply associative_xorex7 ##| ##8: napply associative_xorex8
 149  ##| ##9: napply associative_xorex9 ##| ##10: napply associative_xorex10
 150  ##| ##11: napply associative_xorex11 ##| ##12: napply associative_xorex12
 151  ##| ##13: napply associative_xorex13 ##| ##14: napply associative_xorex14
 152  ##| ##15: napply associative_xorex15 ##| ##16: napply associative_xorex16
 153  ##]
 154 nqed.
 155
 156 nlemma symmetric_plusex_dc_dc : ∀e1,e2,c.plus_ex_dc_dc e1 e2 c = plus_ex_dc_dc e2 e1 c.
 157  #e1; #e2; #c;
 158  nelim e1;
 159  nelim e2;
 160  nelim c;
 161  nnormalize;
 162  napply refl_eq.
 163 nqed.
 164
 165 nlemma plusex_dc_dc_to_dc_d : ∀e1,e2,c.fst … (plus_ex_dc_dc e1 e2 c) = plus_ex_dc_d e1 e2 c.
 166  #e1; #e2; #c;
 167  nelim e1;
 168  nelim e2;
 169  nelim c;
 170  nnormalize;
 171  napply refl_eq.
 172 nqed.
 173
 174 nlemma plusex_dc_dc_to_dc_c : ∀e1,e2,c.snd … (plus_ex_dc_dc e1 e2 c) = plus_ex_dc_c e1 e2 c.
 175  #e1; #e2; #c;
 176  nelim e1;
 177  nelim e2;
 178  nelim c;
 179  nnormalize;
 180  napply refl_eq.
 181 nqed.
 182
 183 nlemma plusex_dc_dc_to_d_dc : ∀e1,e2.plus_ex_dc_dc e1 e2 false = plus_ex_d_dc e1 e2.
 184  #e1; #e2;
 185  nelim e1;
 186  nelim e2;
 187  nnormalize;
 188  napply refl_eq.
 189 nqed.
 190
 191 nlemma plusex_dc_dc_to_d_d : ∀e1,e2.fst … (plus_ex_dc_dc e1 e2 false) = plus_ex_d_d e1 e2.
 192  #e1; #e2;
 193  nelim e1;
 194  nelim e2;
 195  nnormalize;
 196  napply refl_eq.
 197 nqed.
 198
 199 nlemma plusex_dc_dc_to_d_c : ∀e1,e2.snd … (plus_ex_dc_dc e1 e2 false) = plus_ex_d_c e1 e2.
 200  #e1; #e2;
 201  nelim e1;
 202  nelim e2;
 203  nnormalize;
 204  napply refl_eq.
 205 nqed.
 206
 207 nlemma symmetric_plusex_dc_d : ∀e1,e2,c.plus_ex_dc_d e1 e2 c = plus_ex_dc_d e2 e1 c.
 208  #e1; #e2; #c;
 209  nelim e1;
 210  nelim e2;
 211  nelim c;
 212  nnormalize;
 213  napply refl_eq.
 214 nqed.
 215
 216 nlemma symmetric_plusex_dc_c : ∀e1,e2,c.plus_ex_dc_c e1 e2 c = plus_ex_dc_c e2 e1 c.
 217  #e1; #e2; #c;
 218  nelim e1;
 219  nelim e2;
 220  nelim c;
 221  nnormalize;
 222  napply refl_eq.
 223 nqed.
 224
 225 nlemma symmetric_plusex_d_dc : ∀e1,e2.plus_ex_d_dc e1 e2 = plus_ex_d_dc e2 e1.
 226  #e1; #e2;
 227  nelim e1;
 228  nelim e2;
 229  nnormalize;
 230  napply refl_eq.
 231 nqed.
 232
 233 nlemma plusex_d_dc_to_d_d : ∀e1,e2.fst … (plus_ex_d_dc e1 e2) = plus_ex_d_d e1 e2.
 234  #e1; #e2;
 235  nelim e1;
 236  nelim e2;
 237  nnormalize;
 238  napply refl_eq.
 239 nqed.
 240
 241 nlemma plusex_d_dc_to_d_c : ∀e1,e2.snd … (plus_ex_d_dc e1 e2) = plus_ex_d_c e1 e2.
 242  #e1; #e2;
 243  nelim e1;
 244  nelim e2;
 245  nnormalize;
 246  napply refl_eq.
 247 nqed.
 248
 249 nlemma symmetric_plusex_d_d : ∀e1,e2.plus_ex_d_d e1 e2 = plus_ex_d_d e2 e1.
 250  #e1; #e2;
 251  nelim e1;
 252  nelim e2;
 253  nnormalize;
 254  napply refl_eq.
 255 nqed.
 256
 257 nlemma associative_plusex_d_d1 : ∀e2,e3.(plus_ex_d_d (plus_ex_d_d x0 e2) e3) = (plus_ex_d_d x0 (plus_ex_d_d e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 258 nlemma associative_plusex_d_d2 : ∀e2,e3.(plus_ex_d_d (plus_ex_d_d x1 e2) e3) = (plus_ex_d_d x1 (plus_ex_d_d e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 259 nlemma associative_plusex_d_d3 : ∀e2,e3.(plus_ex_d_d (plus_ex_d_d x2 e2) e3) = (plus_ex_d_d x2 (plus_ex_d_d e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 260 nlemma associative_plusex_d_d4 : ∀e2,e3.(plus_ex_d_d (plus_ex_d_d x3 e2) e3) = (plus_ex_d_d x3 (plus_ex_d_d e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 261 nlemma associative_plusex_d_d5 : ∀e2,e3.(plus_ex_d_d (plus_ex_d_d x4 e2) e3) = (plus_ex_d_d x4 (plus_ex_d_d e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 262 nlemma associative_plusex_d_d6 : ∀e2,e3.(plus_ex_d_d (plus_ex_d_d x5 e2) e3) = (plus_ex_d_d x5 (plus_ex_d_d e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 263 nlemma associative_plusex_d_d7 : ∀e2,e3.(plus_ex_d_d (plus_ex_d_d x6 e2) e3) = (plus_ex_d_d x6 (plus_ex_d_d e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 264 nlemma associative_plusex_d_d8 : ∀e2,e3.(plus_ex_d_d (plus_ex_d_d x7 e2) e3) = (plus_ex_d_d x7 (plus_ex_d_d e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 265 nlemma associative_plusex_d_d9 : ∀e2,e3.(plus_ex_d_d (plus_ex_d_d x8 e2) e3) = (plus_ex_d_d x8 (plus_ex_d_d e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 266 nlemma associative_plusex_d_d10 : ∀e2,e3.(plus_ex_d_d (plus_ex_d_d x9 e2) e3) = (plus_ex_d_d x9 (plus_ex_d_d e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 267 nlemma associative_plusex_d_d11 : ∀e2,e3.(plus_ex_d_d (plus_ex_d_d xA e2) e3) = (plus_ex_d_d xA (plus_ex_d_d e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 268 nlemma associative_plusex_d_d12 : ∀e2,e3.(plus_ex_d_d (plus_ex_d_d xB e2) e3) = (plus_ex_d_d xB (plus_ex_d_d e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 269 nlemma associative_plusex_d_d13 : ∀e2,e3.(plus_ex_d_d (plus_ex_d_d xC e2) e3) = (plus_ex_d_d xC (plus_ex_d_d e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 270 nlemma associative_plusex_d_d14 : ∀e2,e3.(plus_ex_d_d (plus_ex_d_d xD e2) e3) = (plus_ex_d_d xD (plus_ex_d_d e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 271 nlemma associative_plusex_d_d15 : ∀e2,e3.(plus_ex_d_d (plus_ex_d_d xE e2) e3) = (plus_ex_d_d xE (plus_ex_d_d e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 272 nlemma associative_plusex_d_d16 : ∀e2,e3.(plus_ex_d_d (plus_ex_d_d xF e2) e3) = (plus_ex_d_d xF (plus_ex_d_d e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 273
 274 nlemma associative_plusex_d_d : ∀e1,e2,e3.(plus_ex_d_d (plus_ex_d_d e1 e2) e3) = (plus_ex_d_d e1 (plus_ex_d_d e2 e3)).
 275  #e1; nelim e1;
 276  ##[ ##1: napply associative_plusex_d_d1 ##| ##2: napply associative_plusex_d_d2
 277  ##| ##3: napply associative_plusex_d_d3 ##| ##4: napply associative_plusex_d_d4
 278  ##| ##5: napply associative_plusex_d_d5 ##| ##6: napply associative_plusex_d_d6
 279  ##| ##7: napply associative_plusex_d_d7 ##| ##8: napply associative_plusex_d_d8
 280  ##| ##9: napply associative_plusex_d_d9 ##| ##10: napply associative_plusex_d_d10
 281  ##| ##11: napply associative_plusex_d_d11 ##| ##12: napply associative_plusex_d_d12
 282  ##| ##13: napply associative_plusex_d_d13 ##| ##14: napply associative_plusex_d_d14
 283  ##| ##15: napply associative_plusex_d_d15 ##| ##16: napply associative_plusex_d_d16
 284  ##]
 285 nqed.
 286
 287 nlemma symmetric_plusex_d_c : ∀e1,e2.plus_ex_d_c e1 e2 = plus_ex_d_c e2 e1.
 288  #e1; #e2;
 289  nelim e1;
 290  nelim e2;
 291  nnormalize;
 292  napply refl_eq.
 293 nqed.
 294
 295 nlemma eq_to_eqex : ∀n1,n2.n1 = n2 → eq_ex n1 n2 = true.
 296  #n1; #n2; #H;
 297  nrewrite > H;
 298  nelim n2;
 299  nnormalize;
 300  napply refl_eq.
 301 nqed.
 302
 303 nlemma neqex_to_neq : ∀n1,n2.eq_ex n1 n2 = false → n1 ≠ n2.
 304  #n1; #n2; #H;
 305  napply (not_to_not (n1 = n2) (eq_ex n1 n2 = true) …);
 306  ##[ ##1: napply (eq_to_eqex n1 n2)
 307  ##| ##2: napply (eqfalse_to_neqtrue … H)
 308  ##]
 309 nqed.
 310
 311 nlemma eqex_to_eq : ∀n1,n2.eq_ex n1 n2 = true → n1 = n2.
 312  #n1; #n2;
 313  ncases n1;
 314  ncases n2;
 315  nnormalize;
 316  ##[ ##1,18,35,52,69,86,103,120,137,154,171,188,205,222,239,256: #H; napply refl_eq
 317  ##| ##*: #H; napply (bool_destruct … H)
 318  ##]
 319 nqed.
 320
 321 nlemma neq_to_neqex : ∀n1,n2.n1 ≠ n2 → eq_ex n1 n2 = false.
 322  #n1; #n2; #H;
 323  napply (neqtrue_to_eqfalse (eq_ex n1 n2));
 324  napply (not_to_not (eq_ex n1 n2 = true) (n1 = n2) ? H);
 325  napply (eqex_to_eq n1 n2).
 326 nqed.
 327
 328 nlemma decidable_ex : ∀x,y:exadecim.decidable (x = y).
 329  #x; #y; nnormalize;
 330  napply (or2_elim (eq_ex x y = true) (eq_ex x y = false) ? (decidable_bexpr ?));
 331  ##[ ##1: #H; napply (or2_intro1 (x = y) (x ≠ y) (eqex_to_eq … H))
 332  ##| ##2: #H; napply (or2_intro2 (x = y) (x ≠ y) (neqex_to_neq … H))
 333  ##]
 334 nqed.
 335
 336 nlemma symmetric_eqex : symmetricT exadecim bool eq_ex.
 337  #n1; #n2;
 338  napply (or2_elim (n1 = n2) (n1 ≠ n2) ? (decidable_ex n1 n2));
 339  ##[ ##1: #H; nrewrite > H; napply refl_eq
 340  ##| ##2: #H; nrewrite > (neq_to_neqex n1 n2 H);
 341           napply (symmetric_eq ? (eq_ex n2 n1) false);
 342           napply (neq_to_neqex n2 n1 (symmetric_neq ? n1 n2 H))
 343  ##]
 344 nqed.