helm/software/matita/contribs/ng_assembly/num/quatern_lemmas.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* ********************************************************************** *)
  16 (*                          Progetto FreeScale                            *)
  17 (*                                                                        *)
  18 (*   Sviluppato da: Ing. Cosimo Oliboni, oliboni@cs.unibo.it              *)
  19 (*   Sviluppo: 2008-2010                                                  *)
  20 (*                                                                        *)
  21 (* ********************************************************************** *)
  22
  23 include "num/quatern.ma".
  24 include "num/bool_lemmas.ma".
  25
  26 (* ********** *)
  27 (* QUATERNARI *)
  28 (* ********** *)
  29
  30 (*
  31 ndefinition quatern_destruct_aux ≝
  32 Πn1,n2:quatern.ΠP:Prop.n1 = n2 →
  33  match eq_qu n1 n2 with [ true ⇒ P → P | false ⇒ P ].
  34
  35 ndefinition quatern_destruct : quatern_destruct_aux.
  36  #n1; #n2; #P; #H;
  37  nrewrite < H;
  38  nelim n1;
  39  nnormalize;
  40  napply (λx.x).
  41 nqed.
  42 *)
  43
  44 nlemma eq_to_eqqu : ∀n1,n2.n1 = n2 → eq_qu n1 n2 = true.
  45  #n1; #n2; #H;
  46  nrewrite > H;
  47  nelim n2;
  48  nnormalize;
  49  napply refl_eq.
  50 nqed.
  51
  52 nlemma neqqu_to_neq : ∀n1,n2.eq_qu n1 n2 = false → n1 ≠ n2.
  53  #n1; #n2; #H;
  54  napply (not_to_not (n1 = n2) (eq_qu n1 n2 = true) …);
  55  ##[ ##1: napply (eq_to_eqqu n1 n2)
  56  ##| ##2: napply (eqfalse_to_neqtrue … H)
  57  ##]
  58 nqed.
  59
  60 nlemma eqqu_to_eq : ∀n1,n2.eq_qu n1 n2 = true → n1 = n2.
  61  #n1; #n2;
  62  ncases n1;
  63  ncases n2;
  64  nnormalize;
  65  ##[ ##1,6,11,16: #H; napply refl_eq
  66  ##| ##*: #H; ndestruct (*napply (bool_destruct … H)*)
  67  ##]
  68 nqed.
  69
  70 nlemma neq_to_neqqu : ∀n1,n2.n1 ≠ n2 → eq_qu n1 n2 = false.
  71  #n1; #n2; #H;
  72  napply (neqtrue_to_eqfalse (eq_qu n1 n2));
  73  napply (not_to_not (eq_qu n1 n2 = true) (n1 = n2) ? H);
  74  napply (eqqu_to_eq n1 n2).
  75 nqed.
  76
  77 nlemma decidable_qu : ∀x,y:quatern.decidable (x = y).
  78  #x; #y; nnormalize;
  79  napply (or2_elim (eq_qu x y = true) (eq_qu x y = false) ? (decidable_bexpr ?));
  80  ##[ ##1: #H; napply (or2_intro1 (x = y) (x ≠ y) (eqqu_to_eq … H))
  81  ##| ##2: #H; napply (or2_intro2 (x = y) (x ≠ y) (neqqu_to_neq … H))
  82  ##]
  83 nqed.
  84
  85 nlemma symmetric_eqqu : symmetricT quatern bool eq_qu.
  86  #n1; #n2;
  87  napply (or2_elim (n1 = n2) (n1 ≠ n2) ? (decidable_qu n1 n2));
  88  ##[ ##1: #H; nrewrite > H; napply refl_eq
  89  ##| ##2: #H; nrewrite > (neq_to_neqqu n1 n2 H);
  90           napply (symmetric_eq ? (eq_qu n2 n1) false);
  91           napply (neq_to_neqqu n2 n1 (symmetric_neq ? n1 n2 H))
  92  ##]
  93 nqed.